Trotter–加藤の近似定理

前提知識: 強連続半群, Hille–吉田の定理, レゾルベント, 一様有界性原理

Trotter–加藤の近似定理（Trotter–Kato approximation theorem）は、Banach 空間の上の強連続半群の列 $T_n(t)=e^{tA_n}$ が半群 $T(t)=e^{tA}$ に収束することを、生成作用素のレゾルベント $(\lambda-A_n)^{-1}$ の収束で判定する定理である。半群の作用素ノルムが $n$ によらない指数関数 $Me^{\omega t}$ で抑えられていれば、ある $\lambda>\omega$ で各ベクトルについて $(\lambda-A_n)^{-1}x\to(\lambda-A)^{-1}x$ となることと、各 $x$ について $T_n(t)x\to T(t)x$ が有界な時間区間で一様に成り立つことは同値である。さらに、レゾルベントの極限が存在して値域が稠密なら、極限の半群が存在することまで分かる。
発展方程式 $u'=Au$ の解を、差分近似や有界作用素による近似 $u_n'=A_nu_n$ の解で近似したいとき、時間方向の極限を直接調べるのは難しい。この定理は問題を、定常方程式 $\lambda u-A_nu=f$ の解の収束という時間を含まない問題に置き換える。H. F. Trotter が 1958 年に差分近似やランダムウォークの拡散過程への収束を扱うために証明し、加藤敏夫が 1959 年に極限のレゾルベントについての補足を与えた。この記事では、2 つの形の定理を証明し、Poisson 型の近似による平行移動の近似、自己共役作用素の場合を例として述べ、仮定を外した反例を確かめる。

設定と準備

以下、$X$ を $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ 上の Banach 空間とし、$\mathcal{L}(X)$ を $X$ 上の有界線形作用素全体とする。$C_0$ 半群 $T$ の生成作用素を $A$、レゾルベントを $R(\lambda,A)=(\lambda-A)^{-1}$ と書く。作用素の列 $S_n$ が $S$ に強収束するとは、各 $x\in X$ について $S_nx\to Sx$ となることである。
次の事実を使う（強連続半群 の定義の後の基本性質と、命題「レゾルベントの冪の積分表示」）。$\|T(t)\|\le Me^{\omega t}$（$t\ge0$）なら、実数 $\lambda>\omega$ について $\lambda\in\rho(A)$ で
$$ R(\lambda,A)x=\int_0^\infty e^{-\lambda s}T(s)x\,ds,\qquad\|R(\lambda,A)^k\|\le\frac{M}{(\lambda-\omega)^k}\quad(k\ge1) $$
である。$D(A)$ は稠密で、$x\in D(A)$ なら $t\mapsto T(t)x$ は $C^1$ 級で導関数は $T(t)Ax=AT(t)x$ である。$T(t)$ と $R(\lambda,A)$ は可換である。

主定理

主定理の証明の鍵は、2 つの半群とレゾルベントを結ぶ次の等式である。

条件 $\|T_n(t)\|\le Me^{\omega t}$ の $M$ と $\omega$ が $n$ によらないことを一様な安定性という。

Tro58 は一様な安定性（そこでは $\|T_n(t)\|\le M$）のもとで、レゾルベントの強極限 $J(\lambda)$ がレゾルベント恒等式を満たし、さらに $\|\lambda^mJ(\lambda)^m\|\le M$ と $\lambda J(\lambda)\to I$（$\lambda\to\infty$、強収束）を満たすなら、半群が強収束することを示した（Theorem 5.1、pp. 900–901）。上の証明の 1 ⇒ 3 は、2 つの半群が初めから与えられている場合にこれを直接示したものである。

極限の半群の存在

thm-tk-main では極限の半群 $T$ が初めから与えられていた。次の形では、レゾルベントの強極限が存在することだけを仮定し、極限の半群を作る。ここでは $M=1$ の場合を扱い、極限の生成作用素を作ってから Hille–吉田の定理 を使う。

段 2 は Kat59 の定理（p. 467）とその Corollary 1（p. 468）の議論である。そこでは、レゾルベント恒等式を満たす作用素の族（擬レゾルベント）が $\|\lambda_nJ(\lambda_n)\|\le M$（$|\lambda_n|\to\infty$）を満たし値域が稠密なら、ある閉作用素のレゾルベントであることが示され、この事実で Tro58 の Theorem 5.1 の証明が正当化されると注意されている。$M>1$ の一般の場合も、一様な評価 $\|T_n(t)\|\le Me^{\omega t}$ のもとで同じ結論が成り立つ（Tro58 Lemma 5.1・Theorem 5.1、pp. 900–902 と Kat59 Corollary 1）。その場合は極限のレゾルベントから半群を作る別の議論（Tro58 Theorem 4.1、p. 897）が要るので、この記事では扱わない。

生成作用素の収束による判定

レゾルベントを直接計算できないときは、生成作用素そのものの収束を確かめればよい。

$D=D(A)$ ととれば $(\lambda-A)D=X$ である。Tro58 Theorem 5.2（pp. 902–903）は、$A_nx$ が収束する $x$ の全体を定義域として極限の作用素 $A_\infty x:=\lim_nA_nx$ を定め、$A_\infty$ が稠密に定義され、ある $\lambda>\omega$ で $\lambda-A_\infty$ の値域が稠密なら、$A_\infty$ の閉包が極限の半群を生成することまで示している。同 Theorem 5.3（pp. 903–904）は、1 つの作用素 $T_n$ を $[t/h_n]$ 回繰り返す離散的な近似を扱う。

例

確率の言葉では、$K$ を平均 $nt$ の Poisson分布 に従う確率変数として $(T_n(t)f)(u)=E\bigl[f(u+K/n)\bigr]$ である。点 $u$ から、時間 $t$ の間に平均 $nt$ 回だけ幅 $\frac1n$ の跳躍をする粒子を考えると、$K/n$ は平均 $t$、分散 $t/n$ なので、$n\to\infty$ で決定的な移動 $u\mapsto u+t$ に近づく。例の結論は、この大数の法則に当たる現象を作用素の収束として述べたものである。Tro58 はこの種の議論で、ランダムウォークの拡散過程への収束を扱った（§6、pp. 904–918）。

ex-tk-selfadjoint で $\lambda$ と $z$ の言い換えは、$R(\lambda,iA)=(\lambda-iA)^{-1}=i(A+i\lambda)^{-1}$ を $z=-i\lambda$ に当てたものであり、強レゾルベント収束が 1 つの $z$ で成り立てばすべての $z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$ で成り立つことは Tes14 Corollary 6.32（p. 154）による。

仮定を外した反例

次の表の各行は、左の列の仮定だけを外したとき、または結論を強めようとしたときに何が起こるかを示す。

ここで $N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ である。1 行目の $A_n$ はどれも有界なので、各 $T_n$ は $\|T_n(t)\|\le M_ne^{\omega_nt}$ を満たすが、$M_n$ と $\omega_n$ を $n$ によらずにはとれない。

1 行目は、レゾルベントが強収束しても、一様な安定性がなければ収束が有界な時間区間で一様にならないことを示す。2 行目は thm-tk-existence の値域の稠密性が外せないことを示す。3 行目では $\|R(\lambda,A_n)-R(\lambda,0)\|=1/\lambda$ でレゾルベントもノルムでは収束しておらず、定理の結論が強収束で述べられていることに対応する。

関連項目

• 前提: 強連続半群, Hille–吉田の定理, レゾルベント, 一様有界性原理
• 比較: Stoneの定理(一径数ユニタリ群), 自己共役作用素, 非有界作用素
• 応用: Poisson過程, Poisson分布, 大数の法則