Menger普遍曲線

1：$D_1=(1/3,2/3)$ であり、$s\in[c/3,(c+1)/3]$ である。$c\ne1$ なら $s\notin D_1$、$c=1$ なら $s\in D_1\Leftrightarrow t\in(0,1)$ である。
2：$D_m$ の区間を $(D_m+c')/3$ で写すと、番号 $i$ の区間は番号 $i+c'3^{m-1}$ の区間 $\bigl(\frac{3(i+c'3^{m-1})+1}{3^{m+1}},\frac{3(i+c'3^{m-1})+2}{3^{m+1}}\bigr)$ に移る。$c'=0,1,2$ にわたらせると $D_{m+1}$ のすべての区間がちょうど 1 回ずつ現れるので、$D_{m+1}=\bigcup_{c'=0}^2(D_m+c')/3$ である。$(D_m+c')/3$ は開区間 $(c'/3,(c'+1)/3)$ に含まれ、$c'\ne c$ ならこれは閉区間 $[c/3,(c+1)/3]$ と交わらない。よって $s\in D_{m+1}\Leftrightarrow s\in(D_m+c)/3\Leftrightarrow t\in D_m$ である。$\square$

$\supset$：$y\in M$、$a\in A$、$x:=\varphi_a(y)$ とする。lem-muc-digit の 1 により、$x_j\in D_1$ となるのは $a_j=1$ の $j$ に限られ、$a\in A$ なのでそれは高々 1 個である。同じく 2 により、$m\ge1$ について $x_j\in D_{m+1}\Leftrightarrow y_j\in D_m$ であり、$y\in M$ なので $D_{m+1}$ に属する $x$ の座標は高々 1 個である。よって $x\in M$ である。
$\subset$：$x\in M$ とする。各 $j$ について、$x_j\in D_1$ なら $a_j:=1$、$x_j\le1/3$ なら $a_j:=0$、$x_j\ge2/3$ なら $a_j:=2$ とおく。$x\in M$ なので $a_j=1$ となる $j$ は高々 1 個であり、$a\in A$ である。$x_j\in[a_j/3,(a_j+1)/3]$ なので $y:=3x-a\in I^3$ で $x=\varphi_a(y)$ である。lem-muc-digit の 2 により、$y_j\in D_m\Leftrightarrow x_j\in D_{m+1}$ なので $y\in M$ である。
後半は前半を $\varphi_w(M)=\bigcup_{a\in A}\varphi_{wa}(M)$ の形で $n$ 回使えばよい。$\square$

$\varphi_a(I^3)\subset I^3$ から $F_{n+1}\subset F_n$ が従う。prop-muc-self-similar により $M=\bigcup_{w\in A^n}\varphi_w(M)\subset F_n$ である。
逆に $x\in\bigcap_nF_n$ とし、$m\ge1$ を固定する。$x\in\varphi_w(I^3)$ となる $w=(a^{(1)},\dots,a^{(m)})\in A^m$ をとる。$\varphi_w(I^3)$ の第 $j$ 座標の範囲は、長さ $3^{1-m}$ の区間 $J$ を 3 等分した閉区間のうち、左から $a^{(m)}_j$ 番目（$0,1,2$ で数える）のものである。$D_m\cap J$ は $J$ の中央の開区間なので、$a^{(m)}_j\ne1$ ならこの閉区間は $D_m$ と交わらない。よって $x_j\in D_m$ となる $j$ では $a^{(m)}_j=1$ であり、$a^{(m)}\in A$ なのでそのような $j$ は高々 1 個である。$m$ は任意なので $x\in M$ である。
$F_n$ は内部が交わらない一辺 $3^{-n}$ の立方体 $20^n$ 個の和なので、体積は $20^n\cdot27^{-n}$ であり、$M\subset F_n$ の測度は $0$ である。正の半径の球は正の測度をもつので、$M$ は内点をもたない。$\square$

段 1（辺の網の連結性）：$\Gamma_n:=\bigcup_{w\in A^n}\varphi_w(\Gamma)$ とおく。まず $\Gamma\subset\Gamma_1$ である。$I^3$ の辺は 3 本の線分に分かれ、各線分は、動く座標が $0,1,2$ のどれかで、残りの 2 座標が $0$ か $2$ の $a$ についての立方体 $\varphi_a(I^3)$ の辺であり、この $a$ は $A$ に属する。$\varphi_w$ で写して $\Gamma_n\subset\Gamma_{n+1}$ を得る。
次に、帰納法で $\Gamma_n$ が弧状連結であることを示す。$\Gamma_0=\Gamma$ は立方体の辺の和なので弧状連結である。$\Gamma_n$ が弧状連結とすると、$\Gamma_{n+1}=\bigcup_{a\in A}\varphi_a(\Gamma_n)$ の各項は弧状連結で、$\varphi_a(\Gamma_n)\supset\varphi_a(\Gamma)$ である。$a,b\in A$ が 1 つの座標だけで $1$ 違うとき、立方体 $\varphi_a(I^3)$ と $\varphi_b(I^3)$ は面を共有し、その面の頂点は両方の辺の上にあるので $\varphi_a(\Gamma)\cap\varphi_b(\Gamma)\ne\emptyset$ である。このように隣り合う $a,b$ を結んだグラフは連結である（各隅 $a$ は、$a$ と 1 つの座標だけ違う辺の中央の元を介して、その座標を $0$ と $2$ で入れ替えた隅とつながり、隅どうしは立方体の頂点のグラフとして連結である）。よって $\Gamma_{n+1}$ は弧状連結である。
段 2（連結性）：$G:=\bigcup_n\Gamma_n$ は弧状連結な集合の増加列の和なので弧状連結であり、$G\subset M$ である。$x\in M$ と $n$ について、prop-muc-self-similar により $x\in\varphi_w(M)$ となる $w\in A^n$ があり、$\varphi_w(M)$ は $\varphi_w(\Gamma)\subset G$ の点を含み、直径は $\sqrt3\cdot3^{-n}$ 以下である。よって $G$ は $M$ で稠密である。$M$ は閉なので $M=\overline G$ であり、連結空間 の命題「連結な集合の閉包も連結」により $M$ は連結である。
段 3（局所連結性）：$x\in M$ と $n\ge0$ について
$$ N_n(x):=\bigcup\bigl\{\varphi_w(M)\bigm| w\in A^n,\ x\in\varphi_w(M)\bigr\} $$
とおく。各 $\varphi_w(M)$ は $M$ と同相なので連結であり、すべて $x$ を含むので $N_n(x)$ は連結である。$x$ を含まない $\varphi_w(M)$ の有限個の和 $E$ は閉で $x\notin E$ であり、$M=\bigcup_w\varphi_w(M)$ から $M\setminus E\subset N_n(x)$ となるので、$N_n(x)$ は $x$ の近傍である。直径は $2\sqrt3\cdot3^{-n}$ 以下なので、$x$ の任意の近傍は $N_n(x)$ の形の連結な近傍を含む。よってすべての点で連結 im kleinen であり、局所連結空間 の定理「開集合の連結成分による特徴づけ」の (2)$\Rightarrow$(1) により $M$ は局所連結である。$\square$

下からの評価：辺 $[0,1]\times\{0\}\times\{0\}\subset\Gamma\subset M$ は $M$ の閉集合で、$[0,1]$ と同相である。被覆次元 の命題「閉部分空間の被覆次元」と系「Euclid 空間・球面・Hilbert 立方体」の 1（$\dim\Delta^1=1$）により $\dim M\ge1$ である。
上からの評価：$n\ge0$ を固定し、$h:=3^{-n}$ とおく。連続関数 $\rho\colon I\to I$ を、$[0,1/3]$ で $0$、$[1/3,2/3]$ で $3u-1$、$[2/3,1]$ で $1$ と定め、$\rho_n\colon I\to I$ を各区間 $[ih,(i+1)h]$（$0\le i<3^n$）の上で $\rho_n(ih+hu):=ih+h\rho(u)$（$u\in I$）と定める。$\rho(0)=0$、$\rho(1)=1$ なので $\rho_n$ は連続で、$|\rho(u)-u|\le1/3$ から $|\rho_n(t)-t|\le h/3$ である。$\rho_n(t)\notin h\mathbb{Z}$ となるのは $u\in(1/3,2/3)$ のとき、すなわち $t\in D_{n+1}$ のときに限る。
$R_n(x):=(\rho_n(x_1),\rho_n(x_2),\rho_n(x_3))$ とおく。$x\in M$ なら $D_{n+1}$ に属する座標は高々 1 個なので、$R_n(x)$ の座標の 2 つ以上が $h\mathbb{Z}$ に属する。すなわち $R_n(M)$ は、格子の辺の網
$$ \Lambda_n:=\{y\in I^3\mid y\text{ の座標の 2 つ以上が }h\mathbb{Z}\text{ に属する}\} $$
に含まれる。$\Lambda_n$ は、頂点 $I^3\cap(h\mathbb{Z})^3$ と、隣り合う頂点を結ぶ長さ $h$ の辺からなる。$\|\cdot\|_\infty$ を各座標の差の最大値とし、頂点 $v$ と辺 $e$（中点 $m_e$）について
$$ S_v:=\{y\in\Lambda_n\mid\|y-v\|_\infty<0.4h\},\qquad T_e:=\{y\in\Lambda_n\mid\|y-m_e\|_\infty<0.2h\} $$
とおく。これらは $\Lambda_n$ の開集合の有限族で、$\Lambda_n$ を覆い、位数 2 以下であり、どの元でも 2 点の距離は $0.8h$ 未満である（下の折りたたみで確かめる）。

prf-muc-dim の $R_0$（$n=0$、各座標に $\rho$ を当てる写像）をとる。$x\in M$ なら $R_0(x)\in\Lambda_0=\Gamma$ である。$P(y_1,y_2,y_3):=(y_1,y_2,0)$ は $\Gamma$ を $Q$ に写す。実際、$y\in\Gamma$ の $\{0,1\}$ に属する 2 座標のうち少なくとも 1 つは $y_1$ か $y_2$ なので、$P(y)$ は $\partial I^2\times\{0\}$ に入る。よって $r:=P\circ R_0|_M\colon M\to Q$ は連続である。
$r\circ\iota\colon Q\to Q$ は $(x_1,x_2,0)\mapsto(\rho(x_1),\rho(x_2),0)$ である。$H_s(x_1,x_2,0):=\bigl((1-s)x_1+s\rho(x_1),(1-s)x_2+s\rho(x_2),0\bigr)$（$s\in I$）は、$\rho(0)=0$、$\rho(1)=1$ なので $\{0,1\}$ に属する座標を動かさず、$Q$ の中のホモトピーで、頂点 $q_0:=(0,0,0)$ を止める。よって $r\circ\iota$ は基点を止めて恒等写像とホモトピックであり、基本群 の命題「ホモトピー不変性」の 2 により $r_*\circ\iota_*=\mathrm{id}$ である。したがって $\iota_*$ は単射である。$Q$ は円周と同相なので $\pi_1(Q,q_0)\cong\mathbb{Z}$（基本群 の定理「円周の基本群」）であり、$\pi_1(M,q_0)$ は自明でない。$\square$

完全 2 部グラフ $K_{3,3}$ を $\mathbb{R}^3$ の中の線分で実現した有限グラフ $|K_{3,3}|$ は、被覆次元 $1$ 以下のコンパクト距離空間である（被覆次元 の命題「多面体の被覆次元の上からの評価」）。thm-muc-universal により $|K_{3,3}|$ は $M$ に埋め込める。$M$ が平面に埋め込めるなら $|K_{3,3}|$ も平面に埋め込めるが、これは $K_{3,3}$ が平面グラフでないこと（平面グラフ の命題「$K_{3,3}$ は平面グラフでない」。辺を一般の弧で描いてよいとしても平面グラフの範囲が変わらないことは Kuratowskiの定理 の定義「平面への描画」の後の注意）に反する。$\square$