Chevalleyのアフィン性定理

$f\times f\colon X\times_{\mathbb{Z}}X\to Y\times_{\mathbb{Z}}Y$ は、$f\times\mathrm{id}_X$ と $\mathrm{id}_Y\times f$ の合成で、どちらも $f$ の底変換なので、有限射の命題「合成と底変換」により有限射であり、同じ記事の命題「閉集合の像」により閉写像である。対角射について $\Delta_Y\circ f=(f\times f)\circ\Delta_X$ であり、$f$ は全射なので
$$ \Delta_Y(Y)=\Delta_Y(f(X))=(f\times f)(\Delta_X(X)) $$
である。$\Delta_X(X)$ は閉集合なので $\Delta_Y(Y)$ も閉集合である。分離射の命題「対角射はつねにはめ込みである」により $\Delta_Y$ は開部分スキーム $W$ への閉埋め込みと開埋め込みの合成であり、像が $Y\times Y$ で閉なので、$W$ 上のイデアル層を $Y\times Y\setminus\Delta_Y(Y)$ 上の $\mathcal{O}$ と貼り合わせて $\Delta_Y$ は閉埋め込みになる。よって $Y$ は分離的である。$\square$

$Y$ を有限個のアフィン開集合 $\operatorname{Spec}A_l$ で覆い、その上で $\mathcal{F}=\widetilde{M_l}$（$M_l$ は有限生成 $A_l$ 加群）、$\mathcal{I}_Z=\widetilde{I_l}$ とする。層の台の命題「アフィンスキーム上の加群の台」により $\operatorname{Supp}M_l=V(\operatorname{Ann}M_l)$ で、これが $V(I_l)$ に含まれるので $I_l\subset\sqrt{\operatorname{Ann}M_l}$ である。$I_l$ は有限生成なので、ある $m_l$ で $I_l^{m_l}\subset\operatorname{Ann}M_l$ となる。$m=\max_lm_l$ とすればよい。$\square$

$Y$ のアフィン開集合 $V=\operatorname{Spec}A_V$ に対し $f^{-1}(V)=\operatorname{Spec}B_V$ はアフィンで、$B_V=\Gamma(V,f_*\mathcal{O}_X)$ である。$M_V:=\Gamma(V,\mathcal{H})$ は $B_V$ 加群なので、$\mathcal{G}_V:=\widetilde{M_V}$ を $\operatorname{Spec}B_V$ 上の準連接層とする。アフィン開集合 $V'\subset V$ について、$\mathcal{H}$ と $f_*\mathcal{O}_X$ の準連接性から $M_{V'}=M_V\otimes_{A_V}A_{V'}$、$B_{V'}=B_V\otimes_{A_V}A_{V'}$ なので
$$ M_V\otimes_{B_V}B_{V'}=M_V\otimes_{B_V}(B_V\otimes_{A_V}A_{V'})=M_V\otimes_{A_V}A_{V'}=M_{V'} $$
であり、$\mathcal{G}_V$ の $\operatorname{Spec}B_{V'}$ への制限は $\mathcal{G}_{V'}$ と標準的に同型である。この同型は 3 つの開集合の間で両立するので、$\mathcal{G}_V$ は貼り合って $X$ 上の準連接層 $\mathcal{G}$ になる。アフィン射の命題「準連接代数の相対スペクトルとの対応」の証明の計算により $f_*\mathcal{G}|_V$ は $A_V$ 加群とみた $M_V$ に付随する層、すなわち $\mathcal{H}|_V$ であり、$f_*\mathcal{G}\cong\mathcal{H}$ を得る。コホモロジーの同型はアフィン射の命題「アフィン射の高次順像の消滅とコホモロジーの比較」の 2 である。$\square$

段階 1：$\mathcal{I}_Z\mathcal{F}=0$ の場合に帰着する。 lem-ca-power により $\mathcal{I}_Z^m\mathcal{F}=0$ となる $m$ がある。$\mathcal{F}\supset\mathcal{I}_Z\mathcal{F}\supset\cdots\supset\mathcal{I}_Z^m\mathcal{F}=0$ の各商 $\mathcal{I}_Z^j\mathcal{F}/\mathcal{I}_Z^{j+1}\mathcal{F}$ は連接で、$\mathcal{I}_Z$ で消え、台は $Z$ に含まれる。長完全列により、$\mathcal{I}_Z\mathcal{F}=0$ となる $\mathcal{F}$ について示せば十分である。
段階 2：$Z$ が可約な場合。 $Z$ の既約成分の 1 つを $Z_1$、残りの既約成分の合併を $Z'$ とすると、$Z_1,Z'$ はどちらも $Z$ の真の閉部分集合である。$\mathcal{J}=\mathcal{I}_{Z_1}$ とし、$0\to\mathcal{J}\mathcal{F}\to\mathcal{F}\to\mathcal{F}/\mathcal{J}\mathcal{F}\to0$ を考える。$Z_1$ の外では $\mathcal{J}=\mathcal{O}_Y$ なので $\operatorname{Supp}(\mathcal{F}/\mathcal{J}\mathcal{F})\subset Z_1$ である。開集合 $Y\setminus Z'$ の上では、$Z\cap(Y\setminus Z')=Z_1\cap(Y\setminus Z')$ なので $\mathcal{J}$ と $\mathcal{I}_Z$ は同じ被約な閉部分スキームのイデアル層であり、$\mathcal{J}\mathcal{F}=\mathcal{I}_Z\mathcal{F}=0$ となる。よって $\operatorname{Supp}(\mathcal{J}\mathcal{F})\subset Z'$ である。$(\ast)_{Z_1}$ と $(\ast)_{Z'}$ から $H^i(Y,\mathcal{F})=0$（$i\ge1$）を得る。
段階 3：$Z$ が既約な場合。 $Z$ に被約な構造を入れると整スキームになる。その生成点を $\eta$ とし、$\kappa(\eta)=\mathcal{O}_{Y,\eta}/\mathcal{I}_{Z,\eta}$ をその関数体とする。
(a) $Z$ を支配する $X$ の既約閉集合。 $X$ は Noether スキーム $Y$ 上有限なので Noether であり、$f^{-1}(Z)$ の既約成分は有限個である。それらを $T_1,\dots,T_s$ とすると、有限射は閉写像なので $f(T_j)$ は閉集合で、$f$ が全射だから $f(T_1)\cup\cdots\cup f(T_s)=Z$ である。$Z$ は既約なので、ある $j$ で $f(T_j)=Z$ である。$W:=T_j$ に被約な構造を入れると、$W$ はアフィンスキーム $X$ の閉部分スキームなのでアフィンな整スキーム $\operatorname{Spec}B$ であり、$W$ の生成点は $\eta$ へ写る。$g\colon W\to Y$ を包含と $f$ の合成とすると、$g$ は有限射である。
(b) 代数 $\mathcal{A}=g_*\mathcal{O}_W$。 $\mathcal{A}$ は連接な $\mathcal{O}_Y$ 代数で、$\Gamma(Y,\mathcal{A})=B$ である。$\mathcal{I}_Z$ の切断は $W$ の各点で値が $0$ になるので、$W$ が被約であることから $\mathcal{I}_Z\mathcal{A}=0$ である。$\eta$ のアフィン近傍 $V=\operatorname{Spec}A_V$ をとり $g^{-1}(V)=\operatorname{Spec}C_V$ とすると、茎 $\mathcal{A}_\eta$ は整域 $C_V$ の局所化で（$W$ の生成点が $\eta$ へ写るので $0$ でない）、$\kappa(\eta)$ 上有限次元である。有限次元の整域は体なので、$\mathcal{A}_\eta$ は $C_V$ を含む $\operatorname{Frac}C_V$ の部分体、すなわち $W$ の関数体 $K(W)=\operatorname{Frac}B$ に等しい。$r:=[K(W):\kappa(\eta)]$ とおく。
(c) $B$ の元からなる基底。 $B$ は $K(W)$ を $\kappa(\eta)$ 上張る。実際 $b_1/b_2\in K(W)$（$b_1,b_2\in B$、$b_2\ne0$）について、$b_2$ は $\kappa(\eta)$ 上代数的なので $b_2^{-1}\in\kappa(\eta)[b_2]$ であり、$b_1/b_2$ は $b_1b_2^{\,l}$ たちの $\kappa(\eta)$ 係数の 1 次結合である。そこで $K(W)$ の $\kappa(\eta)$ 上の基底 $s_1,\dots,s_r\in B=\Gamma(Y,\mathcal{A})$ をとる。
(d) 比較の射。 $\mathcal{I}_Z\mathcal{F}=0$ となる連接層 $\mathcal{F}$ に対し、$\mathcal{H}:=\mathcal{H}om_{\mathcal{O}_Y}(\mathcal{A},\mathcal{F})$ は連接層であり（連接層の命題「テンソル積と内部 Hom」）、$\mathcal{A}$ の局所切断 $\alpha,\alpha'$ について $(\alpha\varphi)(\alpha')=\varphi(\alpha\alpha')$ により $\mathcal{A}$ 加群、したがって $f_*\mathcal{O}_X\to f_*\iota_*\mathcal{O}_W=\mathcal{A}$（$\iota\colon W\to X$ は包含）を通して $f_*\mathcal{O}_X$ 加群である。lem-ca-modules により $\mathcal{H}\cong f_*\mathcal{G}$ となる準連接層 $\mathcal{G}$ があり、$X$ はアフィンなので、準連接層の定理「アフィンスキーム上の消滅定理」により $H^i(Y,\mathcal{H})=H^i(X,\mathcal{G})=0$（$i\ge1$）である。$\mathcal{O}_Y$ 線形写像
$$ \beta\colon\mathcal{H}\longrightarrow\mathcal{F}^{\oplus r},\qquad\varphi\longmapsto(\varphi(s_1),\dots,\varphi(s_r)) $$
を考える。$\mathcal{A}$ は連接なので $\mathcal{H}_\eta=\operatorname{Hom}_{\mathcal{O}_{Y,\eta}}(\mathcal{A}_\eta,\mathcal{F}_\eta)$ であり（Har77 III 命題 6.8、p. 235）、$\mathcal{F}_\eta$ も $\mathcal{A}_\eta$ も $\mathcal{I}_{Z,\eta}$ で消えるので、これは $\operatorname{Hom}_{\kappa(\eta)}(K(W),\mathcal{F}_\eta)$ に等しい。$s_1,\dots,s_r$ は基底なので $\beta_\eta$ は全単射である。
(e) 台の小さい部分への押し込み。 $\operatorname{Ker}\beta$ と $\operatorname{Coker}\beta$ は連接層で（連接層の系「連接層の射の核・像・余核」）、$\eta$ での茎は $0$ である。その台は閉集合で（層の台の定理「有限型の加群の層の台は閉集合」）、$\eta$ を含まず、$\mathcal{H}$ と $\mathcal{F}$ が $Z$ の外で $0$ なので $Z$ に含まれる。$Z$ の閉集合で $\eta$ を含まないものは真の閉部分集合なので、$(\ast)$ の帰納法の仮定により $\operatorname{Ker}\beta$、$\operatorname{Coker}\beta$ の $i\ge1$ のコホモロジーは消える。$\mathcal{Q}=\operatorname{Im}\beta$ とすると、$0\to\operatorname{Ker}\beta\to\mathcal{H}\to\mathcal{Q}\to0$ の長完全列から $H^i(Y,\mathcal{Q})=0$（$i\ge1$）、$0\to\mathcal{Q}\to\mathcal{F}^{\oplus r}\to\operatorname{Coker}\beta\to0$ の長完全列から $H^i(Y,\mathcal{F})^{\oplus r}=0$ である。$r\ge1$ なので $H^i(Y,\mathcal{F})=0$ である。
以上で $(\ast)_Z$ が示され、矛盾が導かれた。$\square$

prop-ca-vanishing により、$Y$ 上の任意の連接なイデアル層 $\mathcal{I}$ について $H^1(Y,\mathcal{I})=0$ である。$Y$ は Noether スキームなので、アフィン射の定理「Serre の判定」の 3 ⇒ 1 により $Y$ はアフィンである。$\square$

1：閉埋め込み $Y_{\mathrm{red}}\to Y$ は有限全射なので、thm-ca-main により $Y_{\mathrm{red}}$ がアフィンなら $Y$ もアフィンである。逆にアフィンスキームの閉部分スキームはアフィンである。2：$X=Y_1\sqcup\cdots\sqcup Y_m$ は $\operatorname{Spec}(\prod_l\Gamma(Y_l,\mathcal{O}))$ と同型なのでアフィンであり、閉埋め込みたちから定まる $X\to Y$ は有限全射である。thm-ca-main を当てればよい。$\square$