Besov空間

評価は Youngの畳み込み不等式 の定理「Youngの畳み込み不等式」で指数を $(1,p,p)$ としたものである。$|x|\le R$ では $|\partial^\alpha K(x-y)|\le C_{\alpha,R}(1+|y|)^{-n-1}$ であり、右辺と $|g|$ の積は Hölder の不等式で可積分なので、優収束定理により積分記号の下で何回でも微分でき、導関数は連続である。$\vartheta\in\mathcal S$ をとる。$K*|g|\in L^p$、$\widehat\vartheta\in L^{p'}$ なので Fubini の定理が使え、$\langle K*g,\widehat\vartheta\rangle=\int g(y)\Bigl(\int K(x-y)\widehat\vartheta(x)\,dx\Bigr)dy$ である。内側の積分は、$\widehat\vartheta$ を積分で書いて順序を替えると $\int\widehat K(\xi)\vartheta(\xi)e^{-2\pi iy\cdot\xi}\,d\xi=\widehat{\widehat K\vartheta}(y)$ に等しい。$\widehat K\vartheta\in\mathcal S$ なので $\langle\widehat{K*g},\vartheta\rangle=\langle g,\widehat{\widehat K\vartheta}\rangle=\langle\widehat g,\widehat K\vartheta\rangle=\langle\widehat K\widehat g,\vartheta\rangle$ である。$\square$

$\vartheta\in\mathcal S$ について $\langle S_Nf,\vartheta\rangle=\langle\widehat f,\chi(2^{-N}\cdot)\,\mathcal F^{-1}\vartheta\rangle$ なので、上の収束を示せばよい。$(1-\chi(2^{-N}\xi))\eta(\xi)$ とその導関数は $|\xi|\ge2^N$ の外では $0$ である。$\chi(2^{-N}\cdot)$ の導関数は $N\ge0$ によらない定数で抑えられるので、Leibniz の公式から多重指数 $\beta,\gamma$ について$$\sup_\xi\bigl|\xi^\beta\partial^\gamma\bigl[(1-\chi(2^{-N}\xi))\eta(\xi)\bigr]\bigr|\le C_{\beta,\gamma}\sup_{|\xi|\ge2^N}\max_{\gamma'\le\gamma}\bigl|\xi^\beta\partial^{\gamma'}\eta(\xi)\bigr|$$であり、右辺は $\eta$ が急減少することから $N\to\infty$ で $0$ に近づく。$\square$

$\varphi'_j(\xi)\ne0$ となる $\xi$ では、$k\le j-2$ の $\varphi_k$ は $0$ である（$\varphi_k(\xi)\ne0$ なら $|\xi|< 2^{k+1}\le2^{j-1}$、ただし $k=0$ では $|\xi|< 2\le2^{j-1}$ となり、$|\xi|>2^{j-1}$ に反する）。同様に $k\ge j+2$ の $\varphi_k$ も $0$ である（$|\xi|>2^{k-1}\ge2^{j+1}$ となる）。$\sum_k\varphi_k=1$ なので上の等式が成り立つ。$K'_j:=\mathcal F^{-1}\varphi'_j$ とおくと、lem-besov-convolution により $K'_j*\Delta_kf$ の Fourier 変換は $\varphi'_j\varphi_k\widehat f$ なので、$\Delta'_jf=\sum_{|k-j|\le1}K'_j*\Delta_kf\in L^p$ であり、$A:=\max\{\|K'_0\|_1,\|K'_1\|_1\}$ として $\|\Delta'_jf\|_p\le A\sum_{|k-j|\le1}\|\Delta_kf\|_p$ である（$j\ge1$ で $\|K'_j\|_1=\|K'_1\|_1$）。$|k-j|\le1$ なら $2^{js}\le2^{|s|}2^{ks}$ なので、$\ell^q$ の三角不等式から左辺の列の $\ell^q$ ノルムは $3A2^{|s|}\|f\|_{B^s_{p,q}}$ 以下である。最後の主張は、役割を入れ替えて同じ議論を使えばよい（$(\varphi_j)$ もこの命題の条件を満たす）。$\square$

$g:=\Delta_jf$ とおく。$\widehat{\Psi_j}(\xi)=\chi(2^{-j-1}\xi)$ は $\varphi_j$ の台を含む球 $|\xi|\le2^{j+1}$ の上で $1$ なので、lem-besov-convolution により $\widehat{\Psi_j*g}=\chi(2^{-j-1}\cdot)\varphi_j\widehat f=\widehat g$ であり、$g=\Psi_j*g$ で右辺は $C^\infty$ 級である。同じ補題から $\partial_kg=(\partial_k\Psi_j)*g$、$\|\partial_k\Psi_j\|_1=2^{j+1}\|\partial_k\Psi\|_1$ なので 1 つ目の不等式を得る。2 つ目は、$1/t=1-1/p+1/r$ として Youngの畳み込み不等式 の定理「Youngの畳み込み不等式」を使うと$$\|g\|_r=\|\Psi_j*g\|_r\le\|\Psi_j\|_t\|g\|_p=2^{(j+1)n(1/p-1/r)}\|\Psi\|_t\|g\|_p$$であり、$\|\Psi\|_t\le\max\{\|\Psi\|_1,\|\Psi\|_\infty\}$ による。$\square$

右の不等式。$f\in B^s_{p,q}$ とし、$f_j:=\Delta_jf$、$b_j:=2^{js}\|f_j\|_p$ とおく。lem-besov-in-lp から $f\in L^p$、$\|f\|_p\le C\|f\|_{B^s_{p,q}}$ であり、$f=\sum_jf_j$ が $L^p$ で成り立つ。$\delta_h$ は $L^p$ 上の有界作用素なので $\delta_hf=\sum_j\delta_hf_j$ である。$\|\delta_hf_j\|_p\le2\|f_j\|_p$ であり、$f_j$ は $C^\infty$ 級なので $\delta_hf_j(x)=\int_0^1h\cdot\nabla f_j(x+th)\,dt$ と書け、Minkowskiの不等式 の定理「Minkowskiの不等式（積分）」と lem-besov-bernstein から $\|\delta_hf_j\|_p\le|h|\sum_k\|\partial_kf_j\|_p\le nC2^j|h|\,\|f_j\|_p$ である。よって $C_1:=\max\{2,nC\}$、$m(u):=u^{-s}\min\{1,u\}$ とおくと$$|h|^{-s}\|\delta_hf\|_p\le C_1\sum_{j\ge0}m(2^j|h|)\,b_j$$である。$t>0$ について、$2^jt\le1$ の項 $(2^jt)^{1-s}$ と $2^jt>1$ の項 $(2^jt)^{-s}$ はそれぞれ公比 $2^{-(1-s)}$、$2^{-s}$ の等比級数で抑えられるので$$\sum_{j\in\mathbb Z}m(2^jt)\le M:=\frac1{1-2^{s-1}}+\frac1{1-2^{-s}},\qquad\int_0^\infty m(u)\,\frac{du}u=\frac1{1-s}+\frac1s$$である。$q=\infty$ なら $|h|^{-s}\|\delta_hf\|_p\le C_1M\sup_jb_j$ である。$q<\infty$ なら、重み $m(2^j|h|)$ についての Hölder の不等式から $\bigl(\sum_jm(2^j|h|)b_j\bigr)^q\le M^{q-1}\sum_jm(2^j|h|)b_j^q$ であり、$dh/|h|^n$ で積分して極座標と $u=2^jt$ の置換を使うと$$[f]_{B^s_{p,q}}^q\le C_1^qM^{q-1}\sigma_{n-1}\Bigl(\frac1{1-s}+\frac1s\Bigr)\sum_jb_j^q$$を得る。

左の不等式。$f\in L^p$ とする。$\|\Delta_0f\|_p\le\|K_0\|_1\|f\|_p$ である。$j\ge1$ では $\int K_j=0$ なので$$\Delta_jf(x)=\int K_j(y)f(x-y)\,dy=\int K_j(y)\bigl(f(x-y)-f(x)\bigr)\,dy=\int K_j(y)\,\delta_{-y}f(x)\,dy$$であり、Minkowski の不等式から $\|\Delta_jf\|_p\le\int|K_j(y)|\,\omega(y)\,dy$、$\omega(y):=\|\delta_{-y}f\|_p=\|\delta_yf\|_p$ である（$\delta_{-y}f(x)=-\delta_yf(x-y)$）。

$q=\infty$ のとき：$\omega(y)\le[f]_{B^s_{p,\infty}}|y|^s$ と $K_j(y)=2^{(j-1)n}K_1(2^{j-1}y)$ から $2^{js}\|\Delta_jf\|_p\le[f]_{B^s_{p,\infty}}\,2^s\int|K_1(z)||z|^s\,dz$ である。

$q<\infty$ のとき：$a:=sq+n$ とおき、$K_1\in\mathcal S$ なので $|K_1(z)|\le A(1+|z|)^{-a-1}$ となる $A$ をとる。$u_j:=2^{j-1}|y|$ とおくと$$2^{jsq}|K_j(y)|=2^{sq}|y|^{-a}u_j^{\,a}|K_1(2^{j-1}y)|\le2^{sq}A|y|^{-a}u_j^{\,a}(1+u_j)^{-a-1}$$であり、$u_j\le1$ の項は $u_j^{\,a}$、$u_j>1$ の項は $u_j^{-1}$ で抑えられるので、$\sum_{j\ge1}2^{jsq}|K_j(y)|\le B|y|^{-sq-n}$（$B:=2^{sq}A\bigl((1-2^{-a})^{-1}+2\bigr)$）である。測度 $|K_j(y)|\,dy$（全質量 $\|K_1\|_1$）についての Hölder の不等式から $\bigl(\int|K_j|\omega\bigr)^q\le\|K_1\|_1^{q-1}\int|K_j|\omega^q$ なので、Tonelli の定理により$$\sum_{j\ge1}\bigl(2^{js}\|\Delta_jf\|_p\bigr)^q\le\|K_1\|_1^{q-1}\int\sum_{j\ge1}2^{jsq}|K_j(y)|\,\omega(y)^q\,dy\le\|K_1\|_1^{q-1}B\,[f]_{B^s_{p,q}}^q$$である。どちらの場合も $\Delta_jf\in L^p$ なので $f\in B^s_{p,q}$ であり、左の不等式を得る。$\square$

$\varphi_j$ の台の上では $1\le\langle\xi\rangle/2^j\le5\pi$ である（$j\ge1$ では $\pi2^j\le2\pi|\xi|\le\langle\xi\rangle\le1+2\pi|\xi|\le(1+4\pi)2^j$、$j=0$ では $|\xi|\le2$）。よってその上で $4^{js}\le(5\pi)^{2|s|}\langle\xi\rangle^{2s}$、$\langle\xi\rangle^{2s}\le(5\pi)^{2|s|}4^{js}$ である。各 $\xi$ で $0$ でない $\varphi_j(\xi)$ は高々 2 つで $|\varphi_j|\le1$ である。

$f\in H^s$ なら、$\varphi_j\widehat f$ は有界な台をもつ $L^2$ の関数なので $\Delta_jf\in L^2$、$\|\Delta_jf\|_2=\|\varphi_j\widehat f\|_2$ であり、$\sum_j4^{js}\|\Delta_jf\|_2^2=\int\sum_j4^{js}|\varphi_j|^2|\widehat f|^2\,d\xi\le2(5\pi)^{2|s|}\|f\|_{H^s}^2$ である。

$f\in B^s_{2,2}$ なら $\varphi_j\widehat f=\widehat{\Delta_jf}\in L^2$ である。lem-besov-partial-sums の Fourier 変換をとると $\widehat f=\sum_j\varphi_j\widehat f$（$\mathcal S'$ での収束）であり、球 $|\xi|< 2^N$ の上では $j\ge N+2$ の $\varphi_j$ が $0$ なので有限和になる。よって $\widehat f$ は局所 2 乗可積分な関数で、Cauchy–Schwarz の不等式から $|\widehat f|^2\le2\sum_j|\varphi_j\widehat f|^2$ である。これから $\|f\|_{H^s}^2\le2\sum_j\int\langle\xi\rangle^{2s}|\varphi_j\widehat f|^2\,d\xi\le2(5\pi)^{2|s|}\|f\|_{B^s_{2,2}}^2$ を得る。$\square$