Eilenberg–Zilber圏
概要
Eilenberg–Zilber圏（Eilenberg–Zilber category）とは、非負整数の次数を持ち、射の分裂エピ射・モノ射分解と退化作用素の絶対押し出しを備える小さい圏である。集合値前層の各要素は、非退化要素の退化として一意な比較同型を除いて一意に表される。この標準表示によって、左Kan拡張で定めた骨格は部分前層となり、各対象でのラッチング射は退化部分への包含になる。自己同型や異なる同型対象も許される。
退化した要素から非退化な核へ
単体的集合では、辺をつぶす退化写像によって、高い次数の単体が低い次数の単体から生じる。そのような重複を取り除くと、各単体には一つの非退化な核が残る。Eilenberg–Zilber圏は、この現象を単体圏以外の添字圏でも扱うための圏である。射の分解だけでなく、二つの退化表示を比較する押し出しの条件を持つ。この条件によって、核の存在に加えて、異なる表示がどう一致するかまで制御できる。
この記事では小さい圏 $R$ 上の集合値前層 $X\colon R^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}$ を扱う。対象 $r$ に対応する集合を $X(r)$ と書き、射 $f\colon r\to s$ による写像を $X(f)\colon X(s)\to X(r)$ と書く。したがって $f\colon r\to s$、$g\colon s\to t$ に対して $X(gf)=X(f)X(g)$ である。次数は非負整数を取り、対象の自己同型は許す。また、同型な対象をあらかじめ一つにまとめることもしない。
主な結論は三つある。すべての要素に非退化な核が存在し、その表示は一意な比較同型を除いて一意である。低次数の要素から左Kan拡張で作った骨格は、元の前層の部分前層になる。そして、ある対象でのラッチング対象は、その対象での退化要素全体と一致する。この三つは同じ標準表示の一意性から導かれるが、自然性を述べる範囲には違いがある。
Eilenberg–Zilber圏の定義
射 $e\colon r\to s$ が分裂エピ射であるとは、$ei=\mathrm{id}_s$ となる射 $i\colon s\to r$ が存在することをいう。$i$ を切断という。切断は一意とは限らない。分裂エピ射はエピ射であり、その切断はモノ射である。実際、$ue=ve$ なら右から $i$ を合成して $u=v$ を得る。また $ia=ib$ なら左から $e$ を合成すればよい。
表現可能前層を $R[r]=R(-,r)$ と書く。米田埋め込みによって $e\colon r\to s$ は自然変換 $R[e]\colon R[r]\to R[s]$ を与える。$e$ が分裂エピ射なら $R[e]$ も分裂エピ射であり、各対象で全射になる。
$R$ の押し出し正方形が絶対押し出しであるとは、米田埋め込み $R\to\mathbf{Set}^{R^{\mathrm{op}}}$ で写した正方形も前層圏で押し出しになることをいう。
ここではこの米田埋め込みによる特徴づけを用いる（BM11 Remark 6.6）。前層圏の余極限は対象ごとに集合の余極限を取って計算する。したがって、絶対押し出しという条件は、$R$ 内に押し出し対象が存在するだけでなく、任意の試験対象 $u$ からの射の集合にも、対応する押し出しの普遍性が成立することを要求している。
Eilenberg–Zilber圏（Eilenberg–Zilber category、略してEZ圏）とは、小さい圏 $R$ と次数関数 $d\colon\operatorname{Ob}R\to\mathbb N$ で、次の三条件を満たすものである。
- モノ射は次数を下げず、次数を保つことと同型であることが同値である。すなわち、非同型のモノ射は次数を厳密に上げる。
- 任意の射 $f$ は $f=me$ と分解でき、$e$ は分裂エピ射、$m$ はモノ射である。
- 始域を共有する任意の二つの分裂エピ射は絶対押し出しを持つ。
この定義は BM11 Definition 6.7 による。モノ射を面作用素、分裂エピ射を退化作用素ともいう。面作用素には同型も含める。「退化した要素」を定めるときには、退化作用素のうち非同型のものだけを使う。非自明な自己同型による座標の変更を、次数を下げる退化と取り違えないためである。
EZ圏の分裂エピ射 $e\colon r\to s$ は $d(s)\leq d(r)$ を満たす。等号が成り立つことと $e$ が同型であることは同値である。
切断 $i\colon s\to r$ はモノ射なので、定義の条件1より $d(s)\leq d(r)$ である。等号なら $i$ は同型であり、$ei=\mathrm{id}_s$ より $e=i^{-1}$ も同型である。逆に $e$ が同型なら $e$ と $e^{-1}$ はともにモノ射であるから、二つの次数の間に両向きの不等式が成り立ち、次数は等しい。$\square$
この補題は、次数による帰納法を可能にする。退化を一度取り除くたび、単に表示が短くなるだけでなく、非負整数で測った次数が厳密に小さくなる。したがって、退化の取り除きを無限に続ける必要はない。
分裂エピ射 $e\colon r\to s$、$e'\colon r\to s'$ の絶対押し出しを
$$
\xymatrix{r\ar[r]^e\ar[d]_{e'}&s\ar[d]^a\\s'\ar[r]_b&t}
$$
とする。このとき $a$ と $b$ も分裂エピ射である。図式の可換性は $ae=be'$ を意味する。
各対象 $u$ で米田像を評価する。$R(u,e)$ と $R(u,e')$ は全射であり、その押し出しは $R(u,t)$ である。押し出し集合の元は $R(u,s)$ または $R(u,s')$ の元で表される。後者の元は、$R(u,e')$ の全射性により共通の集合 $R(u,r)$ から来るので、押し出しの関係によって $R(u,s)$ の元でも表される。よって $R(u,a)$ は全射である。特に $u=t$ とし、$\mathrm{id}_t$ の逆像を取ると、$aj=\mathrm{id}_t$ となる $j\colon t\to s$ が得られる。同様に $b$ にも切断がある。$\square$
非退化表示の存在と一意性
$x\in X(r)$ が退化であるとは、非同型の分裂エピ射 $e\colon r\to s$ と $z\in X(s)$ により $x=X(e)z$ と書けることをいう。そうでない要素を非退化という。
$e$ が分裂エピ射、$z$ が非退化である表示 $x=X(e)z$ を、$x$ の標準表示という。この場合には $e$ が同型でもよい。
米田の補題で $x$ を写像 $R[r]\to X$ と見ると、退化とは、その写像が非同型の退化作用素 $R[r]\to R[s]$ を経由することである。これは要素による定義と全く同じである。以後は計算を追いやすいように要素の記法を使う。
任意のEZ圏 $R$、集合値前層 $X$、対象 $r$、要素 $x\in X(r)$ に対し、標準表示が存在する。二つの標準表示
$$
x=X(e)z=X(e')z',\qquad e\colon r\to s,\quad e'\colon r\to s'
$$
の間には、
$$
e'=ue,\qquad z=X(u)z'
$$
を満たす同型 $u\colon s\to s'$ がただ一つ存在する。
まず存在を示す。$x$ が非退化なら $e=\mathrm{id}_r$ と取ればよい。退化なら $x=X(e_1)x_1$ と書く。$x_1$ も退化なら同じ操作を繰り返す。各段階で終域の次数が厳密に減るので、高々 $d(r)$ 回で非退化要素に達する。分裂エピ射の合成は分裂エピ射なので、得られた合成を $e$ とすれば標準表示になる。
次に一意性を示す。$e,e'$ の絶対押し出しを上の補題の図式のように取る。$z,z'$ に対応する写像 $R[s]\to X$、$R[s']\to X$ は $R[r]$ 上で一致する。米田像の正方形が押し出しなので、これらは一つの写像 $R[t]\to X$ に延長する。対応する元を $w\in X(t)$ と書けば、
$$
z=X(a)w,\qquad z'=X(b)w
$$
である。補題より $a,b$ は分裂エピ射である。$z,z'$ の非退化性により、そのどちらも非同型ではあり得ず、両方とも同型である。そこで $u=b^{-1}a$ と置けば、$ae=be'$ より $e'=ue$、また反変性より $X(u)z'=X(a)X(b^{-1})X(b)w=z$ を得る。
最後に $u_1e=u_2e$ なら、$e$ がエピ射なので $u_1=u_2$ である。したがって比較同型は一意である。$\square$
この定理は BM11 Proposition 6.9 に対応する。存在の証明では次数、比較同型の存在には絶対押し出し、比較同型の一意性には分裂エピ射の消去を使った。三つの役割は別々である。特に、ただ射をエピ射とモノ射に分けられるという条件だけから、標準表示の一意性が出るわけではない。
「本質一意」は、核の対象 $s$ と元 $z$ と退化射 $e$ が、文字通り同じデータに定まるという意味ではない。自己同型 $v\colon s\to s$ があれば、$e'=ve$、$z'=X(v^{-1})z$ も同じ要素の標準表示になる。二つのデータを比べる同型が一意なのであって、自己同型の存在を否定しているのではない。この区別は、対称性を持つ図形を添字にする際に重要になる。
ここで単体圏がEZ圏であるという例の全公理の確認は上記文献に譲る。一般定理の証明は、その例の成立から推測したものではなく、EZ圏の三公理だけを使っている。また、鎖複体のテンソル積を比較する Eilenberg–Zilberの定理 とは異なる概念である。
立方体集合 の定義「立方体の圏」の圏 $\square$ に $d([1]^n)=n$ を入れるとEZ圏になる。$[1]^m$ の座標の添字の部分集合 $A$ について、$[1]^A$ を $A$ から $\{0,1\}$ への写像の集合とし、添字の小さい順に並べて $[1]^{|A|}$ と同一視する。$A\subseteq B$ について、制限を $\rho_{BA}\colon[1]^B\to[1]^A$、$A$ の外に $0$ を置く延長を $\varepsilon_{AB}\colon[1]^A\to[1]^B$ と書く。$\square$ の分裂エピ射はちょうど座標を忘れる射影であり、始域を共有する二つは $p_I=\rho_{[m]I}$、$p_J=\rho_{[m]J}$（$I,J\subseteq[m]:=\{1,\dots,m\}$）の形である。$K:=I\cap J$ とおくと、それらの絶対押し出しは
$$
\xymatrix{[1]^m\ar[r]^{\rho_{[m]I}}\ar[d]_{\rho_{[m]J}}&[1]^I\ar[d]^{\rho_{IK}}\\[1]^J\ar[r]_{\rho_{JK}}&[1]^K}
$$
であり、この正方形は任意の関手で写しても押し出しのままである。$\square$ の自己同型は恒等射だけなので、標準表示の比較同型は恒等射に限られ、thm-ezc-standard は 立方体集合 の命題「立方体集合の Eilenberg–Zilber の補題」と同じ主張になる。
確かめを開く
条件 1。立方体集合 の系「モノ射・エピ射と自己同型」の 1 により、モノ射 $f\colon[1]^m\to[1]^n$ はすべての入力を使い、各入力は別々の成分に一度ずつ現れるので $m\le n$ である。$m=n$ なら成分はすべて変数で、添字が増加するので $f$ は恒等射である。同型は恒等射だけなので（同じ系の 3）、モノ射が次数を保つことと同型であることは同値である。
条件 2。同じ記事の命題「射の座標による特徴づけ」により $f=c\circ p$ で、$c$ はモノ射、$p$ は使う入力の集合 $I$ への制限 $\rho_{[m]I}$ である。一般に $\rho_{BA}$ と $\varepsilon_{AB}$ は、成分が定数 $0$ か添字の増加する変数なので同じ命題により $\square$ の射である。$\rho_{[m]I}\varepsilon_{I[m]}=\mathrm{id}$ だから $p$ は分裂エピ射である。逆に分裂エピ射はエピ射なので、系の 2 により $c$ は恒等射で、射影 $\rho_{[m]I}$ である。
恒等式。部分集合 $A,B\subseteq C$ について、$\rho_{CB}\,\varepsilon_{AC}=\varepsilon_{(A\cap B)B}\,\rho_{A(A\cap B)}$ である。実際、両辺とも $B$ 上の写像で、$A\cap B$ では元の値、$B\setminus A$ では $0$ をとる。また $A\subseteq B$ なら $\rho_{BA}\varepsilon_{AB}=\mathrm{id}$、$A\subseteq B\subseteq C$ なら $\rho_{BA}\rho_{CB}=\rho_{CA}$ である。正方形は $\rho_{IK}\rho_{[m]I}=\rho_{[m]K}=\rho_{JK}\rho_{[m]J}$ により可換である。$s_I:=\varepsilon_{I[m]}$、$s_J:=\varepsilon_{J[m]}$、$s_K:=\varepsilon_{K[m]}$、$t_I:=\varepsilon_{KI}$、$t_J:=\varepsilon_{KJ}$ とおくと、最初の恒等式から $\rho_{[m]I}s_K=t_I$、$\rho_{[m]J}s_K=t_J$、$\rho_{[m]J}s_I=t_J\rho_{IK}$、$\rho_{[m]I}s_J=t_I\rho_{JK}$ を得る。
条件 3。$T\colon\square\to\mathcal D$ を任意の関手とし、$\alpha\colon T[1]^I\to Z$、$\beta\colon T[1]^J\to Z$ が $\alpha\,T(\rho_{[m]I})=\beta\,T(\rho_{[m]J})$ を満たすとする。右から $T(s_K)$ を合成すると $\alpha T(t_I)=\beta T(t_J)$ である。$h:=\alpha T(t_I)$ とおくと、$T(s_I)$ を合成した等式と上の恒等式から $hT(\rho_{IK})=\beta T(t_J\rho_{IK})=\beta T(\rho_{[m]J}s_I)=\alpha T(\rho_{[m]I}s_I)=\alpha$ であり、同様に $hT(\rho_{JK})=\alpha T(t_I\rho_{JK})=\alpha T(\rho_{[m]I}s_J)=\beta T(\rho_{[m]J}s_J)=\beta$ である。$h'T(\rho_{IK})=\alpha$ なら $h'=h'T(\rho_{IK}t_I)=\alpha T(t_I)=h$ なので、$h$ は一意である。よって $T$ で写した正方形は押し出しである。$T$ を恒等関手と米田埋め込みにとれば、正方形は $\square$ の押し出しで、絶対押し出しである。$K$、$I$、$J$ が空の場合や $I=J$ の場合も同じ式で通る（$[1]^\emptyset$ は 1 点）。$\square$
左Kan拡張で作る骨格
低次数のデータから前層を復元するには、「低次数の対象にある元」を集めるだけでは足りない。その元を高次数へ移した結果と、その間の同一視も集める必要がある。左Kan拡張はまさにこの操作を行う。しかし一般の添字圏では、復元した前層から元の前層への写像が単射になるとは限らない。EZ圏では標準表示の一意性がこの単射性を保証する。
$n\geq-1$ とし、$R_{\leq n}$ を次数 $n$ 以下の対象からなる充満部分圏、$j_n\colon R_{\leq n}\hookrightarrow R$ を包含とする。$X$ の $n$ 骨格を
$$
\operatorname{sk}_nX=(j_n^{\mathrm{op}})_!(j_n^{\mathrm{op}})^*X
$$
と定義する。ここで $!$ は左Kan拡張、$*$ は制限である。随伴の余単位を $\varepsilon_n\colon\operatorname{sk}_nX\to X$ と書く。$n=-1$ では部分圏は空なので、骨格は空前層である。
以下では左Kan拡張の点ごとの公式を具体的に書き下す。$r$ での添字圏 $C_n(r)$ の対象は射 $f\colon r\to s$ で $d(s)\leq n$ となるもの、その射 $f\to f'$ は
$$
h\colon s'\to s,\qquad f=hf'
$$
を満たす射である。この向きに注意する。前層は反変なので、図式の写像は $X(h)\colon X(s)\to X(s')$ となる。よって骨格の元は対 $(f,x)$、$x\in X(s)$ の同値類で表され、基本関係は
$$
(f,x)\sim(f',X(h)x)\quad(f=hf')
$$
である。余単位は $\varepsilon_{n,r}[(f,x)]=X(f)x$ で定まる。関係の両辺で像が等しいことは、$X(f)=X(f')X(h)$ から分かる。
EZ圏上の任意の集合値前層 $X$ と $n\geq-1$ に対し、$\varepsilon_n$ はモノ射である。その像は
$$
X^{(n)}(r)=\{X(f)x\mid f\colon r\to s,\ d(s)\leq n,\ x\in X(s)\}
$$
で与えられる部分前層である。この同一視は、$R$ の射、前層の自然変換、および $n\leq m$ に対する骨格の比較について自然である。
像の記述は余単位の公式そのものである。また $a\colon r'\to r$ に対して $X(a)X(f)x=X(fa)x$ となり、同じ低次数対象 $s$ を経由するので、像は部分前層をなす。
単射性のため、まず任意の代表 $(f,x)$ を標準表示の代表へ結ぶ。$f=me$、$e\colon r\to t$ が分裂エピ射、$m\colon t\to s$ がモノ射となるように分解する。$d(t)\leq d(s)\leq n$ であり、$C_n(r)$ の射 $f\to e$ により
$$
(f,x)\sim(e,X(m)x)
$$
となる。次に $X(m)x=X(q)z$ を標準表示とする。$q\colon t\to u$ は分裂エピ射なので $d(u)\leq n$ である。添字圏には $q$ に対応する射 $qe\to e$ があり、
$$
(qe,z)\sim(e,X(q)z)
$$
となる。したがって、最初の代表は、終域の次数が $n$ 以下である標準表示 $(qe,z)$ に結ばれた。
二つの代表が余単位で同じ元に写るとする。上の操作でそれぞれ標準表示 $(e,z)$、$(e',z')$ に結ぶ。標準表示の定理により $e'=ue$、$z=X(u)z'$ となる同型 $u$ がある。$C_n(r)$ の射 $e'\to e$ はまさに $u$ で与えられ、その関係は $(e',z')\sim(e,z)$ である。よって最初の二つの代表も同値であり、余単位は単射である。$n=-1$ では空集合からの写像なので同様に単射である。
自然性も代表の公式で確認できる。$a\colon r'\to r$ は $[(f,x)]$ を $[(fa,x)]$ に送り、前層射 $v\colon X\to Y$ は $[(f,x)]$ を $[(f,v_s(x))]$ に送る。これらの余単位での像は、それぞれ $X(a)X(f)x$、$v_rX(f)x$ となる。$n\leq m$ の比較は代表 $(f,x)$ をそのまま同じ代表へ送るので、像の包含 $X^{(n)}\subseteq X^{(m)}$ と一致する。$\square$
この定理は BM11 Corollary 6.10 に対応する。証明の重要な点は、標準表示の対象をあらかじめ一つずつ選ぶ必要がないことである。各代表は添字圏内のジグザグ $f\to e\leftarrow qe$ によって標準表示に結ばれ、二つの標準表示は一意な比較同型で結ばれる。余極限は、このようなジグザグで結ばれる代表をすでに同一視している。
特に、自然変換が非退化要素を非退化要素へ送るという仮定は使っていない。一般の自然変換は核の次数を下げることがあるが、次数 $n$ 以下の対象を経由するという条件は保つ。この「非退化性」と「低次数で生成されること」の違いによって、骨格はすべての前層射について自然になる。
骨格を上の像と同一視すると、
$$
\emptyset=X^{(-1)}\subseteq X^{(0)}\subseteq X^{(1)}\subseteq\cdots,
\qquad X=\bigcup_{n\geq-1}X^{(n)}
$$
である。$d(r)\leq n$ なら $X^{(n)}(r)=X(r)$ となる。
低次数対象の範囲を広げれば、経由できる元は増える。各 $x\in X(r)$ は $f=\mathrm{id}_r$ を経由するので $X^{(d(r))}(r)$ に入る。したがって対象ごとに和集合は $X(r)$ であり、$d(r)\leq n$ の場合の等式も従う。$\square$
ラッチング対象と退化部分
骨格は次数の上限 $n$ を固定して作った。一方、ラッチング対象は対象 $r$ を固定し、それより低い次数から退化として入ってくる要素を集める。ここでは前層を $R^{\mathrm{op}}$ 上の図式と見ているので、$R$ の分裂エピ射がラッチングの正方向に対応する。
$r\in R$ に対し、$J(r)$ の対象を非同型の分裂エピ射 $e\colon r\to s$、射 $e\to e'$ を
$$
h\colon s'\to s,\qquad e=he'
$$
を満たす分裂エピ射とする。$e$ に $X(s)$、$h$ に $X(h)$ を対応させた図式の余極限を $L_rX$ とする。ラッチング射は
$$
\lambda_r\colon L_rX\to X(r),\qquad [(e,x)]\longmapsto X(e)x
$$
である。
上の三角形で $e,e'$ が分裂エピ射なら、$h$ が分裂エピ射であることは自動的でもある。実際、$e$ の切断 $i$ に対して $h(e'i)=ei=\mathrm{id}_s$ である。したがって、三角形を可換にする射の一部だけを恣意的に選んだ定義ではない。
$N=d(r)$ とし、$D_rX\subseteq X(r)$ を退化要素全体とする。ラッチング射は単射で、像は $D_rX$ である。また添字圏の包含 $J(r)\to C_{N-1}(r)$ から生じる比較射
$$
c_r\colon L_rX\longrightarrow (\operatorname{sk}_{N-1}X)(r)
$$
は同型であり、次の三角形が可換になる。
$$
\xymatrix{L_rX\ar[rr]^{c_r}_{\cong}\ar[dr]_{\lambda_r}&&(\operatorname{sk}_{N-1}X)(r)\ar[dl]^{\varepsilon_{N-1,r}}\\&X(r)&}
$$
すなわち $\varepsilon_{N-1,r}c_r=\lambda_r$ であり、両者の像は同じ部分集合 $D_rX=X^{(N-1)}(r)$ である。
$\lambda_r$ の像が退化要素全体であることは定義から従う。単射性を示すため、同じ元へ写る二代表 $(e,x)$、$(e',x')$ を取る。$x=X(q)z$、$x'=X(q')z'$ を標準表示とする。$qe$ と $q'e'$ は非同型の分裂エピ射である。実際、$e,e'$ の段で次数が厳密に下がり、その後で上がることはない。よって $(qe,z)$、$(q'e',z')$ は $J(r)$ における代表であり、それぞれ元の代表と同値である。
この二つの標準表示は同じ元を表すから、標準表示の定理の比較同型で結ばれる。その同型は $J(r)$ の射にもなるので、二代表は $L_rX$ の中で等しい。これで $\lambda_r$ の単射性が示された。
比較射 $c_r$ は代表 $(e,x)$ を同じ代表へ送るので、余単位との可換性は公式から従う。全射性を見るには、骨格の任意の代表 $(f,x)$ で $d(s)\leq N-1$ となるものを取る。$f=me$ と分解すれば、$e$ の終域 $t$ は $d(t)\leq d(s)< N$ を満たす。したがって $e$ は非同型の分裂エピ射であり、$(f,x)\sim(e,X(m)x)$ は $c_r$ の像に入る。さらに $c_r$ で像が等しければ $\lambda_r$ で像が等しいので、すでに示した単射性により元も等しい。よって $c_r$ は同型である。$N=0$ では両添字圏は空であり、三角形は二つの空集合からの包含となる。$\square$
この比較は、単に二つの集合が全単射になるという主張より強い。左Kan拡張からの余単位と、ラッチング余極限からの射が、指定した比較射を通して同じ包含になることを述べている。したがってラッチング射を別の同型な集合への写像に取り換えてから議論し直す必要がない。一般化Reedy構造によるラッチング対象と骨格の比較は BM11 Lemma 6.2、EZ前層での骨格の像は同 Corollary 6.10 に対応する。
自然性と自己同型
前層射 $v\colon X\to Y$ は、退化要素 $X(e)x$ を $Y(e)v_s(x)$ へ送る。したがって退化部分は前層射に関して保存される。ラッチング対象の写像も各生成射で $[(e,x)]\mapsto[(e,v_s(x))]$ と書けるから、
$$
\lambda_r^Y L_r(v)=v_r\lambda_r^X
$$
が成り立つ。これは包含 $D_rX\to X(r)$ と $D_rY\to Y(r)$ の間で、$v_r$ を制限して得られる正方形である。$c_r$ も同じ代表を送るので、この正方形と骨格の自然性を結ぶ。
さらに同型 $a\colon r'\to r$ に対し、$e\colon r\to s$ を $ea\colon r'\to s$ に送ると $J(r)\to J(r')$ が得られる。$ea$ はやはり非同型の分裂エピ射であり、代表を $[(e,x)]\mapsto[(ea,x)]$ と送る。ラッチング射との可換性は
$$
\lambda_{r'}[(ea,x)]=X(ea)x=X(a)X(e)x
$$
である。恒等射と合成についてもこの公式は一致する。よって次数 $N$ の対象とその間の同型からなる亜群上で、$L_rX$、$D_rX$、$(\operatorname{sk}_{N-1}X)(r)$ の同一視は自然である。特に対象 $r$ の自己同型を捨てずに比較できる。
自己同型群の作用は、前層の反変性に合わせて右作用で書ける。$a\in\operatorname{Aut}(r)$ に対して $x\cdot a=X(a)x$、$[(e,x)]\cdot a=[(ea,x)]$ とする。群の積を射の合成で定めると、$(x\cdot a)\cdot b=x\cdot(ab)$ であり、ラッチング射と比較射はこの作用と可換である。ただし、この作用が自由であるという結論は含まれない。
一方、任意の射 $a\colon r'\to r$ について、退化要素を $X(a)$ で送った先が退化とは限らない。したがって $r$ ごとに次数を変えながら取る $D_rX$ は一般には部分前層をなさない。固定した $n$ による骨格 $X^{(n)}$ の自然性と混同してはならない。ラッチング対象の同一視は前層射および対象間の同型について述べたものであり、任意の次数変更射に関する部分前層の主張ではない。
小さい亜群 $\mathcal G$ に、同型な対象では一定となる任意の非負整数次数を与えるとEZ圏になる。すべての射が同型なので、条件1と2は成立する。共通始域からの同型 $e\colon r\to s$、$e'\colon r\to s'$ の押し出しは、$t=s$、$a=\mathrm{id}_s$、$b=e(e')^{-1}$ で与えられる。この正方形は米田像でも同型の押し出しなので絶対である。
非同型の分裂エピ射がないため、すべての要素は非退化であり $L_rX=\emptyset$ である。それでも自己同型群は非自明でよい。たとえば一対象の群 $G$ を次数0の圏と見て、一点集合への自明な作用を前層とすれば、その唯一の要素の安定化群は $G$ 全体である。$G$ が非自明なら作用は自由でない。EZ公理は非退化要素の安定化群を自明にしない。
また、二つの異なる対象とその間の一意な同型からなる亜群もEZ圏である。一点定値前層の元は、どちらの対象を終域としても標準表示を持つ。二表示は一意な同型で比較できるが、終域の対象が等号で一致するわけではない。
一般化Reedy構造との関係
EZ圏では、$R^+$ をすべてのモノ射からなる広部分圏、$R^-$ をすべての分裂エピ射からなる広部分圏とすると、双対化可能な一般化Reedy構造が得られる。ここで必要な性質は、正方向の非同型射が次数を上げ、負方向の非同型射が次数を下げること、両部分圏の共通部分が同型だけであること、任意の射が負方向の後に正方向へ一意な比較同型を除いて分解すること、そして自己同型を左右から消去できることである（BM11 Definition 1.1 と Definition 6.7 直後）。
次数と分解の存在はすでに得られている。共通部分については、モノ射でも分裂エピ射でもある $e$ に切断 $i$ を取ると、$eie=e$ とモノ性から $ie=\mathrm{id}$ となり、$e$ は同型になる。分解の本質一意性も標準表示から得られる。実際、モノ射 $m\colon s\to t$ を表現可能前層 $R[t]$ の元と見ると非退化である。もし $m=ke$、$e\colon s\to q$ が非同型の分裂エピ射なら、切断 $i$ に対して $mie=m$ となる。モノ性より $ie=\mathrm{id}_s$ となって $e$ は同型になり、矛盾する。
したがって $f=me=m'e'$ は、前層 $R[t]$ における同じ元 $f$ の二つの標準表示であり、標準表示の定理が唯一の比較同型を与える。最後の消去条件も、$\theta e=e$ ならエピ性から $\theta=\mathrm{id}$、$m\theta=m$ ならモノ性から $\theta=\mathrm{id}$ と従う。この構造を反対圏に移すと、正方向と負方向が入れ替わる。上で定義した前層のラッチング対象は、その $R^{\mathrm{op}}$ 上の正方向射を使っている。
一般化Reedy構造からさらにモデル構造を作るには、値を取る圏についても条件が必要になる。また、自己同型群がある場合、すべての成分が集合として単射という条件と、群作用を考えた余ファイブレーションの条件を同一視してはならない。この記事の計算が与えるのはラッチング射の具体的な像と比較であり、非退化部分の群作用の自由性までではない。
条件の読み違いを防ぐ反例
| 外す条件・取り違え | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 前層射が非退化性を保存すると仮定する | $\Delta^1\to\Delta^0$ | 非退化な辺が非退化な辺に送られること |
| 次数を変えた退化部分も部分前層だと考える | $\Delta^0$ の退化辺とその面 | $X(a)(D_rX)\subseteq D_{r'}X$ |
| 非退化要素の自己同型作用が自由だと考える | 非自明な群上の一点自明前層 | 安定化群の自明性 |
| 比較同型による一意性を等号による一意性に替える | 異なる二対象を持つ亜群 | 核の対象が文字通り一つに決まること |
最初の反例では、$\Delta^1$ の恒等順序写像 $[1]\to[1]$ に対応する辺は非退化である。これが低次数を経由するなら恒等写像の像が一点以下になるためである。一方、$\Delta^0$ には各次数でただ一つの単体しかなく、その1単体は0単体の退化である。唯一の単体的写像は前者の非退化辺を後者の退化辺へ送る。したがって、前層射が退化を保存することから非退化を保存することは導けない。
二番目も同じ $\Delta^0$ で確かめられる。唯一の1単体は退化であるが、その面である唯一の0単体は非退化である。次数0からは次数をさらに下げる非同型の分裂エピ射がないからである。よって $D_{[1]}X$ の元の面が $D_{[0]}X=\emptyset$ に入らない。固定した0骨格は $\Delta^0$ 全体であり、0骨格の1次成分に退化辺が含まれることとは矛盾しない。骨格では「核の次数が0以下」を測り、退化部分では「現在の次数より核の次数が小さい」を測っている。
後の二例は ex-ezc-groupoid で確認した。このように、次数を下げる操作と、次数を変えない同型による対称性は別々に管理する必要がある。標準表示、骨格、ラッチングの比較は、前者を除去しながら後者を正確に残すための仕組みである。
関連項目
参考文献
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