有限個の付値環の交わり

各 $i$ について、$s$ が満たすべき条件を調べる。
$a\notin R_i$ の場合。付値環の定義から $a^{-1}\in R_i$ で、$a^{-1}$ は単元でない（単元なら $a\in R_i$）ので $a^{-1}\in\mathfrak m_i$ である。
$$ q=a^{s-1}\bigl(1+a^{-1}+\cdots+a^{-(s-1)}\bigr)=a^{s-1}u $$
と書くと、$u\equiv1\pmod{\mathfrak m_i}$ なので $u$ は $R_i$ の単元である。従って $q\neq0$ で、$s\ge2$ なら $q^{-1}=(a^{-1})^{s-1}u^{-1}$ と $aq^{-1}=(a^{-1})^{s-2}u^{-1}$ は $R_i$ に入る。この場合、$s\ge2$ に条件はない。
$a\in R_i$ の場合。$\alpha$ を $a$ の剰余体 $k_i:=R_i/\mathfrak m_i$ での像とする。$q$ の像 $\bar q=1+\alpha+\cdots+\alpha^{s-1}$ が $0$ でなければ、$q$ は $R_i$ の単元で（局所環では極大イデアルの外の元は単元）、$q^{-1}$、$aq^{-1}$ は $R_i$ に入る。$\bar q=0$ となる $s$ を調べる。

• $\alpha=1$ なら $\bar q=s\cdot1$ で、これが $0$ になるのは $k_i$ の標数が素数 $p$ で $p\mid s$ のときに限る。
• $\alpha\neq1$ なら $(1-\alpha)\bar q=1-\alpha^s$ なので、$\bar q=0$ と $\alpha^s=1$ は同値である。$\alpha^s=1$ となる $s\ge1$ がなければ（$\alpha=0$ の場合を含む）条件はない。あれば、そのような最小の $d$ は $d>1$ で（$\alpha\neq1$）、$\alpha^s=1$ と $d\mid s$ は同値である。
  いずれの場合も、$R_i$ で避けるべき $s$ は「ある整数 $d_i>1$ の倍数」であるか、存在しないかである。条件のある $i$ についての $d_i$ の積を $D$（条件がなければ $D=1$）とし、$s:=D+1$ とおくと、$s\ge2$ で、$s$ はどの $d_i$ の倍数でもない（$s\equiv1\pmod{d_i}$）。この $s$ について、全ての $i$ で $q\neq0$ かつ $q^{-1},aq^{-1}\in R_i$ なので、$q^{-1},aq^{-1}\in A$ である。$a\in R_i$ なら、選び方から $\bar q\neq0$ で $q$ は $R_i$ の単元である。$\square$

1：$s\in A\setminus\mathfrak p_i$ は $\mathfrak m_i$ に入らないので $R_i$ の単元であり、$A_{\mathfrak p_i}\subset R_i$ である。逆に $a\in R_i$ をとり、lem-fivr-nagata の $q$ について $u:=q^{-1}$ とおくと、$u\in A$、$au\in A$ で、$q$ は $R_i$ の単元なので $u\notin\mathfrak m_i$、すなわち $u\in A\setminus\mathfrak p_i$ である。従って $a=(au)/u\in A_{\mathfrak p_i}$ である。$R_i$ の商体は $K$ なので（$0$ でない $x\in K$ は $x$ か $1/x^{-1}$ の形に書ける）、$A$ の商体も $K$ である。
2：$i\neq j$ で $\mathfrak p_i\subset\mathfrak p_j$ なら $A\setminus\mathfrak p_j\subset A\setminus\mathfrak p_i$ なので $A_{\mathfrak p_j}\subset A_{\mathfrak p_i}$、すなわち 1 から $R_j\subset R_i$ となり、仮定に反する。
3：$J$ を、どの $\mathfrak p_i$ にも含まれない $A$ のイデアルとする。素イデアル回避補題 により、どの $\mathfrak p_i$ にも入らない $x\in J$ がある。$x\in A\subset R_i$ で $x\notin\mathfrak m_i$ なので $x$ は全ての $R_i$ の単元であり、$x^{-1}\in A$ である。従って $J=A$ である。
これより、$A$ の真のイデアルはいずれかの $\mathfrak p_i$ に含まれる。極大イデアル $\mathfrak n$ がある $\mathfrak p_i$ に含まれれば、極大性から $\mathfrak n=\mathfrak p_i$ である。逆に $\mathfrak p_i$ を含む極大イデアルは今示したことからある $\mathfrak p_j$ に等しく、$\mathfrak p_i\subset\mathfrak p_j$ と 2 から $j=i$ となるので、$\mathfrak p_i$ は極大イデアルである。$\square$

段 1（各 $i$ に「$i$ でだけ値 $1$ をもつ元」がある）。thm-fivr-structure の 1 から $R_i=A_{\mathfrak p_i}$ なので、$\pi_i=b/t$（$b\in A$、$t\in A\setminus\mathfrak p_i$）と書け、$v_i(t)=0$ から $v_i(b)=1$ である。$\mathfrak q_i:=\{y\in A\mid v_i(y)\ge2\}\cup\{0\}=\mathfrak m_i^2\cap A$ は $A$ のイデアルである。$j\neq i$ について $\mathfrak q_i+\mathfrak p_j=A$ である。実際、thm-fivr-structure の 2 から $c\in\mathfrak p_i\setminus\mathfrak p_j$ があり、$c^2\in\mathfrak q_i$ で、$\mathfrak p_j$ は素イデアルなので $c^2\notin\mathfrak p_j$ である。$\mathfrak p_j$ は極大イデアルなので $\mathfrak q_i+\mathfrak p_j=A$ となる。そこで $j\neq i$ ごとに $e_j+f_j=1$（$e_j\in\mathfrak q_i$、$f_j\in\mathfrak p_j$）と書き、$f:=\prod_{j\neq i}f_j$、$x_i:=bf+(1-f)$ とおく。$f\equiv1\pmod{\mathfrak q_i}$ なので $x_i\equiv b\pmod{\mathfrak q_i}$、すなわち $v_i(x_i-b)\ge2$ で、$v_i(b)=1$ から $v_i(x_i)=1$ である。また $f\in\mathfrak p_j$ なので $x_i\equiv1\pmod{\mathfrak p_j}$ で、$x_i\notin\mathfrak p_j$、すなわち $v_j(x_i)=0$ である（$n=1$ なら $f=1$、$x_i=b$）。
段 2（$g$ の構成）。$I\neq0$ とし、$IR_i=\pi_i^{e_i}R_i$ とする。$g:=x_1^{e_1}\cdots x_n^{e_n}\in A$ とおくと、段 1 から $v_i(g)=e_i$ である。
段 3（$I\subset gA$）。$y\in I$、$y\neq0$ なら $y\in IR_i$ なので $v_i(y)\ge e_i$、従って全ての $i$ で $v_i(y/g)\ge0$、すなわち $y/g\in\bigcap_iR_i=A$ で、$y\in gA$ である。
段 4（$g\in I$）。各 $i$ で $v_i(g)=e_i$ なので $g\in\pi_i^{e_i}R_i=IR_i=IA_{\mathfrak p_i}$ である。従って $g=y_i/t_i$（$y_i\in I$、$t_i\in A\setminus\mathfrak p_i$）と書け、$t_ig=y_i\in I$ となる。イデアル $(I:g)=\{a\in A\mid ag\in I\}$ は $t_i$ を含むので、どの $\mathfrak p_i$ にも含まれない。thm-fivr-structure の 3 より $A$ の極大イデアルは $\mathfrak p_1,\dots,\mathfrak p_n$ だけなので、$(I:g)=A$、すなわち $g\in I$ である。
以上から $I=gA$ で、$A$ は単項イデアル整域である。$\square$