複素多様体
概要
複素多様体（complex manifold）とは、Hausdorff で第 2 可算な位相空間に、$\mathbb{C}^n$ の開集合への同相写像からなる座標近傍系であって座標変換がすべて正則写像であるものを指定した空間である。局所的には $\mathbb{C}^n$ の開集合と区別がつかず、正則関数・正則写像・正則微分形式が座標によらずに定まり、各接空間は複素ベクトル空間の構造 $J$ をもつ。複素射影空間、複素トーラス、Riemann 面、滑らかな射影多様体の解析化が代表例である。可微分多様体と違って複素構造は硬く、連結なコンパクト複素多様体上の正則関数は定数に限り、$S^4$ は複素構造をもたず、次元 2 以上の複素トーラスの多くは代数的でない。正則 Poincaré の補題により正則微分形式の複体は定数層の分解であり、Hodge 理論と代数幾何の比較（GAGA）の舞台となる。
定義
複素多様体は、可微分多様体の定義において座標変換に $C^\infty$ 級ではなく正則性を要求したものである。記事を単独で読めるように、多変数の正則関数の定義から述べる（Hor90 第 2 章、GuR65 第 I 章）。
$U\subset\mathbb{C}^n$ を開集合とし、座標を $z_j=x_j+\sqrt{-1}\,y_j$（$1\le j\le n$）と書く。$U$ 上の複素数値関数 $f$ が正則（holomorphic）であるとは、$f$ が実 $2n$ 変数の関数として $C^1$ 級であり、各 $j$ について Cauchy–Riemannの方程式
$$
\frac{\partial f}{\partial\bar z_j}:=\frac12\left(\frac{\partial f}{\partial x_j}+\sqrt{-1}\,\frac{\partial f}{\partial y_j}\right)=0
$$
を満たすことをいう。$U$ 上の正則関数全体を $\mathcal{O}(U)$ と書き、$V\mapsto\mathcal{O}(V)$ が定める層 $\mathcal{O}_U$ を $U$ の正則関数の層という。$U$ から $\mathbb{C}^m$ への写像 $F=(F_1,\dots,F_m)$ は、各成分が正則であるとき正則写像という。
$\partial f/\partial\bar z_j=0$ は、$f$ を変数 $z_j$ だけの関数と見たとき 1 変数の意味で正則であることを表す。正則関数は各点 $a$ の近傍で収束冪級数 $\sum_\nu c_\nu(z-a)^\nu$（$\nu$ は多重指数）に展開され、逆に収束冪級数の和は正則である。また、連続で各変数について 1 変数の意味で正則な関数は正則である（Osgood の補題）。したがって正則関数は $C^\infty$ 級であり、和・積・合成について閉じている。これらの証明は Hor90 §2.2 に譲る（1 変数の場合は Cauchyの積分公式・Taylor展開(複素解析)）。
$X$ をHausdorff空間で第2可算公理を満たす位相空間とする。$X$ の $n$ 次元正則座標近傍系（holomorphic atlas）とは、$X$ の開被覆 $\{U_\alpha\}_{\alpha\in A}$ と、$\mathbb{C}^n$ の開集合への同相写像 $\varphi_\alpha\colon U_\alpha\to V_\alpha$ の族 $\{(U_\alpha,\varphi_\alpha)\}$ であって、すべての座標変換
$$
\varphi_\beta\circ\varphi_\alpha^{-1}\colon\varphi_\alpha(U_\alpha\cap U_\beta)\to\varphi_\beta(U_\alpha\cap U_\beta)
$$
が正則写像であるものをいう。各 $(U_\alpha,\varphi_\alpha)$ を正則座標近傍、$\varphi_\alpha$ の成分 $z_1,\dots,z_n$ を局所座標という。2 つの正則座標近傍系は、和集合が再び正則座標近傍系であるとき同値であるといい、同値類（同値な近傍系のうち極大なもの）を $X$ 上の複素構造（complex structure）という。複素構造を指定した $X$ を $n$ 次元複素多様体（complex manifold）といい、$n=\dim_{\mathbb{C}}X$ を複素次元という。
複素多様体 $X$ の開集合 $W$ 上の関数 $f\colon W\to\mathbb{C}$ が正則であるとは、各正則座標近傍について $f\circ\varphi_\alpha^{-1}$ が $\varphi_\alpha(U_\alpha\cap W)$ 上で正則であることをいう。座標変換が正則なのでこの条件は同値な近傍系のとり方によらず、$W\mapsto\mathcal{O}(W)$ は $X$ 上の層 $\mathcal{O}_X$ をなす。複素多様体の間の連続写像 $F\colon X\to Y$ が正則写像（holomorphic map）であるとは、正則座標近傍 $(U,\varphi)$・$(U',\psi)$ について $\psi\circ F\circ\varphi^{-1}$ が定義される所で正則であることをいう。全単射な正則写像で逆写像も正則なものを双正則写像（biholomorphic map）といい、双正則写像で結ばれる 2 つの複素多様体は同型であるという。
正則写像は $C^\infty$ 級なので、複素多様体 $X$ は正則座標近傍系をそのまま $C^\infty$ 級座標近傍系と見ることで実 $2n$ 次元の可微分多様体になる。これを $X$ の下部可微分多様体という。複素構造はこれに付け加えられた構造であり、同じ可微分多様体が異なる複素構造をもつことも、複素構造を全くもたないこともある（ex-complex-manifold-cn、ex-complex-manifold-s4）。複素多様体の複素部分多様体とは、各点 $x\in Z$ のまわりの正則座標近傍 $(U,\varphi)$ を適当にとると $Z\cap U=\{z_{k+1}=\cdots=z_n=0\}$ と書ける閉集合 $Z\subset X$ をいい、$(U\cap Z,(z_1,\dots,z_k))$ を正則座標近傍とする $k$ 次元複素多様体である。
複素多様体は、局所環付き空間 $(X,\mathcal{O}_X)$（$\mathcal{O}_X$ は $\mathbb{C}$ 代数の層）であって各点が $(D,\mathcal{O}_D)$（$D\subset\mathbb{C}^n$ は開集合）と同型な開近傍をもつものとしても定義でき、局所同型を与える開集合と写像が正則座標近傍系をなす。正則写像は関数の引き戻しを $F^\sharp$ とする局所環付き空間の射に当たる。この見方はスキームや複素解析空間（def-complex-manifold-analytic-space）との比較に便利である（GR84 第 1 章）。
直感
複素多様体とは、局所的には $\mathbb{C}^n$ の開集合であり、貼り合わせに用いる座標変換が正則であるような空間である。可微分多様体と違い、複素構造は非常に硬い。1 変数の一致の定理が各座標近傍で働くため、正則関数は小さな開集合上の値で連結成分全体が決まり、コンパクト（コンパクト空間）な複素多様体上には定数以外の正則関数がない（prop-complex-manifold-compact-constant）。可微分多様体では 1 の分割で局所的なデータを自由に大域化できるが、複素多様体では貼り合わせの障害が層コホモロジー $H^q(X,\mathcal{O}_X)$ や $H^q(X,\Omega^p_X)$ として残り、それが大域的な不変量になる。正則 Poincaré の補題（prop-complex-manifold-poincare）は、この障害が局所的には消えていることを述べ、正則微分形式の複体で位相的なコホモロジー（特異コホモロジー）を計算する道を開く（de Rhamコホモロジー、Hodge分解）。
例と反例
射影空間 $\mathbb{P}^n:=(\mathbb{C}^{n+1}\setminus\{0\})/\mathbb{C}^\times$ の点を斉次座標 $[z_0:\cdots:z_n]$ で表す。$U_i:=\{z_i\ne0\}$ 上で
$$
\varphi_i([z_0:\cdots:z_n]):=\left(\frac{z_0}{z_i},\dots,\widehat{\frac{z_i}{z_i}},\dots,\frac{z_n}{z_i}\right)\in\mathbb{C}^n
$$
は同相写像である。$\varphi_i$ の像の成分を $w_k$（$k\ne i$）と添字づけると、座標変換 $\varphi_j\circ\varphi_i^{-1}$ は $\{w\mid w_j\ne0\}$ 上で定義され、各成分が $w_k/w_j$ または $1/w_j$ の形なので正則である。$\mathbb{P}^n$ は Hausdorff かつ第 2 可算で、$S^{2n+1}$ の連続像なのでコンパクト空間である。$n=1$ のとき $\mathbb{P}^1$ は Riemann球面である。
$\Lambda\subset\mathbb{C}^n$ を階数 $2n$ の格子（$\mathbb{R}$ 上の基底をなす $2n$ 個のベクトルが生成する離散部分群）とし、$T:=\mathbb{C}^n/\Lambda$ に商位相を入れる。射影 $\pi\colon\mathbb{C}^n\to T$ は被覆空間の射影であり、$\pi$ の局所的な逆写像を座標近傍とすると、座標変換は平行移動 $z\mapsto z+\lambda$（$\lambda\in\Lambda$）なので正則である。$T$ は $n$ 次元のコンパクト複素多様体で、下部可微分多様体は $(S^1)^{2n}$ である。これを複素トーラスという。$n=1$ のとき $\mathbb{C}/\Lambda$ は種数 1 のコンパクト Riemann面であり、楕円曲線の解析化と同型である。
連結な 1 次元複素多様体を Riemann面 という。$\mathbb{C}$ の開集合、$\mathbb{P}^1$、$\mathbb{C}/\Lambda$、上半平面がその例である。より一般に、$\mathbb{P}^n$ の閉部分集合 $Z$ が斉次多項式 $f_1,\dots,f_r$ の共通零点集合で、$Z$ の各点で Jacobi行列 $(\partial f_i/\partial z_j)$ の階数が $n-k$ なら、多変数の逆関数定理（Hor90 第 2 章）により $Z$ は $\mathbb{P}^n$ の $k$ 次元複素部分多様体である。こうして $\mathbb{C}$ 上の滑らかな射影多様体 $Z$ は複素多様体 $Z^{\mathrm{an}}$（$Z$ の解析化）を定め、$Z$ 上の代数的な対象と $Z^{\mathrm{an}}$ 上の解析的な対象が一致することが GAGA の内容である。たとえば $\mathbb{P}^2$ の滑らかな 3 次曲線の解析化は種数 1 の Riemann 面、$\mathbb{P}^3$ の滑らかな 4 次曲面の解析化は K3曲面である。
複素トーラス $T=\mathbb{C}^n/\Lambda$ が射影多様体の解析化と同型であるための必要十分条件は、$\mathbb{C}^n$ 上の正定値 Hermite形式 $H$ で虚部 $E=\operatorname{Im}H$ が $\Lambda\times\Lambda$ 上で整数値をとるものが存在することである（Riemann の条件。GH78 Chapter 2 §6、Mum70 Chapter I）。$n=1$ ではこの条件はつねに満たされる（$\Lambda=\mathbb{Z}\omega_1+\mathbb{Z}\omega_2$、$\operatorname{Im}(\bar\omega_1\omega_2)>0$ として $H(z,w)=z\bar w/\operatorname{Im}(\bar\omega_1\omega_2)$）。しかし $n\ge2$ では、$\Lambda$ の周期行列の成分の間に $\mathbb{Q}$ 上の代数的な関係がなければ（一般の格子ではそうである）Riemann の条件を満たす $E$ は存在せず、$T$ 上の定数でない有理型関数も存在しない（GH78 Chapter 2 §6）。この $T$ は「コンパクト Kähler 多様体である（def-complex-manifold-kahler）」という性質を満たすが「射影多様体の解析化である」という性質を満たさず、「コンパクト Kähler ならば射影的」という含意は $n\ge2$ で破れる。
n次元球面 $S^{2n}$ のうち複素構造をもつことが知られているのは $S^2=\mathbb{P}^1$ だけであり、$S^4$ は複素構造をもたない。実際、閉じた向き付けられた 4 次元多様体 $M$ が複素構造（より弱く概複素構造）をもてば、特性類（Chern類 $c_i$、Pontryagin類 $p_1$、Euler類 $e$）の関係 $p_1=c_1^2-2c_2$、$c_2=e$ と Hirzebruchの符号数定理 $\sigma(M)=\frac13\langle p_1,[M]\rangle$（MS74 §15・§19）から $\langle c_1^2,[M]\rangle=2\chi(M)+3\sigma(M)$ が従う（$\chi$ はEuler標数、$\sigma$ は符号数）。$S^4$ では $H^2(S^4;\mathbb{Z})=0$ なので左辺は $0$、一方 $\chi(S^4)=2$、$\sigma(S^4)=0$ なので右辺は $4$ となり矛盾する。$S^4$ は「向き付け可能なコンパクト可微分多様体である」という性質を満たすが「複素多様体の下部可微分多様体である」という性質を満たさない。$S^6$ は概複素構造をもつが、複素構造をもつかどうかは未解決である（2026 年時点）。
性質
$X$ を連結なコンパクト複素多様体とする。$X$ 上の正則関数は定数に限る。すなわち $\mathcal{O}(X)=\mathbb{C}$ である。
$f\in\mathcal{O}(X)$ とする。$|f|$ はコンパクト空間 $X$ 上の連続関数なので、ある点 $p$ で最大値 $M:=|f(p)|$ をとる。$p$ のまわりの正則座標近傍 $(U,\varphi)$ で $\varphi(p)=0$、$\varphi(U)=D=\{|z_j|< r\}$ となるものをとり、$g:=f\circ\varphi^{-1}\in\mathcal{O}(D)$ とおく。$v\in\mathbb{C}^n\setminus\{0\}$ に対し $h_v(t):=g(tv)$ は $|t|< r/\max_j|v_j|$ で 1 変数の正則関数（正則関数と正則写像の合成）であり、$|h_v|$ は $t=0$ で最大値 $M$ をとる。1 変数の最大値原理（Ahl79 Chapter 4、開写像定理(複素解析)）により $h_v$ は定数、すなわち $g(tv)=g(0)$ である。$D$ の各点は $tv$ の形に書けるので $f$ は $U$ 上で $f(p)$ に等しい。
$A:=\{x\in X\mid f(x)=f(p)\}$ とおく。$A$ は連続関数による 1 点の逆像なので閉集合である。$q\in A$ なら $|f(q)|=M$ も最大値なので、上の議論により $f$ は $q$ の近傍で定数 $f(p)$ であり、$A$ は開集合でもある。$X$ は連結空間で $A\ni p$ は空でないので $A=X$ である。$\square$
prop-complex-manifold-compact-constant を成分ごとに適用すると、正の次元の連結なコンパクト複素多様体から $\mathbb{C}^N$ への正則写像は定数写像に限る。とくにコンパクト複素多様体は $\mathbb{C}^N$ の複素部分多様体と同型にならず、コンパクト可微分多様体がつねに $\mathbb{R}^N$ に埋め込める（Whitneyの埋め込み定理。Lee13 Chapter 6）のと対照的である。
次に、複素構造が接空間に与える線形代数的な構造を述べる。$X$ を $n$ 次元複素多様体、$p\in X$ とし、$T_pX$ を下部可微分多様体の $p$ における接空間（実 $2n$ 次元）とする。局所座標 $z_j=x_j+\sqrt{-1}\,y_j$ に対し $\partial/\partial x_j,\partial/\partial y_j$ は $T_pX$ の基底である。
$X$ を $n$ 次元複素多様体とする。
- 各点 $p\in X$ に対し、$T_pX$ の線形変換 $J_p$ で、$p$ のまわりの任意の局所座標について $J_p(\partial/\partial x_j)=\partial/\partial y_j$、$J_p(\partial/\partial y_j)=-\partial/\partial x_j$ を満たすものがただ 1 つ存在し、$J_p^2=-\mathrm{id}$ である。したがって $\sqrt{-1}\cdot v:=J_pv$ により $T_pX$ は複素 $n$ 次元ベクトル空間になり、局所座標の微分 $d\varphi_p\colon T_pX\to\mathbb{C}^n$ はその複素線形同型である。
- 複素多様体の間の $C^\infty$ 級写像 $F\colon X\to Y$ が正則であることと、すべての $p$ で $dF_p\circ J_p=J_{F(p)}\circ dF_p$ が成り立つことは同値である。
まず、開集合 $U\subset\mathbb{C}^n$ から $\mathbb{C}^m$ への $C^1$ 級写像 $F$、$F_k=u_k+\sqrt{-1}\,v_k$ について、$\mathbb{R}^{2n}$、$\mathbb{R}^{2m}$ の標準的な $J_0$（$\partial/\partial x_j\mapsto\partial/\partial y_j\mapsto-\partial/\partial x_j$）に関する $dF\circ J_0=J_0\circ dF$ が $F$ の正則性と同値であることを示す。$\mathbb{C}^m$ の座標を $w_k=x'_k+\sqrt{-1}\,y'_k$ とすると
$$
dF\left(\frac{\partial}{\partial y_j}\right)=\sum_k\left(\frac{\partial u_k}{\partial y_j}\frac{\partial}{\partial x'_k}+\frac{\partial v_k}{\partial y_j}\frac{\partial}{\partial y'_k}\right),\qquad
J_0\,dF\left(\frac{\partial}{\partial x_j}\right)=\sum_k\left(\frac{\partial u_k}{\partial x_j}\frac{\partial}{\partial y'_k}-\frac{\partial v_k}{\partial x_j}\frac{\partial}{\partial x'_k}\right)
$$
であり、$dF(J_0\,\partial/\partial x_j)=dF(\partial/\partial y_j)$ がこれと一致することは、すべての $k$ について $\partial u_k/\partial y_j=-\partial v_k/\partial x_j$、$\partial v_k/\partial y_j=\partial u_k/\partial x_j$、すなわち $\partial F_k/\partial\bar z_j=\frac12\bigl((\partial u_k/\partial x_j-\partial v_k/\partial y_j)+\sqrt{-1}(\partial v_k/\partial x_j+\partial u_k/\partial y_j)\bigr)=0$ と同値である。$\partial/\partial y_j$ についての条件 $dF(J_0\,\partial/\partial y_j)=-dF(\partial/\partial x_j)$ と $J_0\,dF(\partial/\partial y_j)$ の比較も同じ方程式を与える。よって $dF\circ J_0=J_0\circ dF$ はすべての $j,k$ についての Cauchy–Riemann の方程式と同値である。
1：局所座標 $\varphi$ に対し $J^\varphi_p:=(d\varphi_p)^{-1}\circ J_0\circ d\varphi_p$ が主張の式を満たす唯一の線形変換で、$(J^\varphi_p)^2=-\mathrm{id}$ である。別の局所座標 $\psi$ について座標変換 $T:=\psi\circ\varphi^{-1}$ は正則なので $dT\circ J_0=J_0\circ dT$ であり、
$$
J^\psi_p=(d\psi_p)^{-1}J_0\,d\psi_p=(d\varphi_p)^{-1}(dT)^{-1}J_0\,(dT)\,d\varphi_p=J^\varphi_p
$$
となる。よって $J_p:=J^\varphi_p$ は座標によらない。$J_p^2=-\mathrm{id}$ により $(a+b\sqrt{-1})v:=av+bJ_pv$ は複素ベクトル空間の構造を定め、$d\varphi_p\circ J_p=J_0\circ d\varphi_p$ は $d\varphi_p$ が複素線形であることを意味する。$J_0$ は $\mathbb{C}^n$ の $\sqrt{-1}$ 倍なので、$d\varphi_p$ は複素 $n$ 次元ベクトル空間の同型である。
2：$F$ が正則であることは、局所座標で $\psi\circ F\circ\varphi^{-1}$ が正則であること、最初に示したことによりその微分が $J_0$ と可換であること、1 により $dF_p$ が $J_p$、$J_{F(p)}$ と可換であることと順に同値である。$\square$
$J$ を $X$ の複素構造テンソルといい、複素化 $T_pX\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}$ における $J_p$ の固有値 $\sqrt{-1}$、$-\sqrt{-1}$ の固有空間を $T^{1,0}_pX$、$T^{0,1}_pX$ と書く。局所座標では $\partial/\partial z_j:=\frac12(\partial/\partial x_j-\sqrt{-1}\,\partial/\partial y_j)$ が $T^{1,0}_pX$ の、$\partial/\partial\bar z_j:=\frac12(\partial/\partial x_j+\sqrt{-1}\,\partial/\partial y_j)$ が $T^{0,1}_pX$ の基底である。prop-complex-manifold-tangent の 2 により正則写像 $F$ の微分は複素線形で、$\mathbb{C}^n$ の開集合の間の正則写像の実 Jacobi 行列は、基底 $\partial/\partial z_j$、$\partial/\partial\bar z_j$ に関して $A:=(\partial F_k/\partial z_j)$ と $\bar A$ のブロック対角行列になる。したがって $\det(dF_{\mathbb{R}})=|\det A|^2\ge0$ であり、座標変換では $A$ が可逆なので $>0$ である。よって複素多様体の下部可微分多様体は $dx_1\wedge dy_1\wedge\cdots\wedge dx_n\wedge dy_n$ を正とする自然な向きをもつ。
複素多様体 $X$ 上の正則 $p$ 形式（holomorphic $p$-form）とは、複素数値の微分形式で、各局所座標について $\sum_{|I|=p}f_I\,dz_{i_1}\wedge\cdots\wedge dz_{i_p}$（$f_I$ は正則関数）と書けるものをいう。座標変換 $z'=T(z)$ が正則なら $dz'_k=\sum_j(\partial T_k/\partial z_j)dz_j$ の係数は正則なので、この条件は座標によらない。正則 $p$ 形式の層を $\Omega^p_X$ と書く（$\Omega^0_X=\mathcal{O}_X$）。係数が正則なので外微分は $d=\sum_j dz_j\wedge\partial_j$（$\partial_j$ は係数への $\partial/\partial z_j$ の作用）となり、$\Omega^p_X$ を $\Omega^{p+1}_X$ に写す。
$D=\{z\in\mathbb{C}^n\mid |z_j|< r_j\}$ を原点を中心とする多重円板とする。
- $f\in\mathcal{O}(D)$ が $df=0$ を満たせば $f$ は定数である。
- $p\ge1$ とし、$\omega$ を $D$ 上の正則 $p$ 形式で $d\omega=0$ を満たすものとすると、$D$ 上の正則 $(p-1)$ 形式 $\eta$ で $\omega=d\eta$ となるものが存在する。
したがって任意の複素多様体 $X$ 上で、層の列
$$ 0\to\mathbb{C}_X\to\mathcal{O}_X\xrightarrow{d}\Omega^1_X\xrightarrow{d}\Omega^2_X\xrightarrow{d}\cdots\xrightarrow{d}\Omega^n_X\to0 $$
は完全である（$\mathbb{C}_X$ は定数層）。
1：$df=0$ は $\partial f/\partial z_j=0$ を意味し、$\partial f/\partial\bar z_j=0$ と合わせて $\partial f/\partial x_j=\partial f/\partial y_j=0$（すべての $j$）を得る。$D$ は凸集合なので連結であり、すべての偏導関数が消える $C^1$ 級関数は定数である。
2：$0\le k\le n$ に関する数学的帰納法で「$d\omega=0$ を満たす正則 $p$ 形式 $\omega$ が $dz_1,\dots,dz_k$ だけを含む（係数は $z_1,\dots,z_n$ すべてに依存してよい）ならば $\omega$ は正則 $(p-1)$ 形式の外微分である」を示す。$k=n$ が主張である。$k=0$ なら $p\ge1$ により $\omega=0$ で、$\eta=0$ がとれる。
$k\ge1$ とし、$\omega=dz_k\wedge\alpha+\beta$ と書く。$\alpha$ は正則 $(p-1)$ 形式、$\beta$ は正則 $p$ 形式で、ともに $dz_1,\dots,dz_{k-1}$ だけを含む。
$$
0=d\omega=\sum_{j\ne k}dz_j\wedge dz_k\wedge\partial_j\alpha+\sum_j dz_j\wedge\partial_j\beta
$$
において、$j>k$ に対し $dz_j$ を含む項は $dz_j\wedge dz_k\wedge\partial_j\alpha$ と $dz_j\wedge\partial_j\beta$ だけなので、基底 $dz_I$ の一次独立性から $\partial_j\alpha=0$、$\partial_j\beta=0$（$j>k$）である。すなわち $\alpha,\beta$ の係数は、1 と同じ議論により変数 $z_{k+1},\dots,z_n$ によらない。
$D$ 上の正則関数 $a$ に対し
$$
(I_ka)(z):=\int_0^{z_k}a(z_1,\dots,z_{k-1},t,z_{k+1},\dots,z_n)\,dt
$$
（積分路は円板 $\{|t|< r_k\}$ 内の線分）とおく。他の変数を固定すれば $I_ka$ は 1 変数正則関数の原始関数であり（Cauchyの積分定理）、$\partial(I_ka)/\partial z_k=a$、$\partial(I_ka)/\partial\bar z_k=0$ である。$j\ne k$ については、$a$ が $C^1$ 級で積分路がコンパクトなので積分記号下で微分でき、$\partial(I_ka)/\partial\bar z_j=I_k(\partial a/\partial\bar z_j)=0$、$\partial_j(I_ka)=I_k(\partial_ja)$ である。偏導関数は連続なので $I_ka$ は $C^1$ 級で Cauchy–Riemann の方程式を満たし、$D$ 上正則である。
$\alpha$ の各係数に $I_k$ を施した正則 $(p-1)$ 形式を $\gamma:=I_k\alpha$ とおくと、$\gamma$ も $dz_1,\dots,dz_{k-1}$ だけを含み、
$$
d\gamma=dz_k\wedge\alpha+\sum_{j< k}dz_j\wedge\partial_j\gamma+\sum_{j>k}dz_j\wedge I_k(\partial_j\alpha)=dz_k\wedge\alpha+\sum_{j< k}dz_j\wedge\partial_j\gamma
$$
である。よって $\omega':=\omega-d\gamma=\beta-\sum_{j< k}dz_j\wedge\partial_j\gamma$ は $dz_1,\dots,dz_{k-1}$ だけを含む正則 $p$ 形式で、$d\omega'=-dd\gamma=0$ である（$dd=0$ は $\partial_i\partial_j=\partial_j\partial_i$ と $dz_i\wedge dz_j=-dz_j\wedge dz_i$ から従う）。帰納法の仮定により $\omega'=d\eta'$ となる $\eta'$ があり、$\omega=d(\gamma+\eta')$ である。
層の列の完全性は茎で調べればよく、複素多様体の各点は多重円板と双正則な開近傍の基本系をもつので、1 が $\mathcal{O}_X$ の位置、2 が $\Omega^p_X$（$p\ge1$）の位置での完全性を与える。$\square$
すなわち $\Omega^\bullet_X$ は定数層 $\mathbb{C}_X$ の分解である。$\Omega^p_X$ は細層ではないので、$H^n(X,\mathbb{C})$ は大域切断の複体のコホモロジーではなく超コホモロジー $\mathbf{H}^n(X,\Omega^\bullet_X)$ に一致し、Hodge–de Rham スペクトル系列 $E_1^{p,q}=H^q(X,\Omega^p_X)\Rightarrow H^{p+q}(X,\mathbb{C})$ が得られる（Voi02 Chapter 8、de Rhamコホモロジー）。
補足
Dolbeault 複体
複素多様体 $X$ 上の複素数値 $C^\infty$ 級 $k$ 形式で、局所座標で $\sum f_{IJ}\,dz_{i_1}\wedge\cdots\wedge dz_{i_p}\wedge d\bar z_{j_1}\wedge\cdots\wedge d\bar z_{j_q}$（$p+q=k$、$f_{IJ}$ は $C^\infty$ 級）と書けるものを型 $(p,q)$ の微分形式といい、その全体を $\mathcal{A}^{p,q}(X)$ と書く。座標変換が正則なら $dz'_k$ は $dz_j$ たちの、$d\bar z'_k$ は $d\bar z_j$ たちの一次結合なので型は座標によらず、$\mathcal{A}^k(X)=\bigoplus_{p+q=k}\mathcal{A}^{p,q}(X)$ である。外微分 $d$ は $\mathcal{A}^{p,q}$ を $\mathcal{A}^{p+1,q}\oplus\mathcal{A}^{p,q+1}$ に写し、2 成分への射影を $\partial$、$\bar\partial$ と書く（$\bar\partial f=\sum_j(\partial f/\partial\bar z_j)d\bar z_j$）。$d=\partial+\bar\partial$ と $d^2=0$ を型ごとに比較して $\partial^2=\bar\partial^2=0$、$\partial\bar\partial+\bar\partial\partial=0$ が従う。各 $p$ について複体
$$
0\to\mathcal{A}^{p,0}(X)\xrightarrow{\bar\partial}\mathcal{A}^{p,1}(X)\xrightarrow{\bar\partial}\cdots\xrightarrow{\bar\partial}\mathcal{A}^{p,n}(X)\to0
$$
を Dolbeault 複体（Dolbeault complex）といい、そのコホモロジー $H^{p,q}_{\bar\partial}(X)$ を Dolbeaultコホモロジー という。$\bar\partial f=0$ は Cauchy–Riemann の方程式なので $\ker(\bar\partial\colon\mathcal{A}^{p,0}\to\mathcal{A}^{p,1})=\Omega^p(X)$ である。
複素多様体 $X$ と任意の $p,q$ について、自然な同型 $H^{p,q}_{\bar\partial}(X)\cong H^q(X,\Omega^p_X)$ が成り立つ。
証明は GH78 Chapter 0 §3、Huy05 §2.6 に譲る。多重円板上で $\bar\partial$ 閉な型 $(p,q)$（$q\ge1$）の形式が $\bar\partial$ 完全であること（$\bar\partial$ Poincaré の補題。prop-complex-manifold-poincare とは独立な主張）により、層の複体 $0\to\Omega^p_X\to\mathcal{A}^{p,0}_X\xrightarrow{\bar\partial}\mathcal{A}^{p,1}_X\to\cdots$ は完全であり、$\mathcal{A}^{p,q}_X$ は 1の分割をもつ細層なので、この分解の大域切断の複体が層コホモロジーを計算する。
Kähler 計量と Kähler 多様体
複素多様体 $X$ 上の Hermite 計量とは、各接空間 $(T_pX,J_p)$ 上の正定値 Hermite内積 $h_p$ で $p$ について $C^\infty$ 級に変化するものをいう。$g=\operatorname{Re}h$ は $J$ 不変な Riemann計量であり、$\omega(v,w):=g(Jv,w)$ は型 $(1,1)$ の実 2 形式である（局所座標で $h=\sum h_{j\bar k}\,dz_j\otimes d\bar z_k$ なら $\omega=\frac{\sqrt{-1}}2\sum h_{j\bar k}\,dz_j\wedge d\bar z_k$）。$d\omega=0$ を満たす Hermite 計量を Kähler 計量（Kähler metric）、Kähler 計量をもつ複素多様体を Kähler 多様体（Kähler manifold）という。
- $\mathbb{C}^n$ の平坦計量 $\sum_j dz_j\otimes d\bar z_j$ は Kähler であり、複素トーラス $\mathbb{C}^n/\Lambda$ に降りる。
- $\mathbb{P}^n$ は Fubini–Study計量（$U_i$ 上で $\omega=\frac{\sqrt{-1}}2\partial\bar\partial\log(1+\sum_{k\ne i}|w_k|^2)$）により Kähler 多様体である。Kähler 多様体の複素部分多様体は誘導計量により Kähler なので、滑らかな射影多様体の解析化は Kähler 多様体である。
- コンパクト Kähler 多様体 $X$ について Hodge 分解 $H^k(X,\mathbb{C})=\bigoplus_{p+q=k}H^{p,q}(X)$、$H^{p,q}(X)\cong H^q(X,\Omega^p_X)$、$\overline{H^{p,q}(X)}=H^{q,p}(X)$ が成り立ち、Hodge–de Rham スペクトル系列は $E_1$ で退化する。とくに奇数次の Betti数は偶数である。
1・2 は Huy05 §3.1、GH78 Chapter 0 §2 にある（$\partial\bar\partial\log(\cdots)$ が $d$ 閉であることは $\partial^2=\bar\partial^2=0$、$\partial\bar\partial=-\bar\partial\partial$ から従う）。3 は Hodge定理であり、証明は Voi02 Chapter 6、GH78 Chapter 0 §6–§7 に譲る。帰結の整理は Hodge分解 にある。コンパクト複素多様体が Kähler とは限らない例として Hopf曲面 $(\mathbb{C}^2\setminus\{0\})/\langle z\mapsto2z\rangle$ がある。これは $S^1\times S^3$ に微分同相で $b_1=1$ なので、3 の帰結を破る（BHPV04 Chapter V §18）。
複素解析空間への一般化
$D\subset\mathbb{C}^n$ を開集合、$f_1,\dots,f_r\in\mathcal{O}(D)$ とし、$V:=\{f_1=\cdots=f_r=0\}\subset D$ に層 $\mathcal{O}_V:=(\mathcal{O}_D/(f_1,\dots,f_r)\mathcal{O}_D)|_V$ を載せた局所環付き空間を局所模型という。複素解析空間（complex analytic space）とは、Hausdorff で第 2 可算な位相空間 $X$ と $\mathbb{C}$ 代数の層 $\mathcal{O}_X$ の組で、各点が局所模型と同型な開近傍をもつ局所環付き空間 $(X,\mathcal{O}_X)$ をいう。射は局所環付き空間の射である。$\mathcal{O}_X$ が冪零元をもたないとき $X$ は被約であるという。
$r=0$ の局所模型は $(D,\mathcal{O}_D)$ なので、rem-complex-manifold-ringed-space により複素多様体は各点が $(D,\mathcal{O}_D)$ と同型な近傍をもつ（滑らかな）複素解析空間である。局所模型の点 $x$ で Jacobi 行列 $(\partial f_i/\partial z_j)(x)$ の階数が $r$ なら、逆関数定理により $x$ の近傍で $V$ は複素部分多様体である。$\mathbb{C}$ 上局所有限型のスキーム $Y$ には付随する複素解析空間 $Y^{\mathrm{an}}$ があり、$Y$ が滑らか（滑らかな射）であることと $Y^{\mathrm{an}}$ が複素多様体であることは同値である（各閉点で両者の局所環の完備化が一致し、Noether 局所環の正則性が完備化で判定できることによる。GAGA）。一般論は GR84、Stein空間 を参照。
関連項目
参考文献
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