1次近似と誤差の伝わり方（高校数学）

1. $f(x)=\sin x$、$a=\dfrac\pi6$（$30^\circ$）、$h=\dfrac\pi{180}$（$1^\circ$）とする。$\sin\dfrac\pi6=\dfrac12$、$f'(x)=\cos x$ で $\cos\dfrac\pi6=\dfrac{\sqrt3}2$ なので
   $$ \sin31^\circ\approx\frac12+\frac{\sqrt3}2\cdot\frac{\pi}{180}=0.5151149\ldots $$
   である。実際は $\sin31^\circ=0.5150380\ldots$ で、差（真の値 $-$ 近似値）は $-0.0000769\ldots$ である。
2. $f(x)=\sqrt[3]{x}=x^{\frac13}$、$a=27$、$h=0.5$ とする。$f(27)=3$、$f'(x)=\dfrac13x^{-\frac23}$ で $f'(27)=\dfrac13\cdot\dfrac19=\dfrac1{27}$ なので
   $$ \sqrt[3]{27.5}\approx3+\frac{0.5}{27}=3.0185185\ldots $$
   である。実際は $\sqrt[3]{27.5}=3.0184053\ldots$ で、差は $-0.0001131\ldots$ である。

1. $f(x)=x^2$ では $f'(a)=2a$ なので
   $$ R(h)=(a+h)^2-a^2-2ah=h^2 $$
   である。$f''(x)=2$ なので、$R(h)=\dfrac{f''}{2}h^2$ と書ける。
2. $f(x)=x^3$、$a=1$ では $f'(1)=3$ なので
   $$ R(h)=(1+h)^3-1-3h=3h^2+h^3 $$
   である。$h=0.01$ なら $1.01^3\approx1.03$ で、誤差は $R(0.01)=0.0003+0.000001=0.000301$ である。$f''(x)=6x$ は $x=1$ の近くで約 $6$ なので、ここでも $R(h)$ はおよそ $\dfrac{f''}2h^2$ である。

1. ex-lae-start (1) の $\sin31^\circ$。$f''(t)=-\sin t$ で、$30^\circ\le t\le31^\circ$ では $\lvert f''(t)\rvert=\sin t\le\sin31^\circ$ である（$\sin$ はこの範囲で増加する）。さらに $f''\le0$ なので、cor-lae-sign により $\sin31^\circ$ は近似値 $0.5151149\ldots$ 以下で、$\lvert f''(t)\rvert<0.52$ と分かる。真の値を使わずに $M$ が決まった。$M=0.52$ として
   $$ \lvert R\rvert\le\frac{0.52}2\left(\frac\pi{180}\right)^2=0.0000792\ldots $$
   である。実際の誤差 $0.0000769\ldots$ はこれ以下で、上界は実際の誤差の $1.03$ 倍しかない。真の値を知らなくても、「近似値 $0.5151149$ から $0.0000792$ 以上は離れていない」と言える。
2. ex-lae-start (2) の $\sqrt[3]{27.5}$ でも同じように、上界 $\dfrac1{8748}=0.0001143\ldots$ が得られ、実際の誤差 $0.0001131\ldots$ はこれ以下である。
   $\sqrt[3]{27.5}$ の上界の計算を開く

   $f''(t)=-\dfrac29t^{-\frac53}$ で、$t\ge27$ では $\lvert f''(t)\rvert\le\dfrac29\cdot27^{-\frac53}=\dfrac29\cdot\dfrac1{243}=\dfrac2{2187}$ である（$27^{\frac53}=3^5=243$）。$M=\dfrac2{2187}$、$h=0.5$ として

   $$\lvert R\rvert\le\frac12\cdot\frac2{2187}\cdot0.25=\frac{1}{8748}=0.0001143\ldots$$

   である。上界は実際の誤差の $1.01$ 倍で、ほとんど等しい。$h$ が小さい範囲で $\lvert f''\rvert$ がほぼ一定だからである。

3. $h$ を半分ずつにする。$\sin(30^\circ+h)$ では、上界の $M$ に $30^\circ$ から $30^\circ+h$ での $\lvert f''\rvert$ の最大値 $\sin(30^\circ+h)$ を使う（$h$ は弧度法で計算する）。

   $h$	誤差 $R$	上界 $\dfrac{\sin(30^\circ+h)}2h^2$	$\dfrac R{h^2}$
   $4^\circ$	$-1.267\times10^{-3}$	$1.363\times10^{-3}$	$-0.2600$
   $2^\circ$	$-3.107\times10^{-4}$	$3.228\times10^{-4}$	$-0.2550$
   $1^\circ$	$-7.692\times10^{-5}$	$7.844\times10^{-5}$	$-0.2525$
   $0.5^\circ$	$-1.913\times10^{-5}$	$1.933\times10^{-5}$	$-0.2513$

   $h$ を半分にするごとに誤差はほぼ $\dfrac14$ になり、$\dfrac R{h^2}$ は $\dfrac{f''(\frac\pi6)}2=-\dfrac14$ に近づいていく。

1. 長さ $10$ cm の棒を $10.1$ cm と測った。絶対誤差は $0.1$ cm、相対誤差は $\dfrac{0.1}{10}=0.01$、つまり $1\%$ である。
2. 長さ $1000$ m の道を $1000.1$ m と測った。絶対誤差は同じ $0.1$ m だが、相対誤差は $\dfrac{0.1}{1000}=0.0001$、つまり $0.01\%$ である。同じ $0.1$ のずれでも、相対誤差で見ると (2) の方が 100 倍正確である。

1. 半径 $r=10$ の円の半径を $10.1$ と測った（$\varepsilon=0.01$）。面積 $\pi r^2$ は $p=2$ の冪なので、相対誤差はおよそ $2\varepsilon=2\%$ である。正確には $(1.01)^2-1=0.0201$ で、thm-lae-propagation (3) の差 $0.0001=\varepsilon^2$ は、$p=2$ では $K=1$、上界 $\dfrac{2\cdot1}2\cdot1\cdot\varepsilon^2=\varepsilon^2$ とちょうど等しい。
   絶対誤差で見る計算を開く

   面積の増え方は $\pi(10.1^2-10^2)=2.01\pi=6.3146\ldots$ で、1 次の見積もり $2\pi r\cdot\Delta r=2\pi=6.2831\ldots$ との差は $\pi(\Delta r)^2=0.0314\ldots$ である。$2\pi r\cdot\Delta r$ は円周の長さと幅 $\Delta r$ の積で、円の外側に巻いた細い帯の面積の見積もりにあたる。

2. 立方体の 1 辺を相対誤差 $1\%$ で測ると、体積（$p=3$）の相対誤差はおよそ $3\%$ である。正確には $(1.01)^3-1=0.030301$ である。

長さ $l$ の振り子の周期は、振れ幅が小さいとき $T=2\pi\sqrt{\dfrac lg}$（$g$ は重力加速度）で与えられるとする。$l$ を $1\%$ 長く測ると（$\varepsilon=0.01$）、$T$ は $l^{\frac12}$ に比例するので、相対誤差はおよそ $\dfrac12\varepsilon=0.5\%$ である。正確には $\sqrt{1.01}-1=0.0049875\ldots$ である。

密度は（質量）$\mathbin{÷}$（体積）である。質量を $1\%$ 大きく（$\varepsilon=0.01$）、体積を $2\%$ 小さく（$\eta=-0.02$）測ったとすると、thm-lae-propagation (2) により密度の相対誤差は
$$ \frac{\varepsilon-\eta}{1+\eta}=\frac{0.03}{0.98}=0.030612\ldots $$
で、およそ $\varepsilon-\eta=3\%$ である。差は $0.000612\ldots$ で、上界 $\dfrac{(0.01+0.02)\cdot0.02}{0.98}=0.000612\ldots$ と一致する（$\varepsilon$ と $-\eta$ の符号がそろっているため）。誤差の向きが分からないときは、相対誤差の大きさ $1\%$ と $2\%$ を足して「密度の相対誤差は約 $3\%$ 以下」と見積もる。

$f(x)=\sqrt x$ の $a=0.0001$ での 1 次近似で、$h=0.01$ として $\sqrt{0.0101}$ を見積もる。$f(0.0001)=0.01$、$f'(x)=\dfrac1{2\sqrt x}$ で $f'(0.0001)=50$ なので
$$ \sqrt{0.0101}\approx0.01+50\times0.01=0.51 $$
となる。実際は $\sqrt{0.0101}=0.10049\ldots$ で、近似値は 5 倍もずれている。
thm-lae-bound は間違っていない。$f''(t)=-\dfrac14t^{-\frac32}$ は $t=0.0001$ で $\lvert f''\rvert=\dfrac14\cdot10^{6}=250000$ となり、$M=250000$ とすると上界は $\dfrac{250000}2\times(0.01)^2=12.5$ である。実際の誤差 $0.4095\ldots$ はこれ以下だが、上界そのものが近似値より大きく、何の保証にもならない。
同じ $h=0.01$ でも、$a=1$ なら $\sqrt{1.01}\approx1.005$ で、誤差は $0.0000124\ldots$、上界は $M=\dfrac14$ から $0.0000125$ である。1 次近似が使えるかどうかは、$h$ が小さいかどうかだけでは決まらず、$h$ と曲がり具合 $M$ の組み合わせ $\dfrac M2h^2$ で決まる。$\sqrt x$ のグラフは $x=0$ の近くで縦に立ち上がり、接線の傾きが急に変わるので、少し離れただけで接線から大きく外れる。

正方形の 1 辺を実際の $1.5$ 倍（$\varepsilon=0.5$）と測ると、面積の相対誤差は $(1.5)^2-1=1.25$ で、$2\varepsilon=1$ から $0.25$ ずれる。$2$ 倍（$\varepsilon=1$）なら $2^2-1=3$ で、$2\varepsilon=2$ とは大きく違う。捨てた部分 $\varepsilon^2$ が、$\varepsilon=1$ では 1 次の部分 $2\varepsilon$ の半分にもなる。thm-lae-propagation (3) の等式は正しいままだが、「およそ $p\varepsilon$」という読み方は $\lvert\varepsilon\rvert$ が小さいときにしか使えない。

2 本の棒の長さを $100.3$ cm と $100.1$ cm と測った。どちらも絶対誤差は $0.05$ cm 以下とする。相対誤差はどちらも $\dfrac{0.05}{100}$ 程度、つまり $0.05\%$ 程度で、とても正確である。
ところが、長さの差 $100.3-100.1=0.2$ cm の絶対誤差は、和と差の規則により $0.05+0.05=0.1$ cm 以下としか言えない（本当の長さが $100.25$ cm と $100.15$ cm なら差は $0.1$ cm になる）。差 $0.2$ に対する相対誤差は最大で $\dfrac{0.1}{0.2}=50\%$ になる。
入力の相対誤差は $0.05\%$ 程度なのに、結果の相対誤差は $50\%$ にもなりうる。近い 2 数を引くと、絶対誤差は変わらないまま結果だけが小さくなるので、相対誤差が大きくなる。これを 桁落ち という。計算機でも同じことが起こり、次の記事 数値微分（高校数学） では、差 $f(a+h)-f(a)$ を小さな $h$ で割るときにこの現象が現れる。