角付き多様体

$\gamma$ が $A$ の中の曲線で $i\in Z(a)$ なら、$\gamma^i(t)\ge0=\gamma^i(0)$ なので $\gamma^{i\prime}(0)=\lim_{t\to+0}\gamma^i(t)/t\ge0$ である。逆に $v^i\ge0$（$i\in Z(a)$）なら、$\gamma(t):=a+tv$ は小さい $t\ge0$ で $A$ に入る：$i\in Z(a)$ の成分は $tv^i\ge0$、それ以外の成分は $a^i>0$ なので小さい $t$ で正、$A=O\cap\mathbb{R}^n_{\ge0}$ の $O$ にも小さい $t$ で入る。よって最初の等式が成り立つ。$v$ と $-v$ がともに条件を満たすことは $v^i=0$（$i\in Z(a)$）と同値である。$C_a(A)$ は正の象限 $(0,\infty)^n$ の点を含む開集合を含むので $\mathbb{R}^n$ を張る。$\square$

$b:=F(a)$ とし、$a$ の近くの $F$ の $C^\infty$ 級の延長 $\widetilde F$、$b$ の近くの $F^{-1}$ の延長 $\widetilde G$ をとる。
段 1（微分は接錐を接錐に写す）．$v\in C_a(A)$ を $A$ の中の曲線 $\gamma$ の速度とすると、$F\circ\gamma=\widetilde F\circ\gamma$ は $B$ の中の $b$ から出る曲線で、連鎖律によりその速度は $D\widetilde F(a)v$ である。よって $D\widetilde F(a)\,C_a(A)\subset C_b(B)$、同様に $D\widetilde G(b)\,C_b(B)\subset C_a(A)$ である。
段 2（微分は可逆）．$v\in C_a(A)$ について、曲線 $\gamma(t)=a+tv$（lem-mwc-cone の証明）に沿って $\widetilde G\circ\widetilde F\circ\gamma=\gamma$ なので、微分して $D\widetilde G(b)\,D\widetilde F(a)v=v$ である。$C_a(A)$ は $\mathbb{R}^n$ を張るので $D\widetilde G(b)\,D\widetilde F(a)$ は恒等写像であり、同様に逆の順の合成も恒等写像である。よって $L:=D\widetilde F(a)$ は線形同型で、段 1 と合わせて $L(C_a(A))=C_b(B)$ である。（$L$ は $C_a(A)$ 上の値で決まり、延長の選び方によらない。）
段 3（深さの比較）．線形同型 $L$ は $C_a(A)\cap(-C_a(A))$ を $C_b(B)\cap(-C_b(B))$ の上へ写すので、両者の次元は等しい。lem-mwc-cone によりこれは $n-\operatorname{depth}(a)=n-\operatorname{depth}(b)$ を意味する。
後半：$p$ を含む 2 つの角付きの座標近傍 $(U,\varphi)$、$(V,\psi)$ について、座標変換 $\psi\circ\varphi^{-1}$ は $\varphi(U\cap V)$ から $\psi(U\cap V)$ への全単射で、それ自身と逆写像が $C^\infty$ 級なので、前半により $\operatorname{depth}(\psi(p))=\operatorname{depth}(\varphi(p))$ である。微分同相写像 $h\colon M\to N$ についても、座標で書いた $h$ に前半を使えばよい。$\square$

$n=1$ では $\mathbb{R}^1_{\ge0}=\mathbb{H}^1$ である。$n=2$ では、$\mathbb{R}^2=\mathbb{C}$ とみて、極座標で $q(re^{i\theta}):=re^{2i\theta}$（$0\le\theta\le\pi/2$）、$q(0)=0$ とおく。$q$ は四分円 $\mathbb{R}^2_{\ge0}$ から閉じた上半平面 $\mathbb{H}^2$ への全単射で、逆写像は $re^{i\theta}\mapsto re^{i\theta/2}$（$0\le\theta\le\pi$）であり、どちらも $0$ の外では極座標で連続、$0$ では $\lvert q(z)\rvert=\lvert z\rvert$ から連続である。$\theta=0,\pi/2$（座標軸）は $\theta=0,\pi$（実軸）に写る。
$n\ge3$ では $n$ についての帰納法による。$\mathbb{R}^n_{\ge0}=\mathbb{R}^2_{\ge0}\times\mathbb{R}^{n-2}_{\ge0}$ に $q\times\mathrm{id}$ を施すと、$\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}^{n-2}_{\ge0}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{n-1}_{\ge0}$（第 1 成分が $\operatorname{Re}$、残りが $\operatorname{Im}\ge0$ と $x^3,\dots,x^n\ge0$）に同相に写る。元の点が深さ $1$ 以上であることは、$x^1x^2=0$ または $x^j=0$（$j\ge3$）、すなわち像の $\mathbb{R}^{n-1}_{\ge0}$ 成分が深さ $1$ 以上であることと同値である。帰納法の仮定の $h_{n-1}\colon\mathbb{R}^{n-1}_{\ge0}\to\mathbb{H}^{n-1}$ を $\mathbb{R}^{n-1}_{\ge0}$ 成分に施し、成分を並べ替えれば、求める $h$ が得られる。
後半：$h\circ\varphi$ は $U$ から $\mathbb{H}^n$ の開集合への同相写像なので、$M$ は位相的な境界付き多様体である。その境界の点は $h(\varphi(p))\in\partial\mathbb{H}^n$ となる点、すなわち $\operatorname{depth}(\varphi(p))\ge1$ となる点であり（境界付き多様体 の定理「内部の点と境界の点は交わらない」により座標によらない）、$\partial M$ に一致する。$\square$

1：$p$ のまわりの座標近傍 $(U,\varphi)$ を、$\varphi(p)$ を中心とする半径 $1$ 以下の開球の逆像に縮め、$T(x):=(x^1-\varphi^1(p)+1,\ \dots,\ x^{n-1}-\varphi^{n-1}(p)+1,\ x^n)$ と合成する（内部の点では $x^n$ も平行移動して正にする）。像の最初の $n-1$ 成分は正なので、$T\circ\varphi$ は $U$ から $\mathbb{R}^n_{\ge0}$ の開集合 $T(\varphi(U))=T(O)\cap\mathbb{R}^n_{\ge0}$ への同相写像である。座標変換は元の座標変換に平行移動を合成したものなので $C^\infty$ 級である。深さは $x^n=0$ なら $1$、そうでなければ $0$ である。
2：深さ $1$ の点 $p$ と角付きの座標近傍 $(U,\varphi)$ をとり、$Z(\varphi(p))=\{i\}$ とする。$U$ を $\varphi^{-1}(\{x^j>0\ (j\ne i)\})$ に縮めると、$\varphi(U)=O'\cap\{x^i\ge0\}$（$O'$ は $\mathbb{R}^n$ の開集合）であり、第 $i$ 成分と第 $n$ 成分を入れ替える写像 $P$ を合成した $P\circ\varphi$ は $\mathbb{H}^n$ の開集合への同相写像である。深さ $0$ の点のまわりは $\mathbb{R}^n$ の開集合への座標近傍を使う。座標変換は元の座標変換に成分の置換を合成したものなので $C^\infty$ 級である。$\square$

$\mathbb{R}^m_{\ge0}\times\mathbb{R}^k_{\ge0}=\mathbb{R}^{m+k}_{\ge0}$ であり、$\varphi(U)=O\cap\mathbb{R}^m_{\ge0}$、$\psi(U')=O'\cap\mathbb{R}^k_{\ge0}$ なら $\varphi(U)\times\psi(U')=(O\times O')\cap\mathbb{R}^{m+k}_{\ge0}$ は $\mathbb{R}^{m+k}_{\ge0}$ の開集合である。$\varphi\times\psi$ は同相写像で、座標変換は $C^\infty$ 級写像の積なので $C^\infty$ 級である（延長の積が積の延長になる）。Hausdorff 性と第 2 可算性は積に遺伝する。$(\varphi(p),\psi(q))$ の $0$ の成分の個数は、$\varphi(p)$ と $\psi(q)$ の $0$ の成分の個数の和である。後半は prop-mwc-boundary の 1 で境界付き多様体を角付き多様体とみて、境界の点どうしの組の深さが $1+1=2$ になることによる。$\square$

$p\in\partial_kM$ と角付きの座標近傍 $(U,\varphi)$ をとり、$I:=Z(\varphi(p))$ とする。$U$ を $\varphi^{-1}(\{x^j>0\ (j\notin I)\})$ に縮めると、thm-mwc-depth により $U\cap\partial_kM$ は $\varphi(U)\cap\{x^i=0\ (i\in I)\}$ の逆像であり、$I$ に属さない成分 $(x^j)_{j\notin I}$ を並べた写像は、これを $\mathbb{R}^{n-k}$ の開集合 $\{(x^j)_{j\notin I}\mid x\in\varphi(U),\ x^i=0\ (i\in I)\}$ の上へ同相に写す。2 つの座標近傍の座標変換は、元の座標変換を座標平面に制限して成分を選んだもの（thm-mwc-depth により深さ $k$ の点は深さ $k$ の点に写るので、制限は座標平面の間の写像になる）なので $C^\infty$ 級である。Hausdorff 性と第 2 可算性は部分空間に遺伝する。後半：深さは座標で見ると上半連続（$x^j>0$ は開条件）なので、深さ $k$ 以上の点の集合は閉集合、深さ $0$ の点の集合は開集合である。$\square$

要点：あったとすると、thm-mwc-depth の証明の段 1・2 と同じ議論で、$L:=D\widetilde F(0)$ は $P$ の接錐を $\mathbb{R}^3_{\ge0}$ のある点の接錐の上へ写す線形同型になる。$P$ の接錐は $P$ 自身で、「端の半直線」を 4 本もつが、$\mathbb{R}^3_{\ge0}$ の接錐は高々 3 本しかもたない。線形同型は端の半直線を端の半直線に写すので矛盾する。