アーベル群のExt

1 は Ext関手 の命題「$\mathbb Z$ 上の高次の Ext の消滅」である。2：自由アーベル群は射影的であり、可除群は入射的である（可除群 の定理「可除群と入射性」）。よって Ext関手 の命題「射影対象に対する消滅」と命題「入射対象に対する消滅」による。3 は Ext関手 の命題「巡回群からの Ext」と 普遍係数定理 の命題「Ext の計算」の 4 による。4 は Ext関手 の命題「長完全列」の二つの長完全列が、1 により $\operatorname{Ext}^2$ の項で切れたものである（Hat02 Proposition 3F.11、p. 317）。$\square$

prop-extab-basic の 4 の第 2 の列を $0\to\mathbb Z\to\mathbb Q\to\mathbb Q/\mathbb Z\to0$ に当てると、$\operatorname{Hom}(A,\mathbb Q)\to\operatorname{Hom}(A,\mathbb Q/\mathbb Z)\to\operatorname{Ext}(A,\mathbb Z)\to\operatorname{Ext}(A,\mathbb Q)$ が完全であり、2 により最後の項は $0$ である。$A$ が捩れ群のとき、$f\in\operatorname{Hom}(A,\mathbb Q)$ と $a\in A$ をとり $ma=0$（$m\ge1$）とすると、$mf(a)=0$ から $f(a)=0$ となる。よって $\operatorname{Hom}(A,\mathbb Q)=0$ である。$\square$

1：各 $A_i$ の自由分解 $0\to F_1^{(i)}\xrightarrow{d_i}F_0^{(i)}\to A_i\to0$ の直和は、成分ごとに完全なので $\bigoplus_iA_i$ の自由分解である。$\operatorname{Hom}(\bigoplus_iF_k^{(i)},B)=\prod_i\operatorname{Hom}(F_k^{(i)},B)$ であり、$d^*$ は $d_i^*$ の直積になる。直積写像の余核は余核の直積である。実際、$\prod_i\operatorname{Hom}(F_1^{(i)},B)\to\prod_i\operatorname{coker}d_i^*$ は全射であり（各成分で代表を選ぶ）、その核の元は各成分が $d_i^*$ の像に入るので、成分ごとに逆像を選んで並べれば $\prod_id_i^*$ の像に入る。この同型は 1 の写像と一致する。この主張は 普遍係数定理 の命題「Ext の計算」の 3 と同じである。

2：$A$ の自由分解 $0\to F_1\to F_0\to A\to0$ について $\operatorname{Hom}(F_k,\prod_iB_i)=\prod_i\operatorname{Hom}(F_k,B_i)$ なので、1 と同じ議論で示せる。

3：$\kappa$ に、包含 $\bigoplus_jB_j\subset\prod_jB_j$ が誘導する写像と 2 の同型を合成する。$B_i\to\bigoplus_jB_j\to\prod_jB_j\to B_l$ は $l=i$ で恒等写像、$l\ne i$ で $0$ なので、合成は包含 $\bigoplus_i\operatorname{Ext}(A,B_i)\subset\prod_i\operatorname{Ext}(A,B_i)$ に等しく、単射である。よって $\kappa$ は単射である。$I$ が有限なら $\bigoplus=\prod$ なので、2 により $\kappa$ は同型である。$A$ が有限生成なら、有限個の生成元を基底とする $F_0\cong\mathbb Z^r$ からの全射の核 $F_1$ は有限階数の自由アーベル群である（自由アーベル群 の命題「有限階数の自由アーベル群の部分群」）。任意の $s\ge0$ について、$\mathbb Z^s$ の基底の行き先は有限個なので、それらは有限個の成分にしか値をもたない。よって $\operatorname{Hom}(\mathbb Z^s,\bigoplus_iB_i)=\bigoplus_i\operatorname{Hom}(\mathbb Z^s,B_i)$ であり、$\bigoplus_iB_i$ を係数とする複体 $\operatorname{Hom}(F_0,-)\to\operatorname{Hom}(F_1,-)$ は各 $B_i$ を係数とする複体の直和になる。余核をとれば $\kappa$ が同型であることが分かる。$\square$

段 1（分解）．$F_0:=\bigoplus_{j\ge0}\mathbb Ze_j$、$F_1:=\bigoplus_{j\ge0}\mathbb Zf_j$ とし、$\varepsilon(e_j):=1/N_j$、$d(f_j):=e_j-k_je_{j+1}$ とおく。$\varepsilon d(f_j)=1/N_j-k_j/N_{j+1}=0$ であり、$\varepsilon$ は全射である。$x=\sum_{j\le n}c_jf_j$ について、$d(x)$ の $e_0$ の係数は $c_0$、$e_j$（$1\le j\le n$）の係数は $c_j-k_{j-1}c_{j-1}$ である。よって $d(x)=0$ なら $j$ についての帰納法で $c_j=0$ となり、$d$ は単射である。$\operatorname{im}d$ を法として $e_j\equiv k_je_{j+1}$ だから、$j\le n$ なら $e_j\equiv(N_n/N_j)e_n$ である。したがって $y=\sum_{j\le n}c_je_j$ は $y\equiv ce_n$（$c=\sum_jc_jN_n/N_j$）を満たす。$\varepsilon(y)=0$ なら $c/N_n=0$ より $c=0$ で、$y\in\operatorname{im}d$ である。以上で $0\to F_1\to F_0\to A\to0$ は自由分解である。

段 2（余核）．$\varphi\mapsto(\varphi(e_j))_j$ により $\operatorname{Hom}(F_0,M)=\prod_jM$ であり、$F_1$ も同様である。$(d^*\varphi)(f_j)=\varphi(e_j)-k_j\varphi(e_{j+1})$ なので $d^*=\delta_M$ である。$\operatorname{Hom}(A,M)$ は $d^*$ の核に等しい（prop-extab-basic の 4 の第 1 の列）。

段 3（$M=\mathbb Z$）．整数列 $b$ に対し $S_j(b):=\sum_{i< j}b_iN_i$ とおき、$\Phi(b):=(S_j(b)\bmod N_j)_j$ と定める。$S_{j+1}(b)-S_j(b)=b_jN_j$ なので各成分は両立し、$\Phi\colon\prod_j\mathbb Z\to\Lambda$ は準同型である。全射であることを示す。$\lambda\in\Lambda$ の第 $j$ 成分の代表 $0\le r_j< N_j$ をとると、$r_{j+1}\equiv r_j\pmod{N_j}$ かつ $0\le r_{j+1}< k_jN_j$ なので、$r_{j+1}=r_j+b_jN_j$（$0\le b_j< k_j$）と書ける。$r_0=0$ から $r_j=S_j(b)$ となり、$\Phi(b)=\lambda$ である。次に、$S_j(\delta_{\mathbb Z}a)=\sum_{i< j}(a_iN_i-a_{i+1}N_{i+1})=a_0-a_jN_j$ だから $\Phi(\delta_{\mathbb Z}a)=\iota(a_0)$ である。逆に $\Phi(b)=\iota(n)$ なら、$a_j:=(n-S_j(b))/N_j$ は整数であり、$a_j-k_ja_{j+1}=\bigl((n-S_j(b))-(n-S_{j+1}(b))\bigr)/N_j=b_j$ となって $b=\delta_{\mathbb Z}(a)$ である。よって $\Phi^{-1}(\iota(\mathbb Z))=\operatorname{im}\delta_{\mathbb Z}$ であり、$\Phi$ は同型 $\operatorname{coker}\delta_{\mathbb Z}\cong\Lambda/\iota(\mathbb Z)$ を誘導する。$N_j\to\infty$ なので $\iota$ は単射である。

段 4（非可算）．段 3 の $r_j$ は $\lambda$ で決まるので、$\lambda\mapsto(b_j)_j$ は $\Lambda$ と数字の列 $(b_j)_j$（$0\le b_j< k_j$）全体との全単射である。$k_j\ge2$ なので $\{0,1\}^{\mathbb N}$ が単射で入り、Cantorの対角線論法 により $\Lambda$ は非可算である。商 $\Lambda/\iota(\mathbb Z)$ が可算なら、$\Lambda$ は可算個の可算な剰余類の和になって可算となり、矛盾する。$\square$

1 は prop-extab-basic の 4 の第 1 の列の右端である。2：同じ列から $\operatorname{Hom}(C,\mathbb Z)\to\operatorname{Ext}(H/C,\mathbb Z)\to\operatorname{Ext}(H,\mathbb Z)$ が完全である。$C$ が $c_1,\dots,c_r$ で生成されるなら、準同型 $C\to\mathbb Z$ は値の組 $(f(c_1),\dots,f(c_r))\in\mathbb Z^r$ で決まるので、$\operatorname{Hom}(C,\mathbb Z)$ は可算である。その像 $K$ も可算であり、$\operatorname{Ext}(H/C,\mathbb Z)/K$ は $\operatorname{Ext}(H,\mathbb Z)$ に単射で入る。非可算な群を可算な部分群で割った商は非可算である（商が可算なら、もとの群は可算個の可算な剰余類の和になる）。$\square$

無限な捩れ部分群 $T'\subset H$ から元 $x_1,x_2,\dots$ を、$x_{i+1}\notin F_i:=\langle x_1,\dots,x_i\rangle$ となるように選ぶ（$F_0:=0$）。$F_i$ の元は $\sum_jn_jx_j$（$o_j$ を $x_j$ の位数として $0\le n_j< o_j$）と書けるので $F_i$ は有限であり、$T'$ は無限だからこの選び方ができる。$L:=\bigcup_iF_i$ は捩れ群なので、lem-extab-sub の 1 と lem-extab-q により、$\operatorname{Ext}(H,\mathbb Z)$ は $\operatorname{Hom}(L,\mathbb Q/\mathbb Z)$ の上へ写る。後者が非可算であることを示す。

制限 $r_i\colon\operatorname{Hom}(F_{i+1},\mathbb Q/\mathbb Z)\to\operatorname{Hom}(F_i,\mathbb Q/\mathbb Z)$ は全射である（$\mathbb Q/\mathbb Z$ は入射的）。$F_{i+1}/F_i$ は $x_{i+1}$ の像が生成する位数 $m_i\ge2$ の巡回群なので、生成元を $1/m_i+\mathbb Z$ に送る準同型と商写像の合成 $\kappa_i$ は $0$ でなく、$\ker r_i$ に入る。各 $i$ で $r_i$ の右逆写像 $s_i$（準同型でなくてよい）を選ぶ。$\sigma\in\{0,1\}^{\mathbb N}$ に対し、$\varphi_\sigma|_{F_0}:=0$、$\varphi_\sigma|_{F_{i+1}}:=s_i(\varphi_\sigma|_{F_i})+\sigma_i\kappa_i$ と帰納的に定める。$r_i$ で前の段に戻るのでこれらは両立し、$\varphi_\sigma\in\operatorname{Hom}(L,\mathbb Q/\mathbb Z)$ が定まる。$\sigma\ne\tau$ で最初に異なる添字を $i$ とすると、$\varphi_\sigma-\varphi_\tau$ は $F_{i+1}$ 上で $\pm\kappa_i\ne0$ である。よって $\sigma\mapsto\varphi_\sigma$ は単射であり、$\operatorname{Hom}(L,\mathbb Q/\mathbb Z)$ は非可算である。$\square$

$a\in H$、$m\ge1$、$ma=kc\in C$ とする。$\langle c,a\rangle\to\mathbb Q$ を $uc+va\mapsto u+vk/m$ で定める。$uc+va=0$ と $u+vk/m=0$ は、どちらも $(mu+vk)c=0$、すなわち $mu+vk=0$ と同値である（$H$ は捩れをもたず $c\ne0$）。よってこの写像は矛盾なく定まる単射準同型であり、$\langle c,a\rangle$ は $\mathbb Q$ の有限生成部分群 $\mathbb Z+(k/m)\mathbb Z=(g/m)\mathbb Z$（$g=\gcd(m,k)$）と同型、したがって巡回群である。$C$ の極大性から $\langle c,a\rangle=C$、すなわち $a\in C$ である。$\square$

lem-extab-torsion により $T$ は有限である。$F:=A/T$ とおくと、六項完全列と $\operatorname{Hom}(T,\mathbb Z)=0$ から $0\to\operatorname{Ext}(F,\mathbb Z)\to\operatorname{Ext}(A,\mathbb Z)\to\operatorname{Ext}(T,\mathbb Z)\to0$ が完全であり、$\operatorname{Ext}(T,\mathbb Z)\cong T$ である（prop-extab-basic の 3）。$F$ は捩れをもたないので、$n\ge1$ について $0\to F\xrightarrow{n}F\to F/nF\to0$ は完全である。六項完全列の右端から、$F$ の $n$ 倍写像が誘導する $\operatorname{Ext}(F,\mathbb Z)$ の写像、すなわち $n$ 倍写像は全射である。よって $D:=\operatorname{Ext}(F,\mathbb Z)$ は可除であり、直和因子として分かれる（可除群 の命題「可除な部分群は直和因子」）。$\operatorname{Ext}(A,\mathbb Z)$ が $\mathbb Z^n$ と同型なら、$\mathbb Z^n$ は可算なので前半が当てはまり、$\operatorname{Ext}(A,\mathbb Z)\cong D\oplus T$ である。このとき、$\mathbb Z^n$ の可除な部分群は $0$ なので（すべての整数で割り切れる整数は $0$）$D=0$ となり、$\operatorname{Ext}(A,\mathbb Z)\cong T$ は有限で矛盾する。$\square$