Riemann–Hilbert対応
概要
Riemann–Hilbert対応（Riemann–Hilbert correspondence）とは、微分方程式の側の対象（可積分接続や $\mathcal D$ 加群）と位相的な対象（局所系、構成可能層、偏屈層）を、解をとる操作で結ぶ圏同値である。複素多様体の上では可積分接続をもつベクトル束と局所系が対応し、代数多様体の上では無限遠での正則特異点の条件が要る。Kashiwara と Mebkhout は、解の複体をとる関手が正則ホロノミック $\mathcal D$ 加群の導来圏の反対圏と構成可能層の導来圏の同値を与えることを示し、正則ホロノミック加群は偏屈層に対応する。
Riemann–Hilbert対応（Riemann–Hilbert correspondence）は、線形微分方程式の側の対象（D加群）と、位相的な対象（局所系、構成可能層、偏屈層）とを、方程式の解をとる操作によって対応させる圏同値である。もっとも簡単な形は、複素多様体の上で、可積分接続をもつベクトル束と局所系とが水平切断をとることで対応する、という古典的な事実である。これを特異点をもつ方程式まで広げると、方程式が特異点で「穏やか」であること、すなわち正則特異点（正則特異点）をもつことが必要になる。
柏原正樹（Masaki Kashiwara）と Mebkhout は 1984 年に、複素多様体 $X$ の上で、正則ホロノミックな $\mathcal D_X$ 加群をコホモロジーにもつ複体の導来圏と、構成可能層をコホモロジーにもつ複体の導来圏が、解の複体をとる関手で同値になることを証明した。この同値のもとで、正則ホロノミック加群は偏屈層に対応する。
この記事では、まず古典的な対応と Deligne の代数的な対応を振り返る。次に解の複体と正則ホロノミック加群を定義して Kashiwara–Mebkhout の定理を述べ、そこから正則ホロノミック加群のアーベル圏と偏屈層のアーベル圏の同値を導く。後半では、複素平面の上の加群 $\mathcal D/\mathcal D(z\partial-a)$ の解の複体を完全に計算し、どの偏屈層に対応するかを確かめる。最後に、正則性やホロノミック性を外すと対応が崩れる例を示す。
古典的な対応
$X$ を連結な複素多様体とする。可積分な正則接続 $\nabla$ をもつ正則ベクトル束 $(\mathcal E,\nabla)$ に水平切断の層 $\mathcal E^\nabla$ を対応させると、可積分接続をもつベクトル束の圏から有限階数の局所系の圏への圏同値が得られ、局所系は基本群の有限次元表現と同じものである（接続 の定理「可積分接続と局所系の対応（Riemann–Hilbert）」の 1・2）。D加群 の命題「可積分接続と左$\mathcal{D}$加群の同値」により、可積分接続をもつベクトル束は、$\mathcal O_X$ 加群として局所自由な左 $\mathcal D_X$ 加群と同じものなので、これは $\mathcal D_X$ 加群の最も簡単な部分の Riemann–Hilbert 対応である。
$X$ が $\mathbb C$ 上の滑らかな代数多様体のときは、代数的な可積分接続のうち無限遠で正則特異点をもつものだけを考えると、解析化した水平切断の層をとる操作が、代数的な可積分接続の圏から $X^{\mathrm{an}}$ 上の局所系の圏への圏同値になる（Deligne。接続 の同じ定理の 3）。正則特異点の条件を外すとこれが成り立たないことは、下の反例の節で見る。
解の複体と正則ホロノミック加群
以下、$X$ を $n$ 次元の複素多様体、$\mathcal D=\mathcal D_X$ を正則な微分作用素の環の層とする。D加群 の定義「$\mathcal{D}$加群のde Rham複体」と同じく、左 $\mathcal D_X$ 加群 $\mathcal M$ の解の複体を
$$
\mathrm{Sol}(\mathcal M):=R\mathcal Hom_{\mathcal D_X}(\mathcal M,\mathcal O_X)
$$
とする。$\mathcal M=\mathcal D/\mathcal DP$（$P\in\mathcal D$、$P\ne0$）なら、右から $P$ を掛ける写像は単射なので $0\to\mathcal D\xrightarrow{\cdot P}\mathcal D\to\mathcal M\to0$ は自由分解で、
$$
\mathrm{Sol}(\mathcal D/\mathcal DP)\simeq\bigl[\mathcal O_X\xrightarrow{\ P\ }\mathcal O_X\bigr]\qquad(\text{次数 }0,1)
$$
である。$\mathcal H^0$ は方程式 $Pu=0$ の正則な解の層、$\mathcal H^1$ は $Pu=f$ が局所的に解けない度合いを測る。
連接な $\mathcal D_X$ 加群、良いフィルトレーション、特性多様体 $\operatorname{Ch}(\mathcal M)\subset T^*X$ とホロノミック加群は D加群 と ホロノミックD加群 の定義に従う。
ホロノミックな $\mathcal D_X$ 加群 $\mathcal M$ が正則（regular）であるとは、$\mathcal M$ が局所的に良いフィルトレーション $F_\bullet\mathcal M$ で、$\operatorname{Ch}(\mathcal M)$ の上で $0$ になるすべての関数 $f$ について $f\cdot\operatorname{gr}^F\mathcal M=0$ を満たすものをもつことをいう。正則ホロノミック加群をコホモロジーにもつ有界な複体のなす導来圏の充満部分圏を $D^b_{rh}(\mathcal D_X)$ と書く。
これは Kas84 Definition 5.2（p. 351）の定義である。$X\subset\mathbb C$ が開集合で $\mathcal M=\mathcal D/\mathcal DP$ のとき、$\mathcal M$ はつねにホロノミックであり、$\mathcal M$ が正則であることは、常微分方程式 $Pu=0$ が各点で正則特異点（正則特異点）をもつ（特異点でない点は正則点）ことと同値である（同 Example 5.2、p. 352）。$\mathcal O_X$ は正則ホロノミックである（同 Example 5.1、p. 351）。正則ホロノミック加群の部分加群・商加群は正則ホロノミックである（同 Proposition 5.3、p. 352）。$\mathbb C$ 係数の構成可能層（構成可能層）をコホモロジーにもつ有界な複体のなす導来圏を $D^b_c(X)$ と書く。
Kashiwara–Mebkhout の定理
$X$ をパラコンパクトな複素多様体とする。解の複体をとる関手は三角圏の同値
$$
\mathrm{Sol}\colon D^b_{rh}(\mathcal D_X)^{\mathrm{op}}\xrightarrow{\ \sim\ }D^b_c(X)
$$
を与える。また、正則ホロノミック加群 $\mathcal M$ について $\mathrm{Sol}(\mathcal M)[n]$ は偏屈層である。
この記事では証明しない。前半は Kas84 の主定理（Main Theorem、§6、p. 355）と、Meb84 Théorème 2.1.1（p. 70）である。Kas84 は逆関手を、緩増加超関数を係数とする Dolbeault 複体で具体的に構成し、Hironaka の特異点解消で簡単な場合に帰着させて証明している（同 0.5–0.7、pp. 320–321）。de Rham 関手 $\mathrm{DR}$ による同じ同値の形は D加群 の定理「Riemann–Hilbert対応の定理」にある。後半の偏屈性は dCM09 §2 の冒頭（p. 20）が述べている事実で、次数のずらし $[n]$ は下の $n=1$ の計算で確かめる。
$\mathrm{Sol}(\cdot)[n]$ は、正則ホロノミックな $\mathcal D_X$ 加群のアーベル圏の反対圏から、$X$ 上の偏屈層のアーベル圏 $\operatorname{Perv}(X)$ への圏同値を与える。
$\Phi:=\mathrm{Sol}(\cdot)[n]$ とおき、$\mathcal A$ を正則ホロノミック加群（次数 $0$ に置いた複体）の充満部分圏とする。thm-rh-main の後半から $\Phi(\mathcal A)\subset\operatorname{Perv}(X)$ であり、$\Phi$ は三角圏の同値なので、$\mathcal A$ の上で充満忠実である。本質的全射を示す。$P\in\operatorname{Perv}(X)$ をとり、$\Phi(K)\cong P$ となる $K\in D^b_{rh}(\mathcal D_X)$ をとる。$K$ の標準 t 構造に関するコホモロジー $\mathcal H^i(K)$ は正則ホロノミック加群で、$K$ は $\mathcal H^i(K)[-i]$ たちから完全三角形で組み立てられる。$\Phi$ は反変なので $\Phi(\mathcal H^i(K)[-i])=\Phi(\mathcal H^i(K))[i]$ であり、これは偏屈 t 構造で次数 $-i$ に集中する。$\Phi$ を切り捨ての完全三角形 $\tau_{\le i-1}K\to\tau_{\le i}K\to\mathcal H^i(K)[-i]\xrightarrow{+1}$ に当てると、偏屈コホモロジー ${}^p\mathcal H^{j}(\Phi(K))$ は $j=-i$ のところに $\Phi(\mathcal H^i(K))$ を、それ以外の次数には $0$ をもつことが帰納的にわかる（t 構造の心に入る対象のずらしは偏屈コホモロジーを一つの次数にしかもたない。偏屈層 の定義「偏屈 $t$ 構造と偏屈層」）。$\Phi(K)\cong P$ の偏屈コホモロジーは次数 $0$ だけなので、$i\ne0$ で $\Phi(\mathcal H^i(K))=0$、したがって $\mathcal H^i(K)=0$ であり、$K\cong\mathcal H^0(K)\in\mathcal A$ である。$\square$
$\mathrm{Sol}$ は反変なので、$\mathcal D$ 加群の単射は偏屈層の全射に、全射は単射に対応する。$\mathcal D$ 加群の単純対象（既約な正則ホロノミック加群）は単純な偏屈層に対応し、$X$ が代数多様体の解析化なら、それは交叉コホモロジー複体（交叉コホモロジー）である（偏屈層 の注意「IC層と分解定理」）。
複素平面の上の計算
この節では $X=\mathbb C$（座標 $z$）、$U=\mathbb C^\times$、$j\colon U\hookrightarrow\mathbb C$、$i\colon\{0\}\hookrightarrow\mathbb C$ とし、$a\in\mathbb C$ について
$$
\mathcal M_a:=\mathcal D/\mathcal D(z\partial-a)
$$
とおく。$1$ の類を $u_a$ と書くと、$\mathcal M_a$ は「$z\partial u_a=au_a$」という一つの方程式で定まる加群である。主表象は $z\xi$ なので、特性多様体は零切断と原点の余接空間の和で、$\mathcal M_a$ はホロノミックである（D加群 の命題「直線上の例の特性多様体」と同じ計算）。方程式 $zu'=au$ は Euler の方程式で、原点は正則特異点である（正則特異点 の例「Euler 系と Euler の方程式」）。したがって $\mathcal M_a$ は正則ホロノミックである。
$L_a$ を $U$ 上の局所系で、局所的に $z^a$ の定数倍からなるもの（$z^a=e^{a\log z}$）とする。原点のまわりを正の向きに一周するモノドロミーは $e^{2\pi ia}$ 倍である（局所系 の命題「乗法群上の冪関数の局所系」）。
- $a\notin\mathbb Z_{\ge0}$ なら $\mathrm{Sol}(\mathcal M_a)\cong j_!L_a$ である。
- $m\in\mathbb Z_{\ge0}$ なら $\mathcal M_m\cong\mathcal M_0$ であり、完全三角形
$$ \mathbb C_X\to\mathrm{Sol}(\mathcal M_0)\to i_*\mathbb C[-1]\xrightarrow{+1} $$
がある。とくに $\mathcal H^0\mathrm{Sol}(\mathcal M_0)=\mathbb C_X$、$\mathcal H^1\mathrm{Sol}(\mathcal M_0)=i_*\mathbb C$ である。 - すべての $a$ について $\mathrm{Sol}(\mathcal M_a)[1]$ は偏屈層であり、$\mathrm{Sol}(\mathcal M_a)$ 自身は偏屈層でない。
$\mathrm{Sol}(\mathcal M_a)=[\mathcal O\xrightarrow{z\partial-a}\mathcal O]$ である。
1：$U$ の上では、点 $z_0\ne0$ の小さな円板で $zu'-au=f$ は $u'=\frac azu+\frac fz$ と書け、正則な係数の線形常微分方程式としてつねに解けるので $\mathcal H^1|_U=0$、解の層は $L_a$ である。原点での茎は収束冪級数環 $\mathbb C\{z\}$ の上の写像 $\sum c_kz^k\mapsto\sum(k-a)c_kz^k$ の核と余核である。$a\notin\mathbb Z_{\ge0}$ なら $|k-a|$ は $0$ から離れているので、逆写像 $\sum b_kz^k\mapsto\sum\frac{b_k}{k-a}z^k$ も収束冪級数を収束冪級数に写し、核も余核も $0$ である。よって $\mathcal H^1=0$ で、$\mathcal H^0$ は $U$ への制限が $L_a$、原点の茎が $0$ の層、すなわち $j_!L_a$ である（$j_!j^{-1}\mathcal H^0\to\mathcal H^0$ が茎ごとに同型）。
2：要点は、$\varphi(u_0):=\partial^mu_m$ と $\psi(u_m):=\frac1{m!}z^mu_0$ が互いに逆な $\mathcal D$ 準同型を定めることと、完全列 $0\to\mathcal D/\mathcal Dz\xrightarrow{\cdot\partial}\mathcal M_0\to\mathcal D/\mathcal D\partial\to0$ に $\mathrm{Sol}$ を当てることである。
詳しい証明を開く
同型。$[z\partial,\partial]=-\partial$、$[z\partial,z]=z$ から $z\partial\cdot\partial^m=\partial^m(z\partial-m)$、$z\partial\cdot z^m=z^m(z\partial+m)$ である。よって $z\partial(\partial^mu_m)=\partial^m(z\partial-m)u_m=0$、$(z\partial-m)(z^mu_0)=z^m\,z\partial\,u_0=0$ で、$\varphi,\psi$ は well-defined である。また $z^m\partial^m z\partial=z^m(z\partial^m+m\partial^{m-1})\partial$ から $z^{m+1}\partial^{m+1}=z^m\partial^m(z\partial-m)$、同様に $\partial^{m+1}z^{m+1}=\partial^m(z\partial+1)z^m=\partial^mz^m(z\partial+m+1)$ なので、帰納法により $z^m\partial^m=\prod_{k=0}^{m-1}(z\partial-k)$、$\partial^mz^m=\prod_{k=1}^m(z\partial+k)$ である。$z\partial u_m=mu_m$、$z\partial u_0=0$ から $\varphi\psi(u_m)=\frac1{m!}z^m\partial^mu_m=u_m$、$\psi\varphi(u_0)=\frac1{m!}\partial^mz^mu_0=u_0$ を得る。
完全列。右から $\partial$ を掛ける写像は $\mathcal Dz$ を $\mathcal Dz\partial$ に写すので $\mathcal D/\mathcal Dz\to\mathcal D/\mathcal Dz\partial$ を定め、$\mathcal D$ に零因子がないので単射で、余核は $\mathcal D/\mathcal D\partial$ である。$\mathrm{Sol}$ は反変なので、完全三角形 $\mathrm{Sol}(\mathcal D/\mathcal D\partial)\to\mathrm{Sol}(\mathcal M_0)\to\mathrm{Sol}(\mathcal D/\mathcal Dz)\xrightarrow{+1}$ を得る。$\mathrm{Sol}(\mathcal D/\mathcal D\partial)=[\mathcal O\xrightarrow{\partial}\mathcal O]$ は、円板の上で正則関数がつねに原始関数をもつので $\mathbb C_X$ に擬同型である。$\mathrm{Sol}(\mathcal D/\mathcal Dz)=[\mathcal O\xrightarrow{z}\mathcal O]$ は単射で、余核は $\mathcal O/z\mathcal O=i_*\mathbb C$ なので、$i_*\mathbb C[-1]$ に擬同型である。コホモロジーの長完全列で、$\mathcal H^0(i_*\mathbb C[-1])=0$ から $\mathcal H^0\mathrm{Sol}(\mathcal M_0)=\mathbb C_X$、$\mathcal H^1\mathrm{Sol}(\mathcal M_0)=i_*\mathbb C$ を得る。
3：$a\notin\mathbb Z_{\ge0}$ なら $j_!L_a[1]$ は偏屈層である（偏屈層 の節「複素平面の上の偏屈層」の最後の段落）。$a\in\mathbb Z_{\ge0}$ なら、2 の三角形を $[1]$ ずらした $\mathbb C_X[1]\to\mathrm{Sol}(\mathcal M_0)[1]\to i_*\mathbb C\xrightarrow{+1}$ の両端は偏屈層で（偏屈層 の命題「複素平面の上の偏屈層の例」）、t 構造の心は拡大で閉じているので（BBD82 1.3.6、p. 31）真ん中も偏屈層である。どの場合も $\mathcal H^0\mathrm{Sol}(\mathcal M_a)|_U=L_a\ne0$ なので、$U$ の上で支持条件（$\mathcal H^k=0$、$k>-1$）を破り、$\mathrm{Sol}(\mathcal M_a)$ は偏屈層でない。$\square$
この計算は、thm-rh-main の偏屈性の主張と次数のずらし $[n]$（ここでは $n=1$）を具体的に確かめるものである。
- $a,b\notin\mathbb Z$ について、$\mathcal M_a\cong\mathcal M_b$ と $a-b\in\mathbb Z$ は同値である。
- $\mathcal M_{-1}$ と $\mathcal M_0$ は同型でない。両者の解の層は $U$ の上ではともに自明な局所系である。
1：thm-rh-main により $\mathrm{Sol}$ は同値なので、$\mathcal M_a\cong\mathcal M_b$ は $j_!L_a\cong j_!L_b$ と同値である。$j_!L\cong j_!L'$ なら $U$ に制限して $L\cong L'$、逆は $j_!$ を当てればよい。$L_a\cong L_b$ は $a-b\in\mathbb Z$ と同値である（局所系 の命題「乗法群上の冪関数の局所系」の 3）。
2：prop-rh-euler-sol から $\mathcal H^0\mathrm{Sol}(\mathcal M_{-1})=j_!\mathbb C_U$ の原点の茎は $0$、$\mathcal H^0\mathrm{Sol}(\mathcal M_0)=\mathbb C_X$ の原点の茎は $\mathbb C$ である。同型な加群の解の複体は同型なので、両者は同型でない。$U$ の上では $z^{-1}$ と $1$ が解で、どちらの局所系も自明である。$\square$
2 は、$U$ の上のモノドロミーだけでは原点を含めた加群が決まらないことを示している。原点での振る舞いの違いは、偏屈層 $j_!\mathbb C_U[1]$ と $\mathrm{Sol}(\mathcal M_0)[1]$ の違いとして、Riemann–Hilbert 対応で正確に読み取れる。
条件を外したときの反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 無限遠での正則性（代数的な加群） | $\mathbb A^1$ 上の $\mathcal D/\mathcal D(\partial-1)$ と $\mathcal D/\mathcal D\partial$ | 解析化した解の複体が同型なら代数的な加群も同型であること |
| ホロノミック性 | $\mathcal M=\mathcal D_X$（$X=\mathbb C$） | $\mathrm{Sol}(\mathcal M)$ が構成可能であること |
| 次数のずらし $[n]$ | $\mathcal M=\mathcal O_X$（$X=\mathbb C$） | $\mathrm{Sol}(\mathcal M)$ が偏屈層であること |
1 行目。$X=\mathbb A^1=\operatorname{Spec}\mathbb C[z]$ の上の代数的な $\mathcal D$ 加群 $\mathcal N_1:=\mathcal D/\mathcal D(\partial-1)$ と $\mathcal N_0:=\mathcal D/\mathcal D\partial\cong\mathcal O$ を考える。$\mathcal N_1$ の大域切断は $1$ の類 $v$ について $\mathbb C[z]v$ で、$\partial(fv)=(f'+f)v$ である。$\mathcal D$ 準同型 $\mathcal N_0\to\mathcal N_1$ は $1$ の像 $fv$ で決まり、$\partial(fv)=0$、すなわち $f'+f=0$ を満たす多項式 $f$ は $0$ だけなので、$\operatorname{Hom}(\mathcal N_0,\mathcal N_1)=0$ であり、両者は同型でない。一方、解析化した $\mathbb C$ の上では、$\mathrm{Sol}(\mathcal N_1)=[\mathcal O\xrightarrow{\partial-1}\mathcal O]$ の解の層は $\mathbb C\,e^z$、余核は局所的に $0$ なので $\mathrm{Sol}(\mathcal N_1)\cong\mathbb C_X\cong\mathrm{Sol}(\mathcal N_0)$ である。$w=1/z$ と置くと方程式 $u'=u$ は $du/dw=-w^{-2}u$ になり、無限遠は不確定特異点である（正則特異点 の例「反例：2 位の極をもつ不確定特異点」）。この例は、代数的な加群を解析化した解の複体で調べるには、無限遠での振る舞いも含めた正則性の条件が要ることを示している。これは 接続 の注意「Riemann–Hilbert対応の出典と正則特異点」の $d+dt$ の例の $\mathcal D$ 加群版である。
2 行目。$\mathrm{Sol}(\mathcal D_X)=\mathcal Hom_{\mathcal D}(\mathcal D,\mathcal O)=\mathcal O_X$ で、茎は無限次元なので構成可能でない。$\mathcal D_X$ の特性多様体は $T^*X$ 全体（$2$ 次元）で、$\mathcal D_X$ はホロノミックでない。
3 行目。$\mathrm{Sol}(\mathcal O_X)=\mathbb C_X$ はずらさない定数層で、偏屈層 の命題「複素平面の上の偏屈層の例」により偏屈層でない。$\mathbb C_X[1]$ は偏屈層である。
補足
順像。台が固有な正則ホロノミック加群の順像はふたたび正則ホロノミック加群をコホモロジーにもつ（Kas84 Theorem 8.1、p. 359）。Kas84 はこれを、解の側の構成可能な複体の固有な順像に帰着させて証明している。こうして 分解定理 のような構成可能層の側の結果と、D 加群の側の構成を行き来できる。Springer対応 で使う Lie 環上の複体は、Harish-Chandra の微分方程式系の解の複体として解釈できる（Spr82 4.12 の後、p. 269）。
記号の流儀。Kas84 は解の関手（反変）と de Rham 関手 $\mathrm{DR}_X(\mathcal M)=R\mathcal Hom_{\mathcal D}(\mathcal O_X,\mathcal M)$（共変）の両方を用い、主定理を両方の形で述べている（同 0.2–0.4、pp. 319–320、§8）。de Rham 複体を次数 $-n$ から $0$ に置く D加群 の流儀では、$\mathrm{DR}(\mathcal O_X)=\mathbb C_X[n]$ がそのまま偏屈層になる。
関連項目
参考文献
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