Gauss和

$p\nmid b$ のとき、$a$ が法 $p$ の剰余類を一巡すると $c:=ab$ も一巡する。$\chi(a)=\chi(c)\chi(b)^{-1}=\chi(c)\overline{\chi(b)}$ なので
$$ g_b(\chi)=\sum_{c}\chi(c)\overline{\chi(b)}\zeta^{c}=\overline{\chi(b)}\,g(\chi) $$
である。$p\mid b$ のとき、左辺は $\sum_a\chi(a)$ で、$\chi$ は自明でないので Dirichlet指標 の定理「指標の個数と直交関係」の 3（$\psi=\chi_0$）により $0$ である。右辺も $\chi(b)=0$ なので $0$ である。$\square$

1．複素共役をとると $\overline{g(\chi)}=\sum_a\overline{\chi(a)}\zeta^{-a}=g_{-1}(\overline\chi)$ である。$\overline\chi$ も自明でないので prop-gsm-shift により $g_{-1}(\overline\chi)=\chi(-1)g(\overline\chi)$ であり、$\chi(-1)=\pm1$ なので $g(\overline\chi)=\chi(-1)\overline{g(\chi)}$ である。
2．和 $S:=\sum_{b=0}^{p-1}\lvert g_b(\chi)\rvert^2$ を 2 通りに計算する。
一方で、prop-gsm-shift により $\lvert g_b(\chi)\rvert^2=\lvert\chi(b)\rvert^2\lvert g(\chi)\rvert^2$ であり、$\lvert\chi(b)\rvert^2$ は $p\nmid b$ なら $1$、$p\mid b$ なら $0$ なので、$S=(p-1)\lvert g(\chi)\rvert^2$ である。
他方で、$\lvert g_b\rvert^2=g_b\overline{g_b}$ を展開して和の順序を入れ替えると
$$ S=\sum_{a=0}^{p-1}\sum_{c=0}^{p-1}\chi(a)\overline{\chi(c)}\sum_{b=0}^{p-1}\zeta^{(a-c)b} $$
である。1の冪根 の定理「1 の $n$ 乗根の冪の和」により、内側の和は $a=c$ なら $p$、$a\neq c$ なら $0$ である。よって $S=p\sum_a\lvert\chi(a)\rvert^2=p(p-1)$ である。
2 つを比べて $\lvert g(\chi)\rvert^2=p$ を得る。
3．1 と 2 により $g(\chi)g(\overline\chi)=\chi(-1)g(\chi)\overline{g(\chi)}=\chi(-1)\lvert g(\chi)\rvert^2=\chi(-1)p$ である。$\square$

$\zeta^p=1$ と $\zeta^{p-1}=-(1+\zeta+\dots+\zeta^{p-2})$ により、$\mathbb Z[\zeta]$ の元はすべて $\sum_{i=0}^{p-2}c_i\zeta^i$（$c_i\in\mathbb Z$）と書ける。$\zeta$ の $\mathbb Q$ 上の最小多項式は次数 $p-1$ の円分多項式 $\Phi_p$ である（円分体 の命題「素数冪の円分体」の 1 により $\Phi_p$ は $\mathbb Q$ 上既約）ので、$1,\zeta,\dots,\zeta^{p-2}$ は $\mathbb Q$ 上 1 次独立である。$n=q\sum_{i=0}^{p-2}c_i\zeta^i$ なら、$(qc_0-n)+\sum_{i\ge1}qc_i\zeta^i=0$ の係数を比べて $n=qc_0$ である。$\square$

$g:=g\bigl(\left(\frac\cdot p\right)\bigr)=\sum_{a=0}^{p-1}\left(\frac ap\right)\zeta^a\in\mathbb Z[\zeta]$、$p^*:=\left(\frac{-1}p\right)p$ とおく。thm-gsm-absolute の 3 により $g^2=p^*$ である。
段 1（$g^q$ を Euler の規準で計算する）．$q$ は奇数なので $g^q=g\cdot(g^2)^{(q-1)/2}=g\,(p^*)^{(q-1)/2}$ である。$q\nmid p^*$ なので、平方剰余 の定理「Eulerの規準」により $(p^*)^{(q-1)/2}\equiv\left(\frac{p^*}q\right)\pmod q$（整数の合同）であり、したがって $\mathbb Z[\zeta]$ の中で
$$ g^q\equiv\left(\frac{p^*}q\right)g\pmod q $$
である。
段 2（$g^q$ を和のまま計算する）．$0< k< q$ なら二項係数 $\binom qk$ は $q$ で割り切れるので、$(\alpha+\beta)^q\equiv\alpha^q+\beta^q\pmod q$ であり、項の個数についての帰納法で有限和にも成り立つ。$q$ は奇数なので $\left(\frac ap\right)^q=\left(\frac ap\right)$ であり、
$$ g^q\equiv\sum_{a=0}^{p-1}\left(\frac ap\right)\zeta^{aq}=g_q\Bigl(\left(\tfrac\cdot p\right)\Bigr)=\left(\frac qp\right)g\pmod q $$
である。最後の等号は prop-gsm-shift による（2 次の指標は実数値で $\overline\chi=\chi$）。
段 3（比べる）．段 1 と段 2 から $\left(\frac{p^*}q\right)g\equiv\left(\frac qp\right)g\pmod q$ である。両辺に $g$ を掛けて $g^2=p^*$ を使うと
$$ \left(\frac{p^*}q\right)p^*\equiv\left(\frac qp\right)p^*\pmod q $$
となる。両辺は整数なので、lem-gsm-integer により $q$ は $p^*\bigl(\left(\frac{p^*}q\right)-\left(\frac qp\right)\bigr)$ を割り切る。$q\nmid p^*$ なので $q$ は $\left(\frac{p^*}q\right)-\left(\frac qp\right)\in\{0,\pm2\}$ を割り切り、$q\ge3$ なのでこれは $0$ である。よって $\left(\frac{p^*}q\right)=\left(\frac qp\right)$ である。
段 4（$p^*$ をほどく）．Legendre 記号の乗法性と、Euler の規準から従う $\left(\frac{-1}q\right)=(-1)^{(q-1)/2}$（平方剰余 の系「−1 が平方剰余となる素数」）により
$$ \left(\frac{p^*}q\right)=\left(\frac{-1}q\right)^{\frac{p-1}2}\left(\frac pq\right)=(-1)^{\frac{q-1}2\cdot\frac{p-1}2}\left(\frac pq\right) $$
である。段 3 と合わせ、両辺に $\left(\frac pq\right)=\pm1$ を掛けて主張を得る。$\square$

1．$a\neq0,1$ の $p-2$ 個の項がどれも $1$ である。
2．$J(\chi_0,\chi)=\sum_{a\neq0}\chi(1-a)=\sum_{c\neq1}\chi(c)$（$c=1-a$）であり、$\sum_c\chi(c)=0$ から $-\chi(1)=-1$ である。$J(\chi,\chi_0)$ も $a\leftrightarrow1-a$ で同じ和になる。
3．$a\neq0,1$ について $\chi(a)\overline\chi(1-a)=\chi\bigl(a(1-a)^{-1}\bigr)$ である（逆元は法 $p$ で考える）。$a\mapsto c:=a(1-a)^{-1}$ は $\mathbb F_p\setminus\{0,1\}$ から $\mathbb F_p\setminus\{0,-1\}$ への全単射である（逆写像は $c\mapsto c(1+c)^{-1}$）。よって $J(\chi,\overline\chi)=\sum_{c\neq0,-1}\chi(c)=0-\chi(-1)$ である。
4．積を展開し、$t:=a+b$ ごとにまとめると
$$ g(\chi)g(\lambda)=\sum_{a,b}\chi(a)\lambda(b)\zeta^{a+b}=\sum_{t=0}^{p-1}\zeta^t\sum_{a+b\equiv t}\chi(a)\lambda(b) $$
である。$t=0$ の内側の和は $\sum_a\chi(a)\lambda(-a)=\lambda(-1)\sum_a(\chi\lambda)(a)=0$ である（$\chi\lambda$ は自明でない）。$t\neq0$ では $a=tu$、$b=t(1-u)$ と置き換えると、$u$ が一巡するとき $(a,b)$ は $a+b\equiv t$ の組を一巡するので、内側の和は $\sum_u\chi(tu)\lambda(t(1-u))=(\chi\lambda)(t)J(\chi,\lambda)$ である。よって
$$ g(\chi)g(\lambda)=J(\chi,\lambda)\sum_{t\neq0}(\chi\lambda)(t)\zeta^t=J(\chi,\lambda)\,g(\chi\lambda) $$
である。thm-gsm-absolute により $g(\chi\lambda)\neq0$ なので割ってよく、絶対値は $\sqrt p\cdot\sqrt p/\sqrt p=\sqrt p$ である。$\square$

原始根 の定理「素数を法とする原始根の存在」により、法 $p$ の原始根 $r$ がある。$4\mid p-1$ なので、$\chi(r^k):=i^k$ は well-defined な法 $p$ の指標で（$r^{p-1}\equiv1$ と $i^{p-1}=1$）、位数は $4$ である。$\chi$ の値は $0,\pm1,\pm i$ なので、$J(\chi,\chi)$ は Gauss 整数 $a+bi$（$a,b\in\mathbb Z$）である。$\chi$ も $\chi\cdot\chi=\chi^2$ も自明でない（$\chi^2(r)=-1$）ので、thm-gsm-jacobi の 4 により $a^2+b^2=\lvert J(\chi,\chi)\rvert^2=p$ である。$\square$

1．$\gcd(b,m)=1$ のときは prop-gsm-shift と同じく、$c:=ab$ と置き換えて $\tau_b(\chi)=\overline{\chi(b)}\tau(\chi)$ を得る。
$d:=\gcd(b,m)>1$ とする。右辺は $\chi(b)=0$ なので $0$ であり、$\tau_b(\chi)=0$ を示せばよい。$\chi$ は原始指標なので、$m$ の真の約数 $m/d$ の法では定まらない。すなわち、$\gcd(y,m)=1$、$y\equiv1\pmod{m/d}$ で $\chi(y)\neq1$ となる $y$ がある。$y-1$ は $m/d$ の倍数で $b$ は $d$ の倍数なので、$(y-1)b$ は $m$ の倍数であり、$\zeta_m^{ayb}=\zeta_m^{ab}$ である。$a$ が法 $m$ の剰余類を一巡すると $ay$ も一巡するので
$$ \tau_b(\chi)=\sum_{a}\chi(ay)\zeta_m^{ayb}=\chi(y)\sum_a\chi(a)\zeta_m^{ab}=\chi(y)\,\tau_b(\chi) $$
であり、$\chi(y)\neq1$ から $\tau_b(\chi)=0$ である。
2．$S:=\sum_{b=1}^m\lvert\tau_b(\chi)\rvert^2$ を 2 通りに計算する。1 により $S=\sum_b\lvert\chi(b)\rvert^2\lvert\tau(\chi)\rvert^2=\varphi(m)\lvert\tau(\chi)\rvert^2$ である。他方、thm-gsm-absolute の証明と同じく展開すると、$\sum_{b=1}^m\zeta_m^{(a-c)b}$ は $a\equiv c\pmod m$ なら $m$、それ以外は $0$ なので、$S=m\sum_{a=1}^m\lvert\chi(a)\rvert^2=m\varphi(m)$ である。よって $\lvert\tau(\chi)\rvert^2=m$ である。$\square$