Morreyの不等式

平行移動して $x=0$ としてよい。このとき $0\in Q$ で $Q$ は凸なので、$z\in Q$、$0\le t\le1$ について $tz\in Q$ である。$t\mapsto u(tz)$ に 微積分学の基本定理 を使うと
$$ u(z)-u(0)=\int_0^1z\cdot\nabla u(tz)\,dt,\qquad|u(z)-u(0)|\le\sqrt n\,\ell\int_0^1|\nabla u(tz)|\,dt $$
である（$|z|=|z-0|\le\sqrt n\,\ell$）。$z$ について $Q$ 上で平均し、Fubiniの定理（Tonelli の形）で積分の順序を入れ替えると
$$ |u_Q-u(0)|\le\frac1{|Q|}\int_Q|u(z)-u(0)|\,dz\le\frac{\sqrt n\,\ell}{\ell^n}\int_0^1\Bigl(\int_Q|\nabla u(tz)|\,dz\Bigr)dt $$
である。$0< t\le1$ では変数変換 $w=tz$ により、$tQ:=\{tz:z\in Q\}\subset Q$ と $|tQ|=t^n\ell^n$、指数 $p$ と $p':=\frac p{p-1}$ の Hölderの不等式（$p=\infty$ では $p'=1$）から
$$ \int_Q|\nabla u(tz)|\,dz=t^{-n}\int_{tQ}|\nabla u(w)|\,dw\le t^{-n}\|\nabla u\|_{L^p(Q)}\,(t^n\ell^n)^{1-1/p}=t^{-n/p}\,\ell^{\,n-n/p}\,\|\nabla u\|_{L^p(Q)} $$
となる。$\frac np<1$ なので $\int_0^1t^{-n/p}\,dt=\frac1{1-n/p}=\frac1\alpha$ であり、
$$ |u_Q-u(0)|\le\sqrt n\,\ell^{1-n}\cdot\ell^{\,n-n/p}\cdot\frac1\alpha\,\|\nabla u\|_{L^p(Q)}=\frac{\sqrt n}\alpha\,\ell^{\alpha}\,\|\nabla u\|_{L^p(Q)} $$
を得る。$\square$

段 1：滑らかな場合．$v$ を $\mathbb R^n$ 上の $C^1$ 級関数で $\nabla v\in L^p$ を満たすものとし、$x\ne y$ とする。$\ell:=|x-y|$、$c_i:=\min(x_i,y_i)$ として $Q:=\prod_i[c_i,c_i+\ell]$ とおくと、$|x_i-y_i|\le\ell$ なので $x,y\in Q$ である。lem-morrey-cube を $x$ と $y$ に当てて三角不等式を使うと
$$ |v(x)-v(y)|\le|v(x)-v_Q|+|v_Q-v(y)|\le\frac{2\sqrt n}\alpha\,|x-y|^{\alpha}\,\|\nabla v\|_p $$
である（これを (i) と呼ぶ）。また $v\in L^p$ なら、$x$ を含む辺の長さ $1$ の立方体 $Q_1$ をとると、$|Q_1|=1$ と Hölder の不等式から $|v_{Q_1}|\le\|v\|_{L^1(Q_1)}\le\|v\|_{L^p(Q_1)}$ なので
$$ |v(x)|\le\|v\|_p+\frac{\sqrt n}\alpha\,\|\nabla v\|_p $$
である（これを (ii) と呼ぶ）。
段 2：軟化．$u\in W^{1,p}(\mathbb R^n)$ とする。軟化子 $\varphi_\varepsilon$（非負、$\int\varphi_\varepsilon=1$、台が半径 $\varepsilon$ の球に入る $C_c^\infty$ 関数）をとり、$u_\varepsilon:=\varphi_\varepsilon*u$ とおく。$u_\varepsilon$ は $C^\infty$ 級で、$\nabla u_\varepsilon=\varphi_\varepsilon*\nabla u$ である（Bre11 Lemma 9.1、p. 266）。Young の不等式（Bre11 Theorem 4.15、p. 104）から $\|u_\varepsilon\|_p\le\|u\|_p$、$\|\nabla u_\varepsilon\|_p\le\|\nabla u\|_p$ である。よって $u_\varepsilon$ は (i)(ii) を、右辺の $u_\varepsilon$ を $u$ に替えた形で満たす。
一方、$u$ は局所可積分なので、$k\to\infty$ で $u_{1/k}\to u$ が各有界集合上で $L^1$ 収束する（Bre11 Theorem 4.22、p. 109 を、$u$ に大きな球の指示関数を掛けたものに当てる）。半径 $1,2,3,\dots$ の球について順に部分列をとり、対角線の部分列をとれば、測度 $0$ の集合 $Z$ の外のすべての点で $u_{\varepsilon_k}(x)\to u(x)$ となる列 $\varepsilon_k\to0$ がある。
段 3：極限．$A:=\mathbb R^n\setminus Z$ とする。$x,y\in A$ について (i) で $k\to\infty$ とすると
$$ |u(x)-u(y)|\le\frac{2\sqrt n}\alpha\,|x-y|^{\alpha}\,\|\nabla u\|_p $$
であり、同様に (ii) から $|u(x)|\le\|u\|_p+\frac{\sqrt n}\alpha\|\nabla u\|_p$ である。$A$ は $\mathbb R^n$ で稠密で、$u|_A$ は $A$ 上で一様連続なので、$\mathbb R^n$ 上の連続関数 $\tilde u$ にただ 1 通りに延長される（$x\in\mathbb R^n$ に収束する $A$ の点列 $x_k$ をとり $\tilde u(x):=\lim u(x_k)$ とおく。極限は上の不等式により存在し、点列のとり方によらない）。2 つの不等式は極限で保たれるので、すべての $x,y$ で成り立つ。$\tilde u=u$ は $A$ 上で成り立つので、ほとんど至るところ成り立つ。
連続な代表の一意性は、ほとんど至るところ等しい 2 つの連続関数は等しいこと（差が $0$ でない点の近傍は正の測度をもつ）による。$\square$

前半は thm-morrey-main の 2 つの不等式を足したものである（$\|u\|_p$、$\|\nabla u\|_p$ は $\|u\|_{W^{1,p}}$ の定数倍以下）。後半：$p<\infty$ なので、$C_c^\infty(\mathbb R^n)$ の列 $u_k$ で $u_k\to u$ が $W^{1,p}(\mathbb R^n)$ で成り立つものがある（Bre11 Theorem 9.2、p. 265）。前半を $u_k-u$ に当てると $\sup|u_k-\tilde u|\to0$ である。$\tau>0$ に対して $\sup|u_k-\tilde u|<\tau$ となる $k$ を 1 つとると、$u_k$ の台の外では $|\tilde u|<\tau$ である。$\square$

$\alpha< \gamma< \beta$ となる $\gamma$ をとり、$\eta\in C_c^\infty(\mathbb R^n)$ を $|x|\le1$ で $\eta=1$、$|x|\ge2$ で $\eta=0$、$0\le\eta\le1$ となるようにとる。$u(x):=|x|^{\gamma}\eta(x)$ とおく。$u$ は連続で台がコンパクトなので $u\in L^p$ であり、$x\ne0$ では $C^1$ 級で $|\nabla u(x)|\le\gamma|x|^{\gamma-1}+C$ である（$C$ は $\eta$ による）。極座標で
$$ \int_{|x|<2}|x|^{(\gamma-1)p}\,dx=\omega_{n-1}\int_0^2r^{(\gamma-1)p+n-1}\,dr<\infty $$
である（$\omega_{n-1}$ は単位球面の面積。$(\gamma-1)p+n>0$ は $\gamma>1-\frac np=\alpha$ と同値）。よって $x\ne0$ での古典的な勾配 $g$ は $L^p$ に属する。
$g$ が弱勾配であることを確かめる。$\psi\in C_c^\infty(\mathbb R^n)$ と $0<\delta<1$ について、$|x|>\delta$ の上で部分積分すると
$$ \int_{|x|>\delta}u\,\partial_i\psi\,dx=-\int_{|x|>\delta}g_i\,\psi\,dx+\int_{|x|=\delta}u\,\psi\,\nu_i\,dS $$
である（発散定理。$\nu$ は領域 $|x|>\delta$ の外向き、すなわち原点を向く単位法線）。最後の項の絶対値は $\delta^{\gamma}\sup|\psi|\cdot\omega_{n-1}\delta^{n-1}$ 以下で（$n=1$ では 2 点での値の和 $2\delta^\gamma\sup|\psi|$ 以下で）、$\delta\to0$ で $0$ に近づく。$u$ と $g$ は局所可積分なので、$\delta\to0$ として $\int u\,\partial_i\psi=-\int g_i\psi$ を得る。したがって $u\in W^{1,p}(\mathbb R^n)$ である。
$u$ は連続なので $\tilde u=u$ であり、$0<|x|\le1$ では $|u(x)-u(0)|/|x|^{\beta}=|x|^{\gamma-\beta}\to\infty$（$x\to0$）である。$\square$

$0<|x|<\frac14$ で $|\nabla u(x)|=\kappa\bigl(\log\frac1{|x|}\bigr)^{\kappa-1}\frac1{|x|}$ なので、$s=\log\frac1r$ と置換して
$$ \int_{|x|<1/4}|\nabla u|^n\,dx=\omega_{n-1}\kappa^n\int_0^{1/4}\Bigl(\log\frac1r\Bigr)^{n(\kappa-1)}\frac{dr}r=\omega_{n-1}\kappa^n\int_{\log4}^\infty s^{n(\kappa-1)}\,ds $$
である。$n(\kappa-1)<-1$ は $\kappa<1-\frac1n$ と同値なので、これは有限である。$\frac14\le|x|\le\frac12$ では $u$ は滑らかで、$u$ 自身の $L^n$ ノルムも $\int_0^{1/4}(\log\frac1r)^{n\kappa}r^{n-1}dr<\infty$ から有限である。弱勾配であることは prf-morrey-sharp と同じ部分積分で確かめられる。球面 $|x|=\delta$ の上の項は $(\log\frac1\delta)^{\kappa}\sup|\psi|\,\omega_{n-1}\delta^{n-1}$ 以下で、$n\ge2$ なので $\delta\to0$ で $0$ に近づく。$x\to0$ で $u(x)\to\infty$ であり、$u$ と等しい関数も原点の任意の近傍の正の測度の集合で任意に大きな値をとるので、連続な代表はない。$\square$