Egorovの定理

同義語：エゴロフの定理Egoroffの定理Egorov's theoremEgoroff's theorem

概要

前提知識: 測度, Lebesgue積分, 各点収束, 一様収束

関数列の各点収束は、点ごとに収束の速さが違ってよいので、一様収束よりずっと弱い。$[0,1]$ 上の $x^n$ は各点で収束するが、点 $1$ の近くでは収束がいくらでも遅くなり、一様収束しない。ところが点 $1$ の近くの小さな区間 $(1-\delta,1]$ を取り除くと、残りの $[0,1-\delta]$ では一様収束する。
Egorov の定理 は、これが測度有限の空間では一般に起こることを主張する。測度有限の空間上の可測関数の列がほとんどいたるところ収束するなら、測度がいくらでも小さい集合を取り除けば、残りで一様収束する。「ほとんどいたるところの各点収束は、ほとんど一様収束である」と言ってもよい。可測関数は「ほとんど連続」であり、各点収束する列は「ほとんど一様収束」する、という Littlewood の 3 原理の 3 番目にあたる（Tao11 p. 75）。
この記事では Egorov の定理を証明し、σ-有限な測度や $\mathbb{R}^d$ の Lebesgue測度への拡張と、測度収束・Vitali の収束定理との関係を述べる。

定義

以下、$(X,\mathcal{S},\mu)$ を測度空間とし、関数は $X$ 上の $\mathcal{S}$-可測な実数値（または複素数値）関数とする。

ほとんどいたるところの収束とほとんど一様収束

$f_1,f_2,\ldots$ と $f$ を可測関数とする。

$f_n$ が $f$ に ほとんどいたるところ収束 するとは、$\mu(N)=0$ となる $N\in\mathcal{S}$ があって、$x\notin N$ では $f_n(x)\to f(x)$ となることをいう。
$f_n$ が $f$ に ほとんど一様収束 するとは、任意の $\varepsilon>0$ に対し $\mu(A)<\varepsilon$ となる $A\in\mathcal{S}$ があって、$X\setminus A$ の上で $f_n$ が $f$ に一様収束する、すなわち $\sup_{x\in X\setminus A}\lvert f_n(x)-f(x)\rvert\to0$ となることをいう。
$f_n$ が $f$ に 測度収束 するとは、任意の $\eta>0$ について $\mu(\{x\mid\lvert f_n(x)-f(x)\rvert\ge\eta\})\to0$ となることをいう。

「ほとんど一様収束」は「ほとんどいたるところで一様収束」（零集合を除いて一様収束）とは違う。除く集合の測度は $0$ でなくてよく、ただ $\varepsilon$ ごとにいくらでも小さくとれればよい。

Egorovの定理

$\mu(X)<\infty$ とし、可測関数の列 $(f_n)$ が可測関数 $f$ にほとんどいたるところ収束するとする。このとき任意の $\varepsilon>0$ に対し、$\mu(A)<\varepsilon$ となる $A\in\mathcal{S}$ があって、$X\setminus A$ の上で $f_n$ は $f$ に一様収束する。すなわち $f_n$ は $f$ にほとんど一様収束する。

証明の考え方は次のとおりである。$m$ を固定すると、「ある $k\ge n$ で $f_k$ が $f$ から $1/m$ 以上ずれる点」の集合 $S_n(m)$ は $n$ について減少し、共通部分は収束しない点の集合（零集合）に含まれる。全体の測度が有限なので、測度の上からの連続性により $\mu(S_n(m))\to0$ となる。$m=1,2,\ldots$ ごとに $S_n(m)$ の測度を $\varepsilon/2^m$ 未満にする $n$ を選び、それらを合わせて捨てる。

$N\in\mathcal{S}$ を $\mu(N)=0$ で $x\notin N$ では $f_n(x)\to f(x)$ となる集合とする。正の整数 $m,n$ について
$$ S_n(m):=\bigcup_{k\ge n}\Bigl\{x\in X\Bigm|\lvert f_k(x)-f(x)\rvert\ge\frac1m\Bigr\} $$
とおく。$f_k-f$ は可測なので $S_n(m)\in\mathcal{S}$ であり、$S_1(m)\supset S_2(m)\supset\cdots$ である。$x\notin N$ なら、ある $n$ 以降のすべての $k$ で $\lvert f_k(x)-f(x)\rvert<1/m$ となるので $x\notin S_n(m)$ である。よって $\bigcap_nS_n(m)\subset N$ である。$\mu(S_1(m))\le\mu(X)<\infty$ なので、測度の記事の定理「測度の連続性」の 2（上からの連続性）により
$$ \lim_{n\to\infty}\mu(S_n(m))=\mu\Bigl(\bigcap_nS_n(m)\Bigr)\le\mu(N)=0 $$
である。
$\varepsilon>0$ を与える。各 $m$ について $\mu(S_{n_m}(m))<\varepsilon/2^{m+1}$ となる $n_m$ を選び、
$$ A:=N\cup\bigcup_{m\ge1}S_{n_m}(m) $$
とおく。$A\in\mathcal{S}$ であり、可算劣加法性から $\mu(A)\le0+\sum_m\varepsilon/2^{m+1}=\varepsilon/2<\varepsilon$ である。
$x\in X\setminus A$ とすると、各 $m$ について $x\notin S_{n_m}(m)$ なので、$k\ge n_m$ ならば $\lvert f_k(x)-f(x)\rvert<1/m$ である。$n_m$ は $x$ によらないので、$k\ge n_m$ ならば $\sup_{x\in X\setminus A}\lvert f_k(x)-f(x)\rvert\le1/m$ であり、$X\setminus A$ の上で $f_k\to f$ は一様収束である。$\square$

測度が有限であることは、$\mu(S_n(m))\to0$ を導く上からの連続性でだけ使われている。各項の集合 $\{\lvert f_k-f\rvert\ge1/m\}$ の測度が $0$ に近づくだけでは足りず、$k\ge n$ にわたる和集合 $S_n(m)$ の測度が小さくなることが要点である。
$f$ が $\pm\infty$ を値にとりうる拡張実数値関数でも、ほとんどいたるところ有限であれば、無限になる零集合を $N$ に含めて同じ証明が通る（Bre11 Theorem 4.29、p. 115 はこの形で述べている）。

ほとんど一様収束からの帰結

測度 $\mu$ は有限でなくてよい。$f_n$ が $f$ にほとんど一様収束するならば、次が成り立つ。

$f_n$ は $f$ にほとんどいたるところ収束する。
$f_n$ は $f$ に測度収束する。

1：各 $j$ について $\mu(A_j)<1/j$ で $X\setminus A_j$ の上で一様収束する $A_j$ をとり、$B:=\bigcap_jA_j$ とおく。$\mu(B)\le\mu(A_j)<1/j$ がすべての $j$ で成り立つので $\mu(B)=0$ である。$x\notin B$ なら、ある $j$ で $x\notin A_j$ であり、$f_n(x)\to f(x)$ である。
2：$\eta>0$、$\varepsilon>0$ を与え、$\mu(A)<\varepsilon$ で $X\setminus A$ の上で一様収束する $A$ をとる。ある $n_0$ 以降は $X\setminus A$ の上で $\lvert f_n-f\rvert<\eta$ なので、$\{\lvert f_n-f\rvert\ge\eta\}\subset A$ となり、その測度は $\varepsilon$ 未満である。$\square$

thm-egorov-main と合わせると、測度有限の空間では「ほとんどいたるところ収束」と「ほとんど一様収束」は同値であり、どちらも測度収束を導く。測度収束からほとんどいたるところ収束は従わない（ex-egorov-counterexamples の 3 行目）。

σ-有限な測度への拡張

$\mu(X)=\infty$ のときは、thm-egorov-main の結論は一般に成り立たない（ex-egorov-counterexamples の 1 行目）。しかし、有限の測度の部分に分けて考えれば、「局所的に」一様収束させることができる。

σ-有限な測度でのEgorovの定理

$X_1\subset X_2\subset\cdots$ を $\bigcup_jX_j=X$、$\mu(X_j)<\infty$ となる $\mathcal{S}$ の元の列とし、可測関数の列 $(f_n)$ が可測関数 $f$ にほとんどいたるところ収束するとする。このとき任意の $\varepsilon>0$ に対し、$\mu(A)<\varepsilon$ となる $A\in\mathcal{S}$ があって、すべての $j$ について $X_j\setminus A$ の上で $f_n$ は $f$ に一様収束する。

各 $j$ について、$X_j$ 上の有限測度 $\mu_j(E):=\mu(E)$（$E\in\mathcal{S}$、$E\subset X_j$）と $f_n|_{X_j}$ に thm-egorov-main を当て、$\mu(A_j)<\varepsilon/2^j$ で $X_j\setminus A_j$ の上で一様収束する $A_j\subset X_j$ をとる。$A:=\bigcup_jA_j$ とおけば $\mu(A)<\sum_j\varepsilon/2^j=\varepsilon$ であり、$X_j\setminus A\subset X_j\setminus A_j$ なので $X_j\setminus A$ の上で一様収束する。$\square$

Euclid空間でのEgorovの定理

$\mathbb{R}^d$ 上の Lebesgue 可測関数の列 $f_n$ が $f$ にほとんどいたるところ収束するならば、任意の $\varepsilon>0$ に対し、Lebesgue 測度が $\varepsilon$ 未満の可測集合 $A$ があって、$\mathbb{R}^d\setminus A$ の任意の有界な部分集合の上で $f_n$ は $f$ に一様収束する。

$X_j$ を中心 $0$、半径 $j$ の閉球とすると $X_j$ は増加して $\mathbb{R}^d$ を覆い、Lebesgue 測度は有限である。thm-egorov-sigma-finite の $A$ をとれば、有界集合 $B\subset\mathbb{R}^d\setminus A$ はある $X_j$ に含まれるので $B\subset X_j\setminus A$ であり、$B$ の上で一様収束する。$\square$

各点収束の記事の「局所一様収束」の形の Egorov の定理（Tao11 Theorem 1.3.26、p. 75）は、この系である。

応用

Egorov の定理は、「一様収束なら極限と積分を交換できる」という議論を、測度の小さい集合の寄与を別に評価することで、ほとんどいたるところ収束する列に持ち込むときに使う。次の Vitali の収束定理はその典型である。

Vitaliの収束定理

$\mu(X)<\infty$ とし、$f_n\in L^1(\mu)$ が可測関数 $f$ にほとんどいたるところ収束するとする。さらに、任意の $\varepsilon>0$ に対し $\delta>0$ があって、$\mu(E)<\delta$ となるすべての $E\in\mathcal{S}$ とすべての $n$ について $\int_E\lvert f_n\rvert\,d\mu<\varepsilon$ となるとする（一様可積分性）。このとき $f\in L^1(\mu)$ であり、$\int_X\lvert f_n-f\rvert\,d\mu\to0$ である。

要点：Egorov の定理で一様収束する部分と小さい集合 $A$ に分ける。一様収束する部分は全体の測度が有限なので積分も収束し、$A$ の上の積分は一様可積分性と Fatou の補題で小さく抑えられる。

詳しい証明を開く

$f\in L^1(\mu)$：$\varepsilon=1$ に対する $\delta$ をとり、thm-egorov-main により $\mu(A)<\delta$ で $X\setminus A$ の上で一様収束する $A$ をとる。ある $n_0$ について $X\setminus A$ の上で $\lvert f-f_{n_0}\rvert\le1$ なので $\int_{X\setminus A}\lvert f\rvert\,d\mu\le\int\lvert f_{n_0}\rvert\,d\mu+\mu(X)<\infty$ である。$A$ の上では $\lvert f_n\rvert1_A\to\lvert f\rvert1_A$ がほとんどいたるところ成り立つので、Fatou の補題（Lebesgue積分の記事の補題「Fatouの補題」）により $\int_A\lvert f\rvert\,d\mu\le\liminf_n\int_A\lvert f_n\rvert\,d\mu\le1$ である。

収束：$\varepsilon>0$ に対する $\delta$ をとり、$\mu(A)<\delta$ で $X\setminus A$ の上で一様収束する $A$ をとる。上と同じく $\int_A\lvert f\rvert\,d\mu\le\varepsilon$ であり、$X\setminus A$ と $A$ に分けて三角不等式を使うと $\int_X\lvert f_n-f\rvert\,d\mu\le\mu(X)\sup_{X\setminus A}\lvert f_n-f\rvert+\int_A\lvert f_n\rvert\,d\mu+\int_A\lvert f\rvert\,d\mu\le\mu(X)\sup_{X\setminus A}\lvert f_n-f\rvert+2\varepsilon$ である。右辺の第 1 項は $0$ に収束するので $\limsup_n\int_X\lvert f_n-f\rvert\,d\mu\le2\varepsilon$ であり、$\varepsilon$ は任意である。$\square$

$\lvert f_n\rvert\le g$ となる $g\in L^1(\mu)$ があれば、$\int_E\lvert f_n\rvert\,d\mu\le\int_Eg\,d\mu$ なので一様可積分性が成り立ち（積分の絶対連続性。Radon–Nikodymの定理の記事の命題「有限測度の絶対連続性の言い換え」を $\nu(E):=\int_Eg\,d\mu$ に当てればよい）、$\mu(X)<\infty$ のときの優収束定理は Vitali の収束定理に含まれる。Vitali の収束定理は Bre11 Exercise 4.14 の 4（p. 122）に演習として置かれている。
Egorov の定理は Luzin の定理（可測関数は測度の小さい集合を除けば連続）の証明にも使われる（Axler20 2.91、pp. 66–67）。

例

$x^n$ の収束

$[0,1]$ 上の Lebesgue 測度で $f_n(x):=x^n$ を考える。$f_n$ は $[0,1)$ で $0$ に、点 $1$ で $1$ に収束し、極限 $f=1_{\{1\}}$ は可測である。$\sup_{x\in[0,1)}x^n=1$ なので $[0,1]$ 上で一様収束しない。$\varepsilon\in(0,1)$ について $A:=(1-\varepsilon/2,1]$ とおくと、$\mu(A)<\varepsilon$ であり、$[0,1-\varepsilon/2]$ の上で $\sup\lvert f_n-f\rvert=(1-\varepsilon/2)^n\to0$ となる。
除く集合 $A$ の測度を $0$ にはできない。$\mu(A)=0$ なら $A$ は区間 $(1-\eta,1)$ を含まないので、どの $\eta>0$ についても $(1-\eta,1)\setminus A$ に点がある。その点 $x$ で $x^n>(1-\eta)^n$ なので $\sup_{x\in[0,1)\setminus A}x^n\ge(1-\eta)^n$ であり、$\eta\to0$ として上限は $1$ に等しい。よって $[0,1]\setminus A$ の上で一様収束しない。
prf-egorov-main の集合をこの例で計算してみる。$x\in[0,1)$ について $x^k$ は $k$ について減少するので、$\lvert f_k(x)-f(x)\rvert\ge1/m$ となる $k\ge n$ があることは $x^n\ge1/m$ と同値であり、点 $1$ では $f_k(1)=f(1)$ なので
$$ S_n(m)=\bigl[m^{-1/n},1\bigr) $$
である（$m=1$ では $x^n\ge1$ となる $x\in[0,1)$ はないので $S_n(1)=\emptyset$ である）。$m\ge2$ での測度 $1-m^{-1/n}$ は $n\to\infty$ で $0$ に近づき、$\bigcap_nS_n(m)=\emptyset$ である。$m$ を大きくするほど、同じ測度にするために必要な $n$ は大きくなる。証明の $A$ は、こうした区間 $[m^{-1/n_m},1)$ をすべての $m$ について合わせたものであり、どの区間も右端が $1$ なので、この例では $1$ を右端とする 1 つの区間になる。

測度の小さい山

$[0,1]$ 上で $f_n:=n\,1_{(0,1/n)}$ とおくと、各点で $f_n\to0$ であり、$A=(0,\varepsilon)$ を除けば $n>1/\varepsilon$ で $f_n=0$ となるので一様収束する。しかし $\int f_n\,dx=1$ は $0$ に近づかない。ほとんど一様収束しても積分は収束するとは限らない。この列は一様可積分でない（$E=(0,1/n)$ は測度 $1/n$ で $\int_Ef_n=1$）ので、thm-egorov-vitali の仮定を満たさない。

条件を外した反例

thm-egorov-main の仮定を 1 つずつ外した反例を挙げる。

外す条件	反例	成り立たなくなること
$\mu(X)<\infty$	$\mathbb{R}$ 上の Lebesgue 測度、$f_n=1_{[n,\infty)}$	各点で $0$ に収束するが、測度有限のどの $A$ についても $\mathbb{R}\setminus A$ で一様収束しない
添字が自然数の列	$[0,1]$ の有限部分集合 $F$ を添字とするネット $f_F=1_F$	各点で $1$ に収束するが、$\mu(A)<1$ のどの $A$ についても $[0,1]\setminus A$ で一様収束しない
ほとんどいたるところ収束	$[0,1]$ 上の「移動する区間」の指示関数の列	測度収束するが、ほとんど一様収束しない

反例：表の各行の確かめ

各行は左の列の条件だけを破っている。

確かめを開く

1 行目：$x\in\mathbb{R}$ について $n>x$ なら $f_n(x)=0$ なので、各点で $0$ に収束する。$\mu(A)<\infty$ なら $[n,\infty)\setminus A$ は測度が無限で空でないので、その点で $f_n=1$ となり、$\sup_{\mathbb{R}\setminus A}\lvert f_n\rvert=1$ がすべての $n$ で成り立つ。なお $X_j=[-j,j]$ とした thm-egorov-sigma-finite は成り立っている（$A=\emptyset$ でも $X_j$ の上で $n>j$ なら $f_n=0$）。

2 行目：$[0,1]$ の有限部分集合の全体は包含関係で有向集合になり、$f_F=1_F$ は Borel 可測である。各 $x$ について $F\ni x$ となる $F$ 以降は $f_F(x)=1$ なので、ネットとして $1$ に各点収束する。$\mu(A)<1$ なら $[0,1]\setminus A$ は測度が正で非可算なので、どの有限集合 $F$ についても $[0,1]\setminus(A\cup F)$ に点 $x$ があり、$\lvert f_F(x)-1\rvert=1$ である。測度は有限で、関数はすべて可測である。

3 行目：$n=2^k+j$（$k\ge0$、$0\le j<2^k$）について $f_n:=1_{[j2^{-k},(j+1)2^{-k}]}$ とおく。$\mu(\{f_n\ne0\})=2^{-k}\to0$ なので $f_n$ は $0$ に測度収束する。一方、各 $x\in[0,1]$ と各 $k$ について $x$ を含む区間 $[j2^{-k},(j+1)2^{-k}]$ があるので $f_n(x)=1$ となる $n$ は無限にあり、$f_n(x)=0$ となる $n$ も無限にある（$k\ge2$ では区間が $2^k\ge4$ 個あり、閉区間のうち $x$ を含むのは高々 $2$ 個）。よって $f_n(x)$ はどの点でも収束しない。prop-egorov-converse の 1 により、ほとんど一様収束もしない。

補足

文献

Egorov の定理は Axler20 2.85（pp. 63–64）に証明がある。Bre11 Theorem 4.29（p. 115）は言明だけを述べ、証明は同書の Exercise 4.14（pp. 121–122）の 1〜3 に演習として分けて置かれている。Tao11 Theorem 1.3.26（p. 75）は $\mathbb{R}^d$ での局所一様収束の形（cor-egorov-euclid）を証明している。