Čech解像
概要
Čech解像（Čech resolution）とは、開被覆の有限共通部分への層の制限を順像で戻し、その積と制限写像の交代和を並べた、元の層の解像のことである。被覆成員の添字を局所的に挿入すると収縮が得られ、任意の開被覆で層の複体として完全になる。ただし大域切断後の複体は完全とは限らず、各解像項が大域切断に関して非輪状であるという条件の下で、そのコホモロジーが層コホモロジーを与える。全順序・重複添字の規約を固定し、無限積と茎の交換にも注意する。
前提知識: 層、完全列、Čechコホモロジー、層コホモロジー
開被覆の重なりにある切断を並べると、Čech余鎖複体ができる。その構成を空間のすべての開集合で同時に行い、切断の群ではなく層を並べたものが Čech解像（Čech resolution）である。局所的には、ある被覆成員の添字を先頭へ挿入するだけで複体を収縮できる。このため、Čech解像は元の層を完全な複体として表す。
ただし「層の複体として完全」と「大域切断の複体として完全」は別の主張である。局所収縮に使う添字は点の近くで選べるが、空間全体で同じように使えるとは限らない。大域切断を取った後に残るコホモロジーを、単に局所完全性の議論で消してはいけない。Čech解像は、この局所と大域の違いを具体的な写像で見るための構成でもある。
この記事では任意の位相空間とアーベル群の層を扱い、被覆の有限性、局所有限性、Hausdorff性、パラコンパクト性は仮定しない。層としての完全性を直接証明し、大域切断から層コホモロジーを計算するときの追加条件を明示する。
被覆と添字の規約
$X$ を位相空間、$\mathfrak U=(U_i)_{i\in I}$ を集合 $I$ で添字付けた開被覆とする。同じ開集合に異なる添字を付けてもよい。$\mathcal F$ は $X$ 上のアーベル群の層とする。長さ $p+1$ の添字列 $\boldsymbol i=(i_0,\ldots,i_p)$ に対して
$$
U_{\boldsymbol i}=U_{i_0}\cap\cdots\cap U_{i_p},
\qquad j_{\boldsymbol i}\colon U_{\boldsymbol i}\hookrightarrow X
$$
とおく。
添字列はすべての順序付き列を取る。 たとえば添字が $a,b$ の二つなら、次数1には $(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)$ をすべて含める。添字の大小順も、相異なることも要求しない。空の共通部分に対応する切断群は $0$ とする。
この規約は、増加する相異なる添字だけを使う交代Čech複体とは区別する。後者は多くの計算に便利だが、二つの複体の項を同じものとして読み替えることはできない。以下の収縮も、反復添字を含むすべての成分上で書く。
| 記号 | 意味 |
|---|---|
| $\mathcal C^p(\mathfrak U,\mathcal F)$ | 次数 $p$ のČech余鎖の層 |
| $\delta^p$ | 一つの添字を除く制限写像の交代和 |
| $\epsilon$ | $\mathcal F$ から次数0への増大写像 |
| $\Gamma(X,-)$ | $X$ 上の大域切断関手 |
| $\check C^p(\mathfrak U,\mathcal F)$ | 大域切断を取ったČech余鎖群 |
| $H^q(X,\mathcal G)$ | 大域切断関手の右導来関手による層コホモロジー |
余鎖の層と増大写像
開集合の包含 $j\colon U\hookrightarrow X$ に対し、順像の層 $j_*(\mathcal F|_U)$ の $W\subset X$ 上の切断は $\mathcal F(W\cap U)$ である。これは $U$ の外で値を機械的に零にする操作とは異なる。
$p\ge0$ について
$$
\mathcal C^p=\mathcal C^p(\mathfrak U,\mathcal F)
=\prod_{\boldsymbol i\in I^{p+1}}
(j_{\boldsymbol i})_*(\mathcal F|_{U_{\boldsymbol i}})
$$
と定める。すなわち、開集合 $W$ 上では
$$
\mathcal C^p(W)=
\prod_{(i_0,\ldots,i_p)\in I^{p+1}}
\mathcal F(W\cap U_{i_0}\cap\cdots\cap U_{i_p}).
$$
積は層の圏の積であり、開集合上の切断ごとに上の積で計算できる。
$c\in\mathcal C^p(W)$ の微分を
$$
(\delta^pc)_{i_0\cdots i_{p+1}}
=\sum_{k=0}^{p+1}(-1)^k
c_{i_0\cdots\widehat{i_k}\cdots i_{p+1}}
\bigm|_{W\cap U_{i_0}\cap\cdots\cap U_{i_{p+1}}}
$$
で定める。増大写像 $\epsilon\colon\mathcal F\to\mathcal C^0$ は、切断を各 $W\cap U_i$ に制限して並べる写像である。これらを並べた
$$
0\longrightarrow\mathcal F\xrightarrow{\epsilon}
\mathcal C^0\xrightarrow{\delta^0}
\mathcal C^1\xrightarrow{\delta^1}\cdots
$$
を、被覆 $\mathfrak U$ による $\mathcal F$ のČech解像という。
この段階では「解像」という呼び名に必要な完全性をまだ証明していない。まず複体であることを確認する。$\delta^{p+1}\delta^p$ を展開して二つの位置を除く項を組にすると、先に左の位置を消した場合は右の位置が一つずれ、逆の順序とは符号が反対になる。制限写像の合成は同じなので、すべての項が打ち消し合う。従って $\delta^{p+1}\delta^p=0$ である。添字が同じ値を持つ場合も、消す位置は区別するため同じ計算が成り立つ。
$\delta^0\epsilon=0$ は、同じ切断を二通りに共通部分へ制限しても一致することを表す。各開集合 $W$ 上で、$\epsilon$ が単射であることと $\ker\delta^0=\operatorname{im}\epsilon$ は層の貼り合わせ条件にほかならない。高次の完全性は、切断を全体で貼り合わせるのではなく、次の局所収縮で示す。
局所収縮の具体式
任意の開被覆 $\mathfrak U$ とアーベル群の層 $\mathcal F$ に対し、上の増大複体は層の複体として完全である。さらに $V\subset U_j$ となる開集合 $V$ 上では、増大項を含めた複体に明示的な収縮がある。
$j$ を一つ固定し、$V\subset U_j$ とする。$p\ge1$ に対し
$$
h_j^p\colon\mathcal C^p(V)\longrightarrow\mathcal C^{p-1}(V),
\qquad
(h_j^pc)_{i_0\cdots i_{p-1}}
=c_{j,i_0,\ldots,i_{p-1}}
$$
と定める。右辺はもともと
$V\cap U_j\cap U_{i_0}\cap\cdots\cap U_{i_{p-1}}$ 上の切断だが、$V\subset U_j$ なので、この開集合は $V\cap U_{i_0}\cap\cdots\cap U_{i_{p-1}}$ と同じである。従って式は意味を持つ。次数0では $h_j^0(c)=c_j\in\mathcal F(V)$ と定める。
$p\ge1$ の $c$ と添字列 $(i_0,\ldots,i_p)$ に対して展開すると
$$
(h_j^{p+1}\delta^pc)_{i_0\cdots i_p}
=c_{i_0\cdots i_p}
+\sum_{k=0}^p(-1)^{k+1}
c_{j,i_0,\ldots,\widehat{i_k},\ldots,i_p},
$$
一方
$$
(\delta^{p-1}h_j^pc)_{i_0\cdots i_p}
=\sum_{k=0}^p(-1)^k
c_{j,i_0,\ldots,\widehat{i_k},\ldots,i_p}.
$$
各切断は同じ共通部分へ制限して比較している。二つを足すと元の $c$ だけが残るので、$\delta h_j+h_j\delta=\operatorname{id}$ である。
$p=0$ では $(h_j^1\delta^0c)_i=c_i-c_j|_{V\cap U_i}$ であり、$\epsilon h_j^0c$ の $i$ 成分を足せば $c_i$ になる。また $s\in\mathcal F(V)$ では $h_j^0\epsilon(s)=s$ である。よって増大項を含めて同じ収縮恒等式を得る。
この $h_j$ は $V$ の中の開集合への制限と可換するので、単なる一つの切断群の写像ではなく、$U_j$ 上で制限した層の複体の収縮を与える。任意の点 $x\in X$ はある $U_j$ に属するため、すべての点の近傍で複体は完全になる。層の完全性は局所的に判定できるので、$X$ 上で完全である。
収縮恒等式は、次のように「同じ微分を保って元へ戻す」等式である。
$$
\xymatrix{
\mathcal C^{p-1}|_{U_j}\ar[r]^\delta
&\mathcal C^p|_{U_j}\ar[r]^\delta\ar@/_1pc/[l]_{h_j}
&\mathcal C^{p+1}|_{U_j}\ar@/_1pc/[l]_{h_j}
}
$$
中央の項で $\delta h_j+h_j\delta=\operatorname{id}$ となる。次数0では左端を $\mathcal F|_{U_j}$ とし、左からの矢を $\epsilon$ と読む。
この証明は、無限積の茎を成分の茎の積と交換していない。ひとつの近傍 $V\subset U_j$ 上で、すべての成分に同時に作用する層射を先に作っている。被覆が無限でも各成分の式は有限和であり、収束の問題は出ない。被覆が無限であることと、一つの微分が無限和になることは別である。
局所挿入による証明は Har77 III §4、Lemma 4.2（pp.220–221）にある構成と対応する。同書では増加する相異なる添字を使う。ここではすべての順序付き列を残しているため、収縮を上の式で直接検証した。交代複体との比較を証明なしに使ってはいない。
大域切断を取ると何が残るか
定義のまま大域切断を取れば
$$
\Gamma(X,\mathcal C^p)
=\prod_{(i_0,\ldots,i_p)}\mathcal F(U_{i_0}\cap\cdots\cap U_{i_p})
=\check C^p(\mathfrak U,\mathcal F)
$$
となり、微分も同じ制限の交代和である。この群の複体のコホモロジーが、指定した被覆に関するČechコホモロジーである。被覆を細分して極限を取った版とは、この段階では区別する。
局所収縮の $j$ は、$V\subset U_j$ という条件の下で選んだ。$U_j=X$ でない限り、$c_{j,i_0,\ldots,i_{p-1}}$ は $U_{i_0}\cap\cdots\cap U_{i_{p-1}}$ 全体で定義された切断ではない。従って同じ式をそのまま大域切断の $h$ として使うことはできない。切断を $U_j$ の外へ延長する根拠もない。
もし被覆の成員の一つが $X$ 自身なら、その添字を全体で挿入でき、増大した大域複体も収縮する。これは Čechコホモロジー の「切断をもつ被覆」の特別な場合である。一般の開被覆で同じ結論を得るには、追加の構造や消滅条件を調べる必要がある。
$X=S^1$ とし、異なる二点を一つずつ除いた連結な開弧 $U_0,U_1$ で覆う。$W=U_0\cap U_1$ は二つの連結成分を持つ。定数層 $\mathbb Z_X$ を使うと
$$
\mathcal F(U_0)=\mathcal F(U_1)=\mathbb Z,\qquad
\mathcal F(W)=\mathbb Z^2.
$$
全順序付き添字の規約では、1余鎖には $c_{00},c_{01},c_{10},c_{11}$ の四成分がある。
$\delta c=0$ の $(0,0,0)$ 成分から $c_{00}=0$、$(1,1,1)$ から $c_{11}=0$ が従い、$(0,1,0)$ 成分から $c_{10}=-c_{01}$ が従う。逆にこの三条件があれば、長さ3のすべての添字列について $\delta c=0$ となる。例えば $(0,0,1)$ 成分は $c_{01}-c_{01}+c_{00}=0$、$(0,1,1)$ 成分も同様で、残りは $0,1$ を入れ替えた式である。従って1コサイクル群は $c_{01}\in\mathbb Z^2$ により $\mathbb Z^2$ と同定できる。
一方、0余鎖 $(a,b)\in\mathbb Z^2$ の境界の $(0,1)$ 成分は $(b-a,b-a)$ である。ゆえに
$$
H^1\bigl(\Gamma(X,\mathcal C^\bullet)\bigr)
\cong\mathbb Z^2/\mathbb Z(1,1)\cong\mathbb Z.
$$
たとえば $c_{01}=(1,0)$、$c_{10}=-(1,0)$、$c_{00}=c_{11}=0$ は境界でないコサイクルである。層のČech解像は完全だが、大域切断の増大複体は完全でない。
これは Har77 Example 4.0.4（p.220）の二開弧の計算と同じ幾何である。ただし、上では反復添字を最初から除かず、その成分を含めたコサイクル条件を解いた。二成分の共通部分が持つ独立な値の差が、大域切断を貼る障害として残っている。
層コホモロジーを計算する条件
層の複体が完全であるだけでは、そこへ大域切断を作用させて右導来関手を計算してよいとは限らない。ここでは各項そのものに必要な条件を課す。
$X$ 上の層 $\mathcal G$ が大域切断に関して非輪状であるとは、すべての $q>0$ について $H^q(X,\mathcal G)=0$ となることをいう。$\Gamma(X,-)$ に関して非輪状、または $\Gamma$-acyclic ともいう。
指定した被覆と層について、すべての $p\ge0$、$q>0$ で
$$
H^q(X,\mathcal C^p(\mathfrak U,\mathcal F))=0
$$
と仮定する。このとき全 $p\ge0$ について自然な同型
$$
H^p\bigl(\check C^\bullet(\mathfrak U,\mathcal F)\bigr)
\cong H^p(X,\mathcal F)
$$
がある。
すでに証明した層の完全性を用いる。$\mathcal Z^0=\mathcal F$ とし、$p\ge1$ について
$$
\mathcal Z^p=\ker(\delta^p\colon\mathcal C^p\to\mathcal C^{p+1})
$$
とおく。$\mathcal F$ は $\epsilon$ で $\mathcal C^0$ の部分層と同定する。各 $p\ge0$ に対し短完全列
$$
0\longrightarrow\mathcal Z^p\longrightarrow
\mathcal C^p\longrightarrow\mathcal Z^{p+1}\longrightarrow0
$$
が得られる。
大域切断の左完全性により、$\Gamma(X,\mathcal C^\bullet)$ の次数 $p$ のコサイクルは $\Gamma(X,\mathcal Z^p)$ と同じである。$p\ge1$ のとき、$p-1$ 番目の短完全列からのコホモロジー長完全列と、$H^1(X,\mathcal C^{p-1})=0$ を使うと
$$
\frac{\Gamma(X,\mathcal Z^p)}
{\operatorname{im}\bigl(\Gamma(X,\mathcal C^{p-1})\to
\Gamma(X,\mathcal Z^p)\bigr)}
\cong H^1(X,\mathcal Z^{p-1})
$$
となる。左辺は大域Čech複体の $p$ 次コホモロジーである。
さらに同じ短完全列と各 $\mathcal C^k$ の非輪状性から、$q\ge1$ に対して
$$
H^q(X,\mathcal Z^{k+1})
\cong H^{q+1}(X,\mathcal Z^k)
$$
を得る。これを有限回用いると
$$
H^1(X,\mathcal Z^{p-1})
\cong H^2(X,\mathcal Z^{p-2})
\cong\cdots\cong H^p(X,\mathcal F).
$$
$p=1$ ではこの途中の操作は不要である。$p=0$ の主張は $\ker\Gamma(\delta^0)=\Gamma(X,\mathcal F)$ という増大部分の左完全性から従う。接続写像は層の射に自然なので、得られた同型も自然である。
この証明で使う外部基盤は、通常の 層コホモロジー の定義、短完全列に伴う長完全列、大域切断の左完全性である。Čech解像の項が非輪状であることを、局所収縮から導いてはいない。非輪状性は、コホモロジーを計算する段階の追加仮定として残っている。
また、仮定が述べているのは $\mathcal C^p$ という層の高次大域切断の消滅であり、$\Gamma(X,\mathcal C^\bullet)$ という一つの複体のコホモロジーの消滅ではない。前者が成立すれば後者は $\mathcal F$ の層コホモロジーを与えるのであって、一般に零にはならない。この二つの次数を混同しないことが重要である。
有限共通部分上の高次コホモロジーが消える被覆を使うLerayの定理と、その比較スペクトル系列は Lerayの定理(非輪状被覆) と Čechコホモロジー の「導来関手のコホモロジーとの関係」を参照。共通部分ごとの条件から上の項ごとの条件を導くには、順像と積に関するコホモロジーの性質を確認する必要がある。それを単に「同じČechだから」という理由で省略しない。
無限積と局所性についての注意
被覆の添字集合が無限でも、$\mathcal C^p$ の定義には積を使う。全切断の族を一斉に記録するためであり、各切断の非零成分が有限個である必要はない。
$X$ が一点、$\mathcal F=\mathbb Z$ で、各 $i\in\mathbb N$ に対し $U_i=X$ とする。増大写像は
$$
\mathbb Z\longrightarrow\prod_{i\in\mathbb N}\mathbb Z,
\qquad a\longmapsto(a,a,\ldots)
$$
である。$1$ の像は無限個の成分が非零なので、直和 $\bigoplus_i\mathbb Z$ には入らない。同じ増大写像のまま積を直和へ置き換えることはできない。
層の積を開集合ごとの切断で計算できることと、その茎も成分の茎の積として計算できることは違う。後者は一般に成り立たない。
$X=\mathbb R$、$x_n=1/n$ とし、$\mathcal G_n$ を点 $x_n$ に群 $\mathbb Z$ を置いた摩天楼層とする。すなわち、$W$ が $x_n$ を含むなら $\mathcal G_n(W)=\mathbb Z$、含まなければ $0$ で、制限は対応する恒等写像または零写像である。各固定 $n$ について、$0$ は $x_n$ を避ける近傍を持つので $(\mathcal G_n)_0=0$ である。
一方、$\mathcal G=\prod_{n\ge1}\mathcal G_n$ の $\mathbb R$ 上の切断 $s=(1,1,\ldots)$ を考える。$0$ の任意の開近傍は十分大きいすべての $n$ の点 $1/n$ を含むため、$s$ はどの近傍へ制限しても零にならない。従ってその茎の元 $s_0\in\mathcal G_0$ は非零である。しかし
$$
\prod_{n\ge1}(\mathcal G_n)_0=0.
$$
よって自然写像 $(\prod_n\mathcal G_n)_0\to\prod_n(\mathcal G_n)_0$ はこの場合単射でさえない。
ここで失われるのは、各成分ごとに選べる「零になる近傍」を、無限個すべての成分に対して同時に選べるという性質である。Čech解像の証明では、この問題を避けるために、$V\subset U_j$ 上の層射 $h_j$ を最初から全成分に対して定めた。
反対に、開被覆という条件は外せない。離散空間 $X=\{a,b\}$ で一つの開集合 $U=\{a\}$ だけを取り、$\mathcal F$ を $b$ の摩天楼層 $\mathbb Z$ とすれば、$\mathcal F|_U=0$ なので全 $\mathcal C^p=0$ だが $\mathcal F\ne0$ である。増大 $\mathcal F\to\mathcal C^0$ は単射でない。点 $b$ の近くで挿入する添字が存在しないことが、局所収縮の破れる場所である。
反例の表
| 外す条件・混同する操作 | 例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 局所完全から大域切断後も完全とする | 円周の二開弧、定数層 $\mathbb Z$ | 次数1に $\mathbb Z$ が残る |
| 積を直和に替える | 一点を可算個の同じ開集合で覆う | 制限を並べた増大が直和に入らない |
| 無限積と茎を交換する | $1/n$ の摩天楼層の積を $0$ で見る | 全成分の茎は零でも積の茎は非零 |
| 被覆であることを外す | $\{a,b\}$ を $\{a\}$ だけで扱う | 増大の単射性と局所完全性 |
構成の射程
Čech解像では、被覆、元の層、制限写像を同時に固定している。層の射 $\mathcal F\to\mathcal G$ は各共通部分への制限と可換するので、成分ごとにČech解像の射を誘導する。被覆の細分も同じ添字列を写すことで大域余鎖の比較を与えるが、細分の添字の選択によらないことはさらにホモトピーで確認する事項である。その比較は Čechコホモロジーと層コホモロジーの比較(パラコンパクト空間) の細分に関する議論を参照。
本記事では一般の景や、任意の射 $U\to X$ から作る内部Čech対象の有効性を主張しない。開被覆の局所収縮を、平坦性などの仮定なしで環のテンソル積による増大複体へ移すこともできない。代数の有限元から作る Čech複体 は、ここでの層の解像と使われる場所が異なる。
局所解像を作る段階、同じ微分で大域切断の複体を作る段階、その複体で導来関手を計算する段階を分けると、必要な仮定が見える。最初の段階には開被覆と層の条件があればよく、最後の段階には項ごとの非輪状性などの追加条件を確認する必要がある。
関連項目
- 前提: 層、完全列
- 比較: Čechコホモロジー、Čech複体
- 大域化: 層コホモロジー、Lerayの定理(非輪状被覆)
- 被覆の比較: Čechコホモロジーと層コホモロジーの比較(パラコンパクト空間)
参考文献
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