岡–Weilの近似定理

$f_k-f_l$ は多項式なので $\sup_{\widehat K}|f_k-f_l|=\sup_K|f_k-f_l|$ であり、$(f_k)$ は $\widehat K$ の上で一様 Cauchy 列である。連続関数の一様極限は連続で、正則関数の広義一様極限は正則である（正則領域 の命題「多変数の正則関数の基本事項」の 5）。$\square$

要点：閉多重円板の近傍に入る少し大きい開多重円板の上で、Dolbeault–Grothendieck の補題を使う。

$\pi\colon\mathbb{C}^{N+1}\to\mathbb{C}^N$、$\pi(z,w):=z$ を射影とすると $\pi\circ\mu=\mathrm{id}$ である。$\Phi(z,w):=w-P(z)$ とおく。$Q\times\overline D$ の点で $\Phi=0$ となるのは、$z\in Q$、$w=P(z)$、$|P(z)|\le1$ のとき、すなわち $\mu(Q_P)$ の点に限る。
1：$f$ が $Q_P$ の開近傍 $V$ で定義されているとする。$\mu(Q_P)$ はコンパクトで開集合 $\pi^{-1}(V)$ に含まれるので、台がコンパクトで $\pi^{-1}(V)$ に含まれる $C^\infty$ 級関数 $\chi$ で、$\mu(Q_P)$ のある開近傍 $E$ の上で $\chi=1$ となるものがある。$(p,q+1)$ 形式 $\bar\partial\chi\wedge\pi^*f$ は $\pi^{-1}(V)$ の外へ $0$ で延ばして $\mathbb{C}^{N+1}$ 全体の $C^\infty$ 級形式とみなせ、$E$ の上で $0$ である。そこで開集合 $W_0:=\{\Phi\ne0\}\cup E$ の上で
$$ H:=\frac{1}{\Phi}\,\bar\partial\chi\wedge\pi^*f\quad(\{\Phi\ne0\}\text{ の上}),\qquad H:=0\quad(E\text{ の上}) $$
と定める（両者は $\{\Phi\neq0\}\cap E$ で一致する）。$W_0\supset Q\times\overline D$ であり、$H$ は $C^\infty$ 級の $(p,q+1)$ 形式である。$\{\Phi\ne0\}$ の上では $1/\Phi$ は正則で、$\bar\partial(\bar\partial\chi\wedge\pi^*f)=-\bar\partial\chi\wedge\pi^*\bar\partial f=0$ なので $\bar\partial H=0$ である。$E$ の上では $H=0$ である。
$Q\times\overline D$ の Cousin 性（次数 $q+1\ge1$）により、$Q\times\overline D$ の開近傍 $W_1\subset W_0$ と $W_1$ 上の $(p,q)$ 形式 $G$ で $\bar\partial G=H$ となるものがある。$W_1$ の上で
$$ F:=\chi\,\pi^*f-\Phi\,G $$
とおく。$\bar\partial F=\bar\partial\chi\wedge\pi^*f+\chi\,\pi^*\bar\partial f-\Phi\,\bar\partial G=\bar\partial\chi\wedge\pi^*f-\Phi H=0$ である（最後の等号は $\{\Phi\ne0\}$ と $E$ のそれぞれで確かめる）。$\mu^{-1}(W_1\cap E)$ は $Q_P$ の開近傍で、その上では $\chi\circ\mu=1$、$\Phi\circ\mu=0$、$\mu^*\pi^*f=(\pi\circ\mu)^*f=f$ なので、$\mu^*F=f$ である。
2：$q\ge1$ とし、$f$ を $Q_P$ の開近傍の上の $\bar\partial$ 閉な $(p,q)$ 形式とする。1 により $f=\mu^*F$（$Q_P$ の開近傍の上）、$F$ は $Q\times\overline D$ の開近傍の上で $\bar\partial$ 閉である。$Q\times\overline D$ の Cousin 性により、$Q\times\overline D$ の開近傍 $W$ の上で $\bar\partial U=F$ となる $U$ がある。$\mu(Q_P)\subset Q\times\overline D$ なので $\mu^{-1}(W)$ は $Q_P$ の開近傍であり、$u:=\mu^*U$ は $Q_P$ の開近傍の上で $\bar\partial u=\mu^*\bar\partial U=\mu^*F=f$ を満たす。$\square$

$m$ についての帰納法で、すべての $n$ とすべての閉多重円板について同時に示す。$m=0$ では $L=\overline\Delta$、$M=\mathrm{id}$ であり、1 は lem-ow-polydisc、2 は $F=f$ でよい。
$m\ge1$ とし、$m-1$ まで正しいとする。$L':=\{z\in\overline\Delta\mid|P_j(z)|\le1\ (j\le m-1)\}$ とおく。$P_1,\dots,P_{m-1}$ を $\mathbb{C}^{n+1}$ の（$w$ によらない）多項式とみて、帰納法の仮定を閉多重円板 $\overline\Delta\times\overline D\subset\mathbb{C}^{n+1}$ に使うと、多項式多面体 $\{(z,w)\in\overline\Delta\times\overline D\mid|P_j(z)|\le1\ (j\le m-1)\}=L'\times\overline D$ は Cousin 性をもつ。$L=L'_{P_m}$ なので、lem-ow-oka の 2 により $L$ は Cousin 性をもつ。これが 1 である。
2：$\mu(z):=(z,P_m(z))$ とする。lem-ow-oka の 1（$p=q=0$）により、$L'\times\overline D$ の開近傍の上の正則関数 $F_1$ で、$L$ の開近傍の上で $f=F_1\circ\mu$ となるものがある。帰納法の仮定の 2 を $\mathbb{C}^{n+1}$ の $F_1$ に使うと、$\overline\Delta\times\overline D\times\overline D^{m-1}$ の開近傍の上の正則関数 $F_2$ で、$L'\times\overline D$ の開近傍 $W$ の上で $F_1(z,w)=F_2(z,w,P_1(z),\dots,P_{m-1}(z))$ となるものがある。$\mu(L)\subset L'\times\overline D$ なので $\mu^{-1}(W)$ は $L$ の開近傍であり、$L$ の開近傍の上で
$$ f(z)=F_2\bigl(z,P_m(z),P_1(z),\dots,P_{m-1}(z)\bigr) $$
である。$F(z,w_1,\dots,w_m):=F_2(z,w_m,w_1,\dots,w_{m-1})$ とおけば $f=F\circ M$ である。$\square$

要点：多重円板のうち $V$ の外の部分はコンパクトで、その各点を $K$ から分離する多項式の有限個で覆える。

$f$ が $K$ の開近傍 $V$ で正則であるとする。lem-ow-neighborhood により、中心 $0$ の閉多重円板 $\overline\Delta$ と多項式 $P_1,\dots,P_m$ で $K\subset L\subset V$ となるものをとる。thm-ow-polyhedron の 2 により、$\overline\Delta\times\overline D^m$ の開近傍の上の正則関数 $F$ で、$L$ の開近傍の上で $f=F\circ M$ となるものがある。$\overline\Delta\times\overline D^m$ は $\mathbb{C}^{n+m}$ の中心 $0$ の閉多重円板でコンパクトなので、$F$ はそれより少し大きい中心 $0$ の開多重円板の上で正則である。多重円板 の定理「冪級数展開」により、$F$ の原点での Taylor 級数の部分和 $S_k$（$k$ 次以下の項の和）は $\overline\Delta\times\overline D^m$ の上で $F$ に一様に収束する。$M(L)\subset\overline\Delta\times\overline D^m$ なので、$f_k:=S_k\circ M$ は $z$ の多項式で、$L$ の上で
$$ \sup_L|f_k-f|=\sup_L|S_k\circ M-F\circ M|\le\sup_{\overline\Delta\times\overline D^m}|S_k-F|\to0 $$
となる。$K\subset L$ なので $f_k$ は $K$ の上で $f$ に一様に収束する。$\square$

要点：$s$ を切り落として $\Omega$ 全体の滑らかな切断にし、そのずれ $\bar\partial(\chi s)$ を、重み $\tau\varphi$ を足した $L^2$ 評価で解く。ずれは $\varphi>0$ の側にしかないので、$\tau\to\infty$ とすると $K_0$ の近くでの解は $L^2$ で小さくなり、正則な切断の平均値の性質から一様にも小さくなる。

$K=\emptyset$ なら示すことはない。$f$ が開集合 $W\supset K$ の上で正則であるとする。$W$ は $\widehat K_\Omega=K$ の開近傍なので、Stein多様体 の定理「Stein 多様体の強多重劣調和な尽くし関数」を $K$ と $\omega:=W$ に使うと、強多重劣調和な $C^\infty$ 級の尽くし関数 $\varphi$ で、$K$ の上で $\varphi<0$、$\Omega\setminus W$ の上で $\varphi>0$ となるものがある。$K_0:=\{\varphi\le0\}$ とおくと $K\subset K_0\subset W$ なので、lem-ow-sublevel を自明な直線束（$H$ は絶対値）に使えば、$\Omega$ 上の正則関数で $K_0$ の上で、したがって $K$ の上で $f$ に一様に近いものがある。$\square$

prf-thm-ow-stein と同じく $K\subset K_0\subset W$ となる $\varphi$ をとり、lem-ow-sublevel を $E$ に使う。$\square$

$E$ の階数を $N$ とし、$N\ge1$ としてよい。$E$ に Hermite 計量 $H$ をとる（1の分割 で局所的な計量を貼り合わせる）。$\Omega$ 上の正則関数は点を分離するので（Stein多様体 の定義「Stein 多様体」の 2）、$y\ne x$ に対し $f(x)\ne f(y)$ となる正則関数 $f$ をとると、$f-f(x)$ は $\{x\}$ の上で $0$、$y$ で $0$ でないので $y\notin\widehat{\{x\}}_\Omega$ であり、$\widehat{\{x\}}_\Omega=\{x\}$ である。$x$ の近傍 $W$ の上の $E$ の正則な枠 $e_1,\dots,e_N$ をとると、$e_1(x),\dots,e_N(x)$ は $E_x$ の基底である。$\varepsilon>0$ について、thm-ow-bundle を $K=\{x\}$ に使って $|s_i(x)-e_i(x)|_H<\varepsilon$ となる大域的な正則な切断 $s_i$ をとり、$s_i(x)=\sum_kM_{ki}(\varepsilon)e_k(x)$ と書く。基底についての係数は $E_x$ の元に連続に依存するので、$\varepsilon\to0$ のとき行列 $M(\varepsilon)$ は単位行列に近づき、$\varepsilon$ が小さければ $\det M(\varepsilon)\ne0$ である。$e=\sum_k\beta_ke_k(x)$ と書き、$c:=M(\varepsilon)^{-1}\beta$、$s:=\sum_ic_is_i$ とおくと、$s(x)=\sum_k\bigl(M(\varepsilon)c\bigr)_ke_k(x)=e$ である。$\square$