Pettisの可測性定理

$F=\{0\}$ なら $\Gamma=\{0\}$ でよい。$F\ne\{0\}$ なら、$F$ の可算な稠密部分集合 $\{v_j\}$ をとり、$0$ を除いておく。連続双対空間 の定理「点でノルムを実現する汎関数」により、各 $j$ について $\|\ell_j\|=1$、$\ell_j(v_j)=\|v_j\|$ となる $\ell_j\in E^*$ がある。$\Gamma:=\{\ell_j\}$ とおく。
$v\in F$ を任意にとる。$\|\ell_j\|=1$ より $|\ell_j(v)|\le\|v\|$ である。逆に $v_j\to v$ となる部分列をとると、
$$ |\ell_j(v)|\ge\ell_j(v_j)-|\ell_j(v-v_j)|\ge\|v_j\|-\|v-v_j\|\ge\|v\|-2\|v-v_j\|\to\|v\| $$
なので、$\sup_j|\ell_j(v)|=\|v\|$ である。$\square$

零集合を可算個合わせて零集合 $N$ をとり、$\omega\notin N$ では $f(\omega)\in F$ であり、かつすべての $\ell\in\Gamma$ について $\ell\circ f$ が $\Omega\setminus N$ 上で $\Sigma$-可測関数と一致するようにする（$\Gamma$ は可算なので、これは可能である）。
$F$ の可算な稠密部分集合を $\{u_1,u_2,\dots\}$ とし、$u_1=0$ とする。各 $k$ について
$$ d_k(\omega):=\|f(\omega)-u_k\|=\sup_{\ell\in\Gamma}|\ell(f(\omega))-\ell(u_k)|\qquad(\omega\notin N) $$
とおく。等号はノルム決定族の定義による。右辺は可測関数の可算個の上限なので、$d_k$ は $\Omega\setminus N$ 上で可測である。
$\omega\notin N$ について、$d_1(\omega),\dots,d_n(\omega)$ の最小値をとる添字のうち最小のものを $k_n(\omega)$ とし、$s_n(\omega):=u_{k_n(\omega)}$ とおく。$\omega\in N$ では $s_n(\omega):=0$ とおく。$\{k_n=k\}$ は可測関数 $d_1,\dots,d_n$ の大小関係で決まる集合なので $\Sigma$ に属し、$s_n$ は $F$ に値をとる単関数である。
$\omega\notin N$ では $f(\omega)\in F$ であり、$\{u_k\}$ は $F$ で稠密なので、
$$ \|s_n(\omega)-f(\omega)\|=\min_{k\le n}d_k(\omega)\to\inf_kd_k(\omega)=0\qquad(n\to\infty) $$
となる。よって $f$ は強可測である。$\square$

1 ⇒ 2：$f$ を近似する単関数の列 $(s_n)$ と例外の零集合 $N$ をとる。$\ell\in E^*$ について、$\ell\circ s_n$ は実数値の単関数で、$N$ の外で $\ell\circ f$ に収束する。$N$ の外で $\limsup_n\ell\circ s_n$、$N$ の上で $0$ とおいた関数は $\Sigma$-可測で、$N$ の外で $\ell\circ f$ と一致する。よって $f$ は弱可測である。また、$s_n$（$n=1,2,\dots$）がとる値は全部で可算個であり、それらの有理係数の有限一次結合の全体は可算である。その閉包 $F$ はそれらの値が張る閉部分空間であり、可分である。$N$ の外で $f(\omega)=\lim_ns_n(\omega)\in F$ なので、$f$ は本質的に可分値である。
2 ⇒ 1：$f$ が零集合の外で値をとる可分な閉部分空間を $F$ とする。lem-pettis-norming により $F$ の可算なノルム決定族 $\Gamma$ がある。$f$ は弱可測なので、とくに $\ell\in\Gamma$ について $\ell\circ f$ は a.e. 可測である。prop-pettis-countable により $f$ は強可測である。$\square$

$E$ が可分なら、$F=E$ とおけばすべての $f$ は本質的に可分値である。thm-pettis-main から従う。$\square$

thm-pettis-main により、各 $f_n$ は零集合 $N_n$ の外で可分な閉部分空間 $F_n$ に値をとる。各 $F_n$ の可算な稠密部分集合をすべて合わせた集合は可算であり、その有理係数の有限一次結合の全体は、$\bigcup_nF_n$ が張る閉部分空間 $F$ の中で稠密である。よって $F$ は可分である。$f_n\to f$ となる点の集合の補集合と $\bigcup_nN_n$ を合わせた零集合の外では、$f(\omega)=\lim f_n(\omega)$ は閉集合 $F$ に属する。また $\ell\in E^*$ について、$\ell\circ f$ は a.e. で a.e. 可測関数 $\ell\circ f_n$ の極限なので a.e. 可測である。thm-pettis-main から $f$ は強可測である。$\square$

$Y^*$ が可分なら $Y$ も可分であり（Bre11 Theorem 3.26、p. 73）、$D$ がとれる。$y\in D$ を $Y^*$ 上の汎関数 $\varphi\mapsto\varphi(y)$ とみなすと、そのノルムは $\|y\|\le1$ である。双対ノルムの定義と $D$ の稠密性から $\|\varphi\|=\sup_{y\in D}|\varphi(y)|$ なので、$D$ は $Y^*$ の可算なノルム決定族である。$F=Y^*$ として prop-pettis-countable を当てればよい。$\square$

可算な台。 $x\in\ell^2(I)$ について、$\{t:|x_t|\ge1/k\}$ の元の個数は $k^2\|x\|^2$ 以下なので有限である。$k$ について和をとると、$x$ の $0$ でない成分は可算個である。
弱可測性。 Rieszの表現定理 により、$\ell\in\ell^2(I)^*$ は $a\in\ell^2(I)$ を用いて $\ell(x)=\langle x,a\rangle=\sum_ta_tx_t$ と書ける。$\ell(f(t))=a_t$ は可算個の $t$ を除いて $0$ である。可算集合は Lebesgue 零集合なので、$\ell\circ f$ は a.e. で $0$ に等しく、a.e. 可測である。
本質的に可分値でない。 $F$ を可分な閉部分空間とし、可算な稠密部分集合 $\{x^{(j)}\}$ をとる。各 $x^{(j)}$ の $0$ でない成分の添字を全部集めた集合 $J_0$ は可算である。$F$ の元は $x^{(j)}$ たちの極限であり、各座標 $x\mapsto x_t$ は連続なので、$F$ の元の $0$ でない成分の添字は $J_0$ に入る。よって $f(t)=e_t\in F$ となるのは $t\in J_0$ のときだけで、$\{t:f(t)\in F\}$ は零集合である。どの零集合 $N$ をとっても $[0,1]\setminus N$ は零集合でないので、$f$ は本質的に可分値でない。thm-pettis-main により $f$ は強可測でない。$\square$