Picardの小定理

$f(z)=z+\sum_{n\ge2}c_nz^n$ と書く。$0< r<1$ に対し、半径 $r$ の円周での係数の評価（Cauchyの積分公式 の命題「Cauchy の評価式」）から $|c_n|\le M/r^n$ であり、$r\to1$ として $|c_n|\le M$ を得る。$n=1$ で $1\le M$ である。
$\rho:=\frac1{4M}$ とおくと $\rho\le\frac14$ である。$|z|=\rho$ なら
$$ |f(z)|\ge\rho-\sum_{n\ge2}M\rho^n=\rho-\frac{M\rho^2}{1-\rho}=\frac1{4M}-\frac1{4(4M-1)}\ge\frac1{4M}-\frac1{12M}=\frac1{6M} $$
である。途中で $4M-1\ge3M$（$M\ge1$ による）を使った。$|w|<\frac1{6M}$ とすると、円周 $|z|=\rho$ 上で $|(f(z)-w)-f(z)|=|w|<|f(z)|$ である。Rouchéの定理 の定理「Rouché の定理」（$K$ を閉円板 $|z|\le\rho$、$\gamma$ をその円周とする）により、$f-w$ と $f$ は $|z|<\rho$ に同じ個数の零点をもつ。$f(0)=0$ なのでその個数は $1$ 以上であり、$f(z)=w$ となる $|z|<\rho$ がある。$\square$

$0\le r\le1$ に対し $K(r):=\max_{|z|=r}|f'(z)|$、$h(r):=(1-r)K(r)$ とおく。$f'$ は $\overline D$ 上で一様連続なので $K$ と $h$ は連続であり、$h(0)=|f'(0)|=1$、$h(1)=0$ である。集合 $\{r\in[0,1]:h(r)=1\}$ は空でない閉集合なので最大元 $r_0$ をもち、$r_0<1$ である。$r_0< r\le1$ なら $h(r)<1$ である（$h(r)\ge1$ なら、$h(1)=0$ と中間値の定理により $[r,1]$ に $h=1$ となる点があり、$r_0$ の最大性に反する）。
$|a|=r_0$、$|f'(a)|=K(r_0)=\frac1{1-r_0}$ となる点 $a$ をとり、$\rho_0:=\frac{1-r_0}2$、$r_1:=r_0+\rho_0=\frac{1+r_0}2<1$ とおく。$B(a,\rho_0)$ の点 $z$ は $|z|< r_1$ を満たす。開写像定理(複素解析) の系「正則関数の最大値原理」により、$|f'|$ の閉円板 $|z|\le r_1$ 上の最大値は円周 $|z|=r_1$ でとられるので、$z\in B(a,\rho_0)$ について
$$ |f'(z)|\le K(r_1)=\frac{h(r_1)}{1-r_1}<\frac1{1-r_1}=\frac2{1-r_0}=\frac1{\rho_0} $$
である。
$D$ 上の関数 $g(\zeta):=\dfrac{f(a+\rho_0\zeta)-f(a)}{\rho_0f'(a)}$ を考える。$g(0)=0$、$g'(0)=1$ である。$\rho_0|f'(a)|=\frac{1-r_0}2\cdot\frac1{1-r_0}=\frac12$ なので、
$$ |g(\zeta)|=\frac1{\rho_0|f'(a)|}\Bigl|\int_0^1\rho_0\zeta f'(a+t\rho_0\zeta)\,dt\Bigr|\le2\rho_0|\zeta|\cdot\frac1{\rho_0}<2 $$
である。lem-lp-bounded-image を $M=2$ で使うと $g(D)\supset B(0,\frac1{12})$ である。$f(a+\rho_0\zeta)=f(a)+\rho_0f'(a)g(\zeta)$ と $\rho_0|f'(a)|=\frac12$ により、$f(B(a,\rho_0))\supset B(f(a),\frac1{24})$ である。$B(a,\rho_0)\subset D$ なので主張を得る。$\square$

$f(\zeta):=\dfrac{F(z_0+R\zeta)}{RF'(z_0)}$ は整関数で $f'(0)=1$ である。lem-lp-bloch により $f(D)$ はある $B(c,\frac1{24})$ を含む。$F(B(z_0,R))=RF'(z_0)\cdot f(D)$ は $B\bigl(RF'(z_0)c,\frac{R|F'(z_0)|}{24}\bigr)$ を含む。$\square$

1：$e^{x_n}=\sqrt n+\sqrt{n-1}$、$e^{-x_n}=\dfrac1{\sqrt n+\sqrt{n-1}}=\sqrt n-\sqrt{n-1}$ なので $\cosh x_n=\sqrt n$ である。$\cosh(x+iy)=\cosh x\cos y+i\sinh x\sin y$ に $y=\pi m$ を入れると $\cosh(\pm x_n+\pi im)=(-1)^m\cosh x_n$ なので、$\cosh^2w=n$ である。
2：$x_1=0$ で、$x_n$ は $n$ について単調に増加し、$x_n\to\infty$ である。隣り合う差は
$$ x_{n+1}-x_n=\log\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt n}{\sqrt n+\sqrt{n-1}}\le\log\bigl(1+\sqrt2\bigr)<1 $$
である。ここで $\sqrt{n+1}\le\sqrt2\sqrt n$ から $\sqrt{n+1}+\sqrt n\le(1+\sqrt2)\sqrt n\le(1+\sqrt2)(\sqrt n+\sqrt{n-1})$ を使った。よって実数の集合 $\{\pm x_n\}$ は、隣り合う点の間隔が $1$ 未満で両方向に限りなく延びるので、どの実数 $t$ にも $|t-x|\le\frac12$ となる点 $x$ がある。虚部の集合 $\pi\mathbb{Z}$ については、どの実数 $s$ にも $|s-\pi m|\le\frac\pi2$ となる $m$ がある。したがって任意の $c\in\mathbb{C}$ に対し、$A$ の点 $w$ で
$$ |c-w|\le\sqrt{\tfrac14+\tfrac{\pi^2}4}<2 $$
となるものがある（$\pi^2<10$ より根号の中は $\frac{11}4<4$）。$\square$

$f$ を相異なる $a,b$ をとらない整関数とする。$f_1:=(f-a)/(b-a)$ は $0$ と $1$ をとらない整関数で、$f_1$ が定数なら $f$ も定数である。よって $f$ は $0$ と $1$ をとらないとしてよい。
対数をとる. $f$ は零点をもたないので、整関数 の命題「零点をもたない整関数」により $f=ce^{G}$（$c\ne0$、$G$ は整関数）と書ける。$c=e^{c'}$ となる $c'$ をとり $h:=(G+c')/(2\pi i)$ とおくと、$h$ は整関数で $f=e^{2\pi ih}$ である。$e^{2\pi ih(z)}=1$ となるのは $h(z)\in\mathbb{Z}$ のときに限るので、$f\ne1$ から $h$ は整数の値をとらない。
平方根をとる. とくに $h$ と $h-1$ は零点をもたない。再び同じ命題により $h=c_1e^{G_1}$ と書けるので、$c_1$ の平方根 $\sqrt{c_1}$ を 1 つ選んで $S:=\sqrt{c_1}e^{G_1/2}$ とおくと、$S$ は整関数で $S^2=h$ である。同様に $T^2=h-1$ となる整関数 $T$ がある。$(S+T)(S-T)=S^2-T^2=1$ なので、$g:=S+T$ は零点をもたず、$S-T=1/g$ である。もう一度同じ命題により $g=e^{H}$ となる整関数 $H$ がとれる。すると
$$ S=\frac{g+g^{-1}}2=\cosh H,\qquad h=S^2=\cosh^2H $$
である。
$H$ の像を調べる. $h$ は整数の値をとらないので、lem-lp-cosh-lattice の 1 により $H$ は集合 $A$ の点を値にとらない。lem-lp-cosh-lattice の 2 により、$H(\mathbb{C})$ は半径 $2$ の開円板を含まない。もし $H'(z_0)\ne0$ となる点 $z_0$ があれば、cor-lp-entire-disk を $R:=48/|H'(z_0)|$ で使うと、$H(\mathbb{C})$ は半径 $2$ の開円板を含むことになり、矛盾する。よって $H'$ は恒等的に $0$ で、$H$ は定数である。したがって $h=\cosh^2H$ も、$f=e^{2\pi ih}$ も定数である。$\square$

$e^f$ は $0$ をとらない。$e^{f(z)}=1$ なら $e^{g(z)}=0$ となって不可能なので、$e^f$ は $1$ もとらない。thm-lp-main により $e^f$ は定数 $c$ で、微分すると $f'e^f=0$ から $f'=0$、すなわち $f$ は定数である。$e^g=1-c$ から $g$ も同様に定数である。$\square$

要点：$f$ の不動点は $f\circ f$ の不動点なので、$f(z)\ne z$ である。比 $\dfrac{f(f(z))-z}{f(z)-z}$ が $0$ と $1$ を避けることから、Picard の小定理を 2 回使う。

要点：2 つの値を避けるなら、$f(2^{-n}z)$ の族は円環上で正規族になり、$f$ は原点の近くの円周の列の上で有界になるか、無限大に向かう。最大値原理によりそれぞれ除去可能特異点・極になり、真性特異点であることに反する。

$F(w):=f(1/w)$ は $0<|w|<\infty$ で正則で、$f$ が多項式でないので $w=0$ は $F$ の真性特異点である（整関数 の命題「無限遠の特異点による分類」）。相異なる 2 つの値 $c_1,c_2$ を $f$ が有限回しかとらないとすると、それらをとる点の絶対値の最大値より大きい $R$ について、$F$ は $0<|w|<1/R$ で $c_1,c_2$ をとらない。これは thm-lp-big に反する。$\square$