Pontryagin–Thomの定理

$L_0\in\mathrm{Gr}_q(\mathbb R^r)$ を固定し、$V_0:=L_0^\perp$ とおく。$X\in\operatorname{Hom}(L_0,V_0)$ について $\Gamma_X:=\{u+Xu\mid u\in L_0\}$ は $q$ 次元部分空間で、$L_0$ の正規直交基底を並べた $r\times q$ 行列 $Q$ を使うと、$C_X:=(\mathrm{id}+X)Q$ の列は $\Gamma_X$ の基底であり、$\Gamma_X$ への直交射影は $C_X(C_X^{\mathsf T}C_X)^{-1}C_X^{\mathsf T}$ と書けるので $X$ について滑らかである。$\varphi(X,a):=(\Gamma_X,\ a+Xa)$（$a\in L_0$）とおく。

$\mathcal U:=\{(L,v)\in\mathbb R^{r\times r}\times\mathbb R^r\mid L_0L|_{L_0}\colon L_0\to L_0\ \text{は可逆}\}$ は開集合で、$\psi(L,v):=\bigl((1-L_0)L(L_0L|_{L_0})^{-1},\ L_0v\bigr)$ は $\mathcal U$ 上で滑らかである（$L_0$ を射影の行列とみている）。$L=\Gamma_X$ なら $L_0L|_{L_0}$ は可逆である：$L_0Lu=0$ なら $Lu\in\Gamma_X\cap V_0=0$ なので $u\perp\Gamma_X$ であり、$u\in L_0$ なら $|u|^2=\langle u,u+Xu\rangle=0$ となる。$u\in L_0$ について $Lu\in\Gamma_X$ は $u':=L_0Lu$ を使って $Lu=u'+Xu'$ と書けるので $(1-L_0)Lu=XL_0Lu$、すなわち $\psi(\varphi(X,a))=(X,a)$ である。逆に $(L,v)\in E^r\cap\mathcal U$ なら、$L_0|_L\colon L\to L_0$ は全射（$L$ は $L(L_0)$ を含む）で次元が等しいので同型であり、$L$ はある $X'$ のグラフで、同じ計算で $X'$ は $\psi$ の第 1 成分に等しく、$v\in L$ から $v=L_0v+X'L_0v$ となる。すなわち $\varphi(\psi(L,v))=(L,v)$ である。よって $\varphi$ は $\operatorname{Hom}(L_0,V_0)\times L_0$ から $E^r$ の開集合 $E^r\cap\mathcal U$ への同相写像で、滑らかな左逆写像 $\psi$ をもつので単射なはめ込みである。はめ込みと埋め込み(可微分多様体) の定理「埋め込みの像は部分多様体」により $E^r\cap\mathcal U$ は部分多様体であり、$E^r$ はこれらで覆われるので部分多様体である。$a=0$ に制限すれば $\mathrm{Gr}_q(\mathbb R^r)$ と $Z^r$ について同じことが言える。$E^r$ は多項式の等式 $L^{\mathsf T}=L=L^2$、$\operatorname{tr}L=q$、$Lv=v$ で定まるので閉集合であり、$\mathrm{Gr}_q(\mathbb R^r)$ は $|Le_i|\le1$ より有界でもあるのでコンパクトである。次元は $\dim\operatorname{Hom}(L_0,V_0)=q(r-q)$ から従う。

2：$\varphi$ の $(0,0)$ での微分は $(\dot X,0)\mapsto(\dot L,0)$、$(0,\dot a)\mapsto(0,\dot a)$ なので、$T_{(L_0,0)}Z^r$ は第 2 成分が $0$ のベクトルからなり、$\{0\}\times L_0\subset T_{(L_0,0)}E^r$ である。次元が足し合わさるので直和である。$E^r$ 上の曲線 $(L(\tau),v(\tau))$、$v(0)=0$ について $L(\tau)v(\tau)=v(\tau)$ を $\tau=0$ で微分すると $L(0)\dot v=\dot v$ なので $\dot v\in L_0$ である。したがって直和の第 2 成分への射影は $(\dot L,\dot v)\mapsto\dot v$ であり、横断性（$dg_x(T_xX)+T_{(L,0)}Z^r=T_{(L,0)}E^r$）は $d(v_g)_x(T_xX)=L$ と同値である。

3：写像は線形写像の制限なので滑らかで、左逆写像（行列と列ベクトルの対応する成分を取り出す写像）は滑らかである。像は閉集合で、残りは定義から明らかである。$\square$

1：$C\subset T^r$ が $T^r$ の閉集合なら、$r'\ge r$ では $C\cap T^{r'}=C$ は $T^{r'}$ の閉集合であり（$T^r$ は $T^{r'}$ の閉集合）、$r'< r$ では $C\cap T^{r'}$ は $T^{r'}$ の閉集合（$T^{r'}$ は $T^r$ の部分空間）である。よって $C$ は $TO(q)$ の閉集合である。逆向きは位相の定義そのものである。

2：コンパクト集合 $K$ がどの $T^r$ にも含まれないとすると、$r_1< r_2<\cdots$ と $x_k\in K\cap(T^{r_k}\setminus T^{r_k-1})$ がとれる。$Y:=\{x_k\}$ のどの部分集合 $Y'$ も、各 $T^r$ と有限個の点でしか交わらず、$T^r$ は Hausdorff なので $Y'\cap T^r$ は閉集合である。よって $Y'$ は $TO(q)$ の閉集合であり、$Y$ は無限個の点からなる閉じた離散集合である。$Y$ はコンパクト集合 $K$ の閉集合なのでコンパクトであるが、無限の離散空間はコンパクトでないので矛盾する。

3：像はコンパクトなので 2 によりある $T^r$ に含まれ、1 により $T^r$ への写像として連続である。ホモトピーは $S^N\times[0,1]$ からの写像なので同じことが言える。$\square$

1：値が有限な点 $(u_0,(L_0,v_0))$（$u_0|v_0|^2< R^2$）の近くでは式そのものが連続である。値が $\infty$ になる点の近くを調べる。$\infty$ の近傍は $E^r$ のコンパクト集合の補集合で、コンパクト集合は $|v|\le b$ をみたすので、「$\infty$ または $|v|>b$」の形の集合に写ることを示せばよい。値が有限なら出力のノルムは $|v|/(1-u|v|^2/R^2)\ge|v|$ である。入力が $\infty$ の点では、近傍 $\{|v|>b\}\cup\{\infty\}$ の点は $\infty$ か $|v|>b$ の点に写る。入力が有限で $u_0|v_0|^2\ge R^2$ の点では $|v_0|\ge R$ であり、近くで $|v|>R/2$、$u|v|^2/R^2>1-R/(2b)$ とすると、値が有限な点では $1-u|v|^2/R^2< R/(2b)<|v|/b$ なので出力のノルムは $b$ より大きい。

2：$\lambda_R(v):=v/(1-|v|^2/R^2)$ は開球 $\{|v|< R\}$ から各部分空間 $L$ の上への、半径方向の微分同相写像で、逆写像は $v'\mapsto2v'/\bigl(1+\sqrt{1+4|v'|^2/R^2}\bigr)$ である（$s:=|v|$ について $s/(1-s^2/R^2)=a$ を解くと $s=2a/(1+\sqrt{1+4a^2/R^2})$）。どちらも $|v|^2$ の滑らかな関数をかけたものなので滑らかで、$\lambda_R(v)=v+O(|v|^3)$ より $0$ での微分は恒等写像である。$\square$

lem-ptt-model の 1 により $E^r$ は $\mathbb R^m$（$m=r^2+r$）の閉部分多様体なので、管状近傍定理 の定理「管状近傍による引き込み」により、$E^r$ を含む開集合 $V_E$ と、$E^r$ の上で恒等写像となる滑らかな $\rho\colon V_E\to E^r$ がある。$Y:=f^{-1}(E^r)$ は開集合で、$K:=f^{-1}(D_2)\setminus O$ はコンパクトで $Y\setminus A$ に含まれる。隆起関数 の定理「コンパクト集合に対する隆起関数」により、$K$ のある開近傍 $\Omega_\lambda$ の上で $1$ となり、台 $S$ がコンパクトで $Y\setminus A$ に含まれる滑らかな $\lambda\colon X\to[0,1]$ をとる。

段 1（滑らかにする）．$f(S)$ はコンパクトなので、$\delta_1>0$ を、$f(S)$ からの距離が $\delta_1$ 以下の点の集合 $N_1$ が $V_E$ に含まれるようにとる。$\rho$ はコンパクト集合 $N_1$ の上で一様連続なので、$0<\delta\le\delta_1$ を、距離が $\delta$ 未満の $N_1$ の 2 点の $\rho$ による値の距離が $\tfrac12$ 未満になるようにとる。Whitneyの近似定理 の定理「Whitneyの近似定理」（$A=\emptyset$）により、滑らかな $h\colon Y\to\mathbb R^m$ で $|h-f|<\delta$ となるものがある。$Y$ の上で $F^1_s:=\rho\bigl((1-s\lambda)f+s\lambda h\bigr)$、$S$ の外で $F^1_s:=f$ とおく。$S$ の上で括弧の中の点は $N_1$ に入るので、$F^1$ は $X\times[0,1]$ 上で連続である。$F^1_1$ は $\Omega_\lambda$ では $\rho\circ h$ であり、$O\cap Y$ では $f$ が滑らかなので、開集合 $\Omega:=\Omega_\lambda\cup O$ と $(F^1_1)^{-1}(E^r)$ の共通部分の上で滑らかである。$S$ の上で $|F^1_1-f|<\tfrac12$ なので、$F^1_1(x)\in D_1$ なら $f(x)\in D_2$ である（$x\notin S$ なら $F^1_1(x)=f(x)$）。$f^{-1}(D_2)\subset K\cup O\subset\Omega$ なので、$(F^1_1)^{-1}(D_1)\subset\Omega$ である。

段 2（切り詰める）．$F^2_s:=\kappa_{s,1}\circ F^1_1$（lem-ptt-cutoff）とおく。$(F^2_1)^{-1}(E^r)=(F^1_1)^{-1}(\{|v|<1\})\subset\Omega$ であり、$\kappa_1$ は $\{|v|<1\}$ を $E^r$ に微分同相に写すので、$F^2_1$ は $(F^2_1)^{-1}(E^r)$ の上で滑らかである。$A$ を含む開集合 $X\setminus S$ の上では $F^2_1=\kappa_1\circ f$ であり、そこで $F^2_1(x)\in E^r$ なら $x\in f^{-1}(D_1)\setminus S\subset O$（$K\subset S$）なので、$\kappa_1$ が零切断を保つ微分同相であることから、$F^2_1$ は $x$ で $Z^r$ に横断的である。

段 3（ファイバーの中で動かす）．$(F^2_1)^{-1}(E^r)$ の上で $F^2_1=(L,v)$ と書き、$K_2:=(F^2_1)^{-1}(D_{1/2})\cap S$ とおく。$K_2$ はコンパクトで $(F^2_1)^{-1}(E^r)\setminus A$ に含まれるので、$K_2$ の近傍で $1$ となり、台がコンパクトで $(F^2_1)^{-1}(E^r)\setminus A$ に含まれる滑らかな $\mu\colon X\to[0,1]$ がある。$B\subset\mathbb R^r$ を中心 $0$、半径 $\tfrac12$ の開球とし、$$\Phi(x,a):=\bigl(L(x),\ v(x)+\mu(x)L(x)a\bigr)\qquad(x\in(F^2_1)^{-1}(E^r),\ a\in B)$$とおく（$L(x)$ は射影の行列なので値は $E^r$ に入る）。$\Phi$ は滑らかで、$Z^r$ に横断的である。実際、$\Phi(x,a)\in Z^r$ なら $|v(x)|<\tfrac12$ である。$\mu(x)>0$ なら、$a$ 方向の微分の第 2 成分の像は $L(x)$ 全体である。$\mu(x)=0$ なら $x\notin K_2$ なので $x\notin S$ であり、段 2 により $F^2_1$ は $x$ で横断的である。$\mu\ge0$ は $x$ で最小値をとるので $d\mu_x=0$ であり、$x$ 方向の第 2 成分の微分は $dv_x$ に等しい。どちらの場合も lem-ptt-model の 2 により横断的である。横断性定理 の定理「パラメータ族の横断性定理」により、$\Phi(\cdot,a)$ が横断的となる $a\in B$ がある。$(F^2_1)^{-1}(E^r)$ の上で $F^3_s:=\Phi(\cdot,sa)$、$\mu$ の台の外で $F^3_s:=F^2_1$ とおく。

$F^1$、$F^2$、$F^3$ をこの順につないだホモトピーを $F$ とすると、$F_1=F^3_1$ は横断的である。$C:=S\cup\operatorname{supp}\mu$ の外では $F^1_s=f$、$F^2_s=\kappa_{s,1}\circ f$、$F^3_s=\kappa_{1,1}\circ f$ なので 2 が成り立ち、$A$ の開近傍 $X\setminus C$ の上で 3 が成り立つ。$\square$

1．lem-ptt-compact により代表 $f\colon S^N\to T^r$ がとれる。$f^{-1}(D_2)$ は $S^N$ の閉集合で $\infty$ を含まないので、$\mathbb R^N$ のコンパクト集合である。lem-ptt-transverse を $X=\mathbb R^N$、$O=A=\emptyset$ で当てると、補題の 2 によりホモトピーはコンパクト集合の外で $\kappa_{u(s),1}\circ f$ なので、$\infty$ を $\infty$ に送って $S^N\times[0,1]$ 上の基点付きホモトピーに延びる。その終わりの写像が求める代表である。

2．$g_0$、$g_1$ を同じ元の横断的な代表とする。lem-ptt-compact の 3 と、横断性が段を上げても保たれることから、ある $T^r$ の中の基点付きホモトピー $H\colon S^N\times[0,1]\to T^r$ で $g_0$ と $g_1$ をつなぐものがあるとしてよい。滑らかな $\varphi\colon\mathbb R\to[0,1]$ を $t\le\tfrac13$ で $0$、$t\ge\tfrac23$ で $1$ にとり、$X:=\mathbb R^N\times\mathbb R$ 上で $f(y,t):=H(y,\varphi(t))$、$O:=\mathbb R^N\times\bigl((-\infty,\tfrac13)\cup(\tfrac23,\infty)\bigr)$、$A:=\mathbb R^N\times\bigl((-\infty,\tfrac14]\cup[\tfrac34,\infty)\bigr)$ とおく。$O$ の上で $f$ は $g_0$ または $g_1$ と射影の合成なので横断的である。$f^{-1}(D_2)\setminus O$ は $\{(y,t)\mid\tfrac13\le t\le\tfrac23,\ H(y,\varphi(t))\in D_2\}$ に含まれ、$H^{-1}(D_2)$ は $\{\infty\}\times[0,1]$ と交わらないコンパクト集合なので、これは有界閉集合でありコンパクトである。lem-ptt-transverse の $F_1$ について、$V:=F_1^{-1}(Z^r)$ は $\mathbb R^N\times\mathbb R$ の $(n+1)$ 次元の部分多様体で、補題の 3 と $\kappa_1$ が零切断の逆像を変えないことから、$t<\tfrac14$ では $M_{g_0}\times(-\infty,\tfrac14)$ に、$t>\tfrac34$ では $M_{g_1}\times(\tfrac34,\infty)$ に一致する。$H$ は $\{\infty\}\times[0,1]$ を $\infty$ に送るので、$|y|$ が大きい点では $H(y,t)\notin D_1$ であり、補題の 2 により補題の $C$ の外の $|y|$ が大きい点で $F_1=\infty$ となる。よって $W:=V\cap(\mathbb R^N\times[0,1])$ は有界閉集合でコンパクトであり、$\partial W=M_{g_0}\times\{0\}\sqcup M_{g_1}\times\{1\}$ の境界付き多様体である（境界の近くでは $M_{g_i}$ と区間の積である）。したがって $[M_{g_0}]=[M_{g_1}]$ である。

3．$\tau(s):=\tan\pi(s-\tfrac12)$ とし、$s\mapsto(\tau(s_1),\dots,\tau(s_N))$ で $I^N/\partial I^N$ と $(\mathbb R^N)^+$ を同一視すると、ホモトピー群 の定義「ホモトピー群の演算（$n\geq1$）」の和 $[g_1]+[g_2]$ は、$y_1<0$ で $g_1\circ\psi_-$、$y_1>0$ で $g_2\circ\psi_+$、$y_1=0$ と $\infty$ で $\infty$ となる写像 $g$ で代表される。ここで $\psi_-$ は開半空間 $\{y_1<0\}$ で第 1 座標を $\tau(2\tau^{-1}(y_1))$ に替える写像、$\psi_+$ は $\{y_1>0\}$ で $\tau(2\tau^{-1}(y_1)-1)$ に替える写像で、どちらも $\mathbb R^N$ の上への微分同相写像である。$g_1$、$g_2$ が横断的なら $g$ も横断的で、$M_g=\psi_-^{-1}(M_{g_1})\sqcup\psi_+^{-1}(M_{g_2})$ は $M_{g_1}\sqcup M_{g_2}$ と微分同相である。よって $\beta([g_1]+[g_2])=\beta([g_1])+\beta([g_2])$ である。$\square$

$|A_xv|< R$ なら $|v|\le|A_xv|/m_A< R/m_A<\varepsilon_M$ なので、$x+v$ から $(x,v)$ はただ一通りに定まり、$c_{A,R}$ は矛盾なく定まる。$L_A$ は滑らかである。実際、$\nu M$ は滑らかなベクトル束なので（管状近傍定理 の命題「法束の局所表示」）局所的に滑らかな基底 $e_1,\dots,e_q$ がとれ、$A_xe_i$ を並べた $r\times q$ 行列 $P(x)$ は階数 $q$ で、$L_A(x)=P(P^{\mathsf T}P)^{-1}P^{\mathsf T}$ である。$M_{\varepsilon_M}$ の上では $c_{A,R}=\kappa_R\circ\Lambda\circ\theta^{-1}$（$\Lambda(x,v):=(L_A(x),A_xv)$、$\kappa_R$ は lem-ptt-cutoff）なので連続である。$K:=\theta(\{|v|\le R/m_A\})$ はコンパクトで $M_{\varepsilon_M}$ に含まれ、$c_{A,R}$ は $S^N\setminus K$ の上で $\infty$ である。2 つの開集合 $M_{\varepsilon_M}$、$S^N\setminus K$ は $S^N$ を覆うので、$c_{A,R}$ は連続である。$c_{A,R}^{-1}(E^r)=\theta(\{|A_xv|< R\})$ の上で $c_{A,R}$ は滑らかで、零切断の逆像は $v=0$、すなわち $M$ である。$x\in M$ で $v\mapsto\lambda_R(A_xv)$ の $0$ での微分は $A_x$ で、その像は $L_A(x)$ なので、lem-ptt-model の 2 により横断的である。最後の主張は prop-ptt-beta の 2 の定義による。$\square$

$A$ の性質：$M$ の上で $v_g=0$ なので、$d(v_g)_x$ は $T_xM$ の上で $0$ である。lem-ptt-model の 2 により横断性は $d(v_g)_x(\mathbb R^N)=L_g(x)$ を意味するので、$A_x\colon\nu_x\to L_g(x)$ は全射で、次元がともに $q$ なので同型である。$(x,v)\mapsto d(v_g)_x(v)$ は滑らかなので、$A$ は単射族で $L_A=L_g|_M$ である。$M=\emptyset$ なら $c_{A,R}$ は定値写像 $\infty$ で、以下の議論はそのまま通る。

半径：$U$ は開集合で $M$ はコンパクトなので、$0<\varepsilon\le\tfrac12\varepsilon_M$ を、閉じた管 $N_\varepsilon:=\theta(\{|v|\le\varepsilon\})$ が $U$ に含まれるようにとれる。$d(v_g)$ はコンパクト集合 $N_\varepsilon$ の上で一様連続なので、$\varepsilon$ を小さくして、$u\in\nu_x$、$|u|\le\varepsilon$ なら作用素ノルムで $\|d(v_g)_{x+u}-d(v_g)_x\|\le m_A/2$ となるようにできる。$S^N\setminus\theta(\{|v|<\varepsilon\})$ はコンパクトで、その $g$ による像は $Z^r$ と交わらず、$\bigcap_jD_{1/j}=Z^r$ なので、ある $R_1>0$ についてこの像は $D_{R_1}$ と交わらない。$R_0:=\min(R_1,\ m_A\varepsilon/2)$ とし、$0< R< R_0$ とする。

差分商：$0< s\le1$、$|v|\le\varepsilon$ について $w_s(x,v):=v_g(x+sv)/s$、$L_s(x,v):=L_g(x+sv)$ とし、$w_0(x,v):=A_xv$、$L_0(x,v):=L_g(x)$ とおく。$v_g(x)=0$ なので、微積分の基本定理により $$w_s(x,v)-A_xv=\int_0^1\bigl(d(v_g)_{x+\tau sv}-d(v_g)_x\bigr)(v)\,d\tau$$ であり、$|w_s(x,v)-A_xv|\le\tfrac{m_A}2|v|$、したがって $|w_s(x,v)|\ge\tfrac{m_A}2|v|$ である。同じ式と一様連続性により $s\to0$ で $w_s\to w_0$ は一様に収束するので、$(s,x,v)\mapsto(L_s,w_s)\in E^r$ は $[0,1]\times\{|v|\le\varepsilon\}$ 上で連続である（$w_s\in L_s$ は定義から、$s=0$ では $A_xv\in L_g(x)$ から従う）。

ホモトピー：$|v|\le\varepsilon$ で $\Gamma_s(x+v):=\kappa_R(L_s(x,v),w_s(x,v))$、$\theta(\{|v|<\varepsilon\})$ の外で $\Gamma_s:=\infty$ とおく。$|v|=\varepsilon$ では $|w_s|\ge m_A\varepsilon/2>R$ なので 2 つの定めは $\infty$ で一致し、$\Gamma$ は 2 つの閉集合の上の連続写像を貼り合わせたものとして $[0,1]\times S^N$ 上で連続で、基点を保つ。管の外では $g(y)\notin D_R$ なので $\kappa_R(g(y))=\infty$ であり、$\Gamma_1=\kappa_R\circ g$ である。$|A_xv|< R$ なら $|v|<\varepsilon$ なので、$\Gamma_0(x+v)=\kappa_R(L_g(x),A_xv)$ は $c_{A,R}$ に等しい。lem-ptt-cutoff の $\kappa_{u,R}\circ g$ が $g$ と $\kappa_R\circ g$ をつなぐので、$g\simeq\kappa_R\circ g=\Gamma_1\simeq\Gamma_0=c_{A,R}$ である。$\square$

微分同相 $\partial W\cong M$ で $\partial W$ と $M$ を同一視する。カラー近傍定理 の定理「カラー近傍定理」のカラーをとって 多様体の二重化 の定理「二重化の滑らかな構造」を当てると、$D:=D(W)$ は $(n+1)$ 次元の閉多様体で、$\Theta\colon M\times(-1,1)\to D$ は開集合への微分同相写像、$i_0\colon W\to D$ は閉集合 $i_0(W)$ への微分同相写像であり、$\Theta(x,t)$ は $t\ge0$ なら $i_0(W)$、$t\le0$ なら $i_1(W)$ に属する。

関数の準備：滑らかな $\chi\colon(-1,1)\to\mathbb R$ を、単調増加で、$|t|\le\tfrac12$ で $\chi(t)=t$、$|t|\ge\tfrac34$ で $\chi(t)=\pm1$（$t$ の符号）となるようにとる。$D$ 上の関数 $T$ を、$\Theta(x,t)$ で $\chi(t)$、$\Theta$ の像の外の $i_0(W)$ の点で $1$、$i_1(W)$ の点で $-1$ と定める。偶関数 $\varphi_1,\varphi_2\colon(-1,1)\to[0,1]$ を、$\varphi_1$ は $|t|\le\tfrac14$ で $0$、$|t|\ge\tfrac38$ で $1$、$\varphi_2$ は $|t|\le\tfrac12$ で $1$、$|t|\ge\tfrac34$ で $0$ となる滑らかな関数とし、$\Theta(x,t)$ で $\lambda:=\varphi_1(t)$、$\Psi_0:=\varphi_2(t)x\in\mathbb R^N$、$\Theta$ の像の外で $\lambda:=1$、$\Psi_0:=0$ とおく。$\Theta(M\times(-1,1))$ と $D\setminus\Theta(M\times[-\tfrac34,\tfrac34])$ は $D$ を覆う開集合で、重なりでは 2 つの定めが一致するので、$T,\lambda,\Psi_0$ は滑らかである。Whitneyの埋め込み定理 の定理「コンパクトな多様体の埋め込み」により、埋め込み $j\colon D\to\mathbb R^{2n+3}$ をとる。

最初の埋め込み：$\Phi:=(\Psi_0,T,\lambda j)\colon D\to\mathbb R^N\times\mathbb R\times\mathbb R^{2n+3}$ は単射なはめ込みである。実際、$T(p)=T(p')=s$ とする。$|s|<\tfrac12$ なら $p=\Theta(x,s)$、$p'=\Theta(x',s)$ と書け、$\Psi_0$ の値から $x=x'$ である。$|s|\ge\tfrac12$ なら $p,p'$ は $\Theta(M\times(-\tfrac12,\tfrac12))$ の外にあって $\lambda=1$ なので、$j(p)=j(p')$ から $p=p'$ である。$\Theta(M\times(-\tfrac12,\tfrac12))$ の上では $(\Psi_0,T)=(x,t)$ がはめ込みであり、開集合 $D\setminus\Theta(M\times[-\tfrac38,\tfrac38])$ の上では $\lambda=1$ なので $\lambda j=j$ がはめ込みである。$\Theta(M\times(-\tfrac14,\tfrac14))$ の上では $\Phi(\Theta(x,t))=(x,t,0)$ である。

射影で次元を下げる：$\Phi=(\Psi,T,z)\colon D\to\mathbb R^N\times\mathbb R\times\mathbb R^k$（$k\ge1$）が単射なはめ込みで、$\Theta(M\times(-\tfrac14,\tfrac14))$ の上で $(x,t,0)$ に等しいとする。$p\ne p'$、$a\in\mathbb R$ について $\sigma(p,p',a):=a\bigl(\Psi(p)-\Psi(p'),\ z(p)-z(p')\bigr)$、$\xi\in TD$ について $\sigma'(\xi):=(d\Psi(\xi),dz(\xi))$ とおく。これらは次元 $2n+3$、$2n+2$ の多様体から $\mathbb R^{N+k}$（$N+k\ge2n+4$）への滑らかな写像なので、局所座標で Sardの定理 の補題「次元の低い空間からの写像の像」を当てて可算個の和をとると、像は測度零である。像はスカラー倍で閉じているので、最後の成分が $1$ で $\sigma$、$\sigma'$ の像に入らないベクトル $e=(e_y,e',1)\in\mathbb R^N\times\mathbb R^{k-1}\times\mathbb R$ がある。線形写像 $\pi_e(y,s,z',z_k):=(y-z_ke_y,\ s,\ z'-z_ke')$ の核は $(e_y,0,e',1)$ で張られる。$p\ne p'$ で $\pi_e\Phi(p)=\pi_e\Phi(p')$ なら、$\Phi(p)-\Phi(p')$ は核の $0$ でない元なので $T(p)=T(p')$ であり、ある $a\ne0$ について $e=\sigma(p,p',a)$ となって矛盾する。同様に $\xi\ne0$ で $d(\pi_e\Phi)(\xi)=0$ なら $e$ は $\sigma'$ の像に入る。よって $\pi_e\circ\Phi$ は単射なはめ込みで、$T$ 成分を変えず、$z=0$ の点では $\Phi$ と同じ値をとる。これを $2n+3$ 回くり返すと、単射なはめ込み $\Phi'=(\Psi',T)\colon D\to\mathbb R^N\times\mathbb R$ で、$\Theta(M\times(-\tfrac14,\tfrac14))$ の上で $(x,t)$ に等しいものが得られる。

結論：$D$ はコンパクトなので、はめ込みと埋め込み(可微分多様体) の命題「コンパクトな多様体からの単射はめ込みは閉埋め込み」と定理「埋め込みの像は部分多様体」により、$\widehat W:=\Phi'(D)$ はコンパクトな部分多様体である。$|T|<\tfrac14$ となるのは $\Theta(M\times(-\tfrac14,\tfrac14))$ の点だけなので 1 が成り立つ。$T\ge0$ となるのは $i_0(W)$ の点だけなので、$W'=\Phi'(i_0(W))$ は $W$ と微分同相で、その境界は $\Phi'(\Theta(M\times\{0\}))=M\times\{0\}$ である。$\square$

1：$|te_1+s(v)|^2=t^2+|v|^2$ であり、$\mathrm{Gr}_q(\mathbb R^r)$ はコンパクトなので、$g(y)\to\infty$ は $|v|\to\infty$ を意味する。$T^{r+1}_{q+1}$ の $\infty$ の近傍はノルムが有界なコンパクト集合の補集合なので、$(t,y)$ が $\infty$ に近づくときや $g(y)$ が $\infty$ に近づくとき $\Sigma g$ は $\infty$ に近づき、$\Sigma g$ は連続である。基点付きホモトピー $(H_u)$ には $(\Sigma H_u)$ が対応し、段を上げる包含 $(L,v)\mapsto(L\oplus0,(v,0))$ と $\Sigma$ の式は可換である。lem-ptt-compact の 3 により $\Sigma$ は $\pi_N(TO(q))$ の上で定まる。

2：$y\in U_g$、$t\in\mathbb R$ で $\Sigma g$ は滑らかで、零切断の逆像は $t=0$ かつ $v(y)=0$ の点、すなわち $\{0\}\times M_g$ である。その点で第 2 成分の微分は $(\dot t,\dot y)\mapsto\dot te_1+s(dv_y(\dot y))$ で、lem-ptt-model の 2 により $dv_y$ の像は $L$ なので、その像は $\mathbb Re_1\oplus s(L)$ 全体である。よって $\Sigma g$ は横断的で、$\beta_{q+1}(\Sigma[g])=[\{0\}\times M_g]=[M_g]=\beta_q([g])$ である。

3：$q\ge n+3$ なら $q+1\ge n+3$ でもあるので、thm-ptt-main により $\beta_q$ と $\beta_{q+1}$ は群の同型であり、2 により $\Sigma=\beta_{q+1}^{-1}\circ\beta_q$ は群の同型である。列の余極限は共終な部分列 $q\ge n+3$ だけで決まるので、$\mathfrak N_n$ と同型である。$\square$

$\pi_k(TO(q))$ の元を、prop-ptt-beta の 1 の証明と同じく（$X=\mathbb R^k$ で lem-ptt-transverse を当てて）横断的な $g\colon S^k\to T^r$ で代表する。$g(x)\in Z^r$ となる点では、lem-ptt-model の 2 により $dv_x\colon\mathbb R^k\to L$ が $q$ 次元の $L$ の上への全射でなければならないが、$k< q$ なのでそのような点はない。よって $g(S^k)$ は $Z^r$ と交わらないコンパクト集合で、$\bigcap_jD_{1/j}=Z^r$ より、ある $a>0$ について $D_a$ とも交わらない。$0\le u<1$ で $\rho_u(L,v):=(L,v/(1-u))$、$\rho_u(\infty):=\infty$ とし、$\rho_1$ を定値写像 $\infty$ とする。$g(S^k)$ の点の $\rho_u$ による値は、有限ならノルムが $a/(1-u)$ 以上なので、$u\mapsto\rho_u\circ g$ は $g$ から定値写像への基点付きホモトピーである。$\square$