半単純Lie環

1. $\mathfrak{h}\subset\mathfrak{g}$ なら帰納法で $\mathfrak{h}^{(k)}\subset\mathfrak{g}^{(k)}$、全射準同型 $\varphi$ なら $\varphi(\mathfrak{g}^{(k)})=\varphi(\mathfrak{g})^{(k)}$ である。

2. $\pi\colon\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}/\mathfrak{i}$ について $(\mathfrak{g}/\mathfrak{i})^{(m)}=0$ なら $\pi(\mathfrak{g}^{(m)})=0$、すなわち $\mathfrak{g}^{(m)}\subset\mathfrak{i}$ である。$\mathfrak{i}^{(n)}=0$ なら $\mathfrak{g}^{(m+n)}=(\mathfrak{g}^{(m)})^{(n)}\subset\mathfrak{i}^{(n)}=0$ である。

3. $(\mathfrak{i}+\mathfrak{j})/\mathfrak{j}\cong\mathfrak{i}/(\mathfrak{i}\cap\mathfrak{j})$ は 1 により可解であり、$\mathfrak{j}$ も可解なので、2 により $\mathfrak{i}+\mathfrak{j}$ は可解である。次元が最大の可解イデアル $\mathfrak{r}$ と任意の可解イデアル $\mathfrak{i}$ について、$\mathfrak{r}+\mathfrak{i}$ は可解で $\mathfrak{r}$ を含むので $\mathfrak{r}+\mathfrak{i}=\mathfrak{r}$、すなわち $\mathfrak{i}\subset\mathfrak{r}$ である。$\square$

1. 可換イデアルは可解なので、半単純なら $0$ に限る。逆に $\mathfrak{r}=\operatorname{rad}\mathfrak{g}\neq0$ とし、$\mathfrak{r}^{(k)}\neq0=\mathfrak{r}^{(k+1)}$ となる $k$ をとる。$\mathfrak{r}^{(k)}$ は（イデアルどうしの括弧がイデアルであることから帰納的に）$\mathfrak{g}$ のイデアルで、$[\mathfrak{r}^{(k)},\mathfrak{r}^{(k)}]=0$ だから $0$ でない可換イデアルである。

2. $\mathfrak{g}$ は可換でないので $[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]$ は $0$ でないイデアルであり、$[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=\mathfrak{g}$ である。よって $\mathfrak{g}^{(k)}=\mathfrak{g}\neq0$ がすべての $k$ で成り立ち、$\mathfrak{g}$ は可解でない。$\operatorname{rad}\mathfrak{g}$ はイデアルで $\mathfrak{g}$ ではないので $0$ である。中心は可換イデアルなので 1 により $0$ である。$\square$

1. 対称性は $\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$ による。$\operatorname{ad}$ は準同型なので（Lie環 の系「随伴表現と内部導分」）$\operatorname{ad}[x,y]=[\operatorname{ad}x,\operatorname{ad}y]$ であり、$A=\operatorname{ad}x$ などと書くと $\operatorname{tr}((AB-BA)C)=\operatorname{tr}(ABC)-\operatorname{tr}(ACB)=\operatorname{tr}(A(BC-CB))$ である。

2. $x\in\mathfrak{a}^{\perp}$、$y\in\mathfrak{g}$、$a\in\mathfrak{a}$ について、1 により $\kappa([y,x],a)=-\kappa([x,y],a)=-\kappa(x,[y,a])=0$ である（$[y,a]\in\mathfrak{a}$）。

3. $x,y\in\mathfrak{a}$ なら $\operatorname{ad}x\circ\operatorname{ad}y$ の像は $\mathfrak{a}$ に入る。$\mathfrak{a}$ の基底を $\mathfrak{g}$ の基底に延ばすと、この写像の行列は $\begin{pmatrix}M&*\\0&0\end{pmatrix}$ の形で、$M$ は $\mathfrak{a}$ への制限の行列だから、跡は $\operatorname{tr}M=\kappa_{\mathfrak{a}}(x,y)$ である。$\square$

段 1（Jordan 分解の多項式性）．$\mathbb{C}$ 上の有限次元空間の線形変換 $T$ について、対角化可能な $S$ と冪零な $N$ で $T=S+N$、$SN=NS$ となるものがただ 1 組あり、$S=p(T)$ となる多項式 $p$ がある。実際、$T$ の相異なる固有値を $\mu_1,\dots,\mu_r$、広義固有空間を $W_j$、$m_j=\dim W_j$ とすると、中国剰余定理 により $p\equiv\mu_j\pmod{(t-\mu_j)^{m_j}}$（すべての $j$）を満たす $p$ があり、$S:=p(T)$ は $W_j$ 上で $\mu_j$ 倍、$N:=T-S$ は各 $W_j$ 上で冪零である。別の組 $T=S'+N'$ があれば、$S',N'$ は $T$ と可換なので $S,N$（$T$ の多項式）とも可換で、$S-S'=N'-N$ は同時対角化できる対角化可能な変換の差でありかつ可換な冪零変換の差だから冪零、よって $0$ である。

段 2（$\operatorname{ad}$ と Jordan 分解）．$x\in\mathfrak{gl}(V)$ の Jordan 分解を $x=s+n$ とし、$s$ を対角化する基底 $v_1,\dots,v_m$（$sv_i=\lambda_iv_i$）と行列単位 $E_{ij}$ をとる。$\operatorname{ad}s(E_{ij})=(\lambda_i-\lambda_j)E_{ij}$ だから $\operatorname{ad}s$ は対角化可能、$\operatorname{ad}n=L_n-R_n$（左右からの積、可換な冪零変換の差）は冪零で、$[\operatorname{ad}s,\operatorname{ad}n]=\operatorname{ad}[s,n]=0$ である。段 1 の一意性から $\operatorname{ad}s$ は $\operatorname{ad}x$ の半単純部分であり、$\operatorname{ad}s=p(\operatorname{ad}x)$ と書ける。$\bar s$ を $\bar sv_i=\overline{\lambda_i}v_i$ で定めると $\operatorname{ad}\bar s(E_{ij})=(\overline{\lambda_i}-\overline{\lambda_j})E_{ij}$ である。$\lambda_i-\lambda_j=\lambda_k-\lambda_l$ なら共役も等しいので、Lagrange補間 により $r(\lambda_i-\lambda_j)=\overline{\lambda_i}-\overline{\lambda_j}$（すべての $i,j$）となる多項式 $r$ があり、$\operatorname{ad}\bar s=r(p(\operatorname{ad}x))$ である。同様に $\bar s$ は $s$ の多項式なので $n$ と可換である。

段 3（$[L,L]$ の元は冪零）．$x\in[L,L]$ を $x=\sum_k[y_k,z_k]$（$y_k,z_k\in L$）と書く。$x\in L$ だから $\operatorname{ad}x$ は $L$ を保ち、段 2 により $[\bar s,y_k]=\operatorname{ad}\bar s(y_k)\in L$ である。よって仮定から $\operatorname{tr}(\bar sx)=\sum_k\operatorname{tr}(\bar s[y_k,z_k])=\sum_k\operatorname{tr}([\bar s,y_k]z_k)=0$ である。一方 $\bar sn$ は可換な対角化可能変換と冪零変換の積なので冪零で跡 $0$ だから、$\operatorname{tr}(\bar sx)=\operatorname{tr}(\bar ss)=\sum_i\lvert\lambda_i\rvert^2$ である。したがってすべての $\lambda_i=0$、$s=0$ で $x$ は冪零である。

段 4（冪零な元からなる部分 Lie 環）．冪零な変換だけからなる部分 Lie 環 $M\subset\mathfrak{gl}(V)$（$V\neq0$）には、$Mv=0$ となる $v\neq0$ がある。$\dim M$ の帰納法で示す。$M=0$ なら明らかである。$M\neq0$ とし、$M$ の真の部分 Lie 環のうち極大なもの $A$ をとる。$a\in A$ について $\operatorname{ad}a=L_a-R_a$ は冪零なので、$A$ は $M/A$ に冪零な変換として作用し、帰納法の仮定から $y\in M\setminus A$ で $[A,y]\subset A$ となるものがある。$A+\mathbb{C}y$ は部分 Lie 環なので極大性から $M$ に等しい。帰納法の仮定から $W:=\{v\in V\mid Av=0\}\neq0$ であり、$a\in A$、$v\in W$ について $a(yv)=y(av)+[a,y]v=0$ だから $y$ は $W$ を保つ。$y|_W$ は冪零なので $yv=0$ となる $0\neq v\in W$ があり、$Mv=0$ である。これを $V/\mathbb{C}v$ に繰り返すと、$M$ のすべての元が狭義上三角になる基底がとれる。狭義上三角行列の Lie 環 $\mathfrak{n}$ では $\mathfrak{n}^{(k)}$ が対角から $2^k$ 本以上離れた成分だけをもつ行列に入るので、$\mathfrak{n}$ は可解であり、その部分 Lie 環 $M$ も可解である（lem-ssla-radical の 1）。

段 5．段 3 と段 4 から $[L,L]$ は可解であり、$L/[L,L]$ は可換なので、lem-ssla-radical の 2 により $L$ は可解である。$\square$

中心が $0$ なので $\operatorname{ad}$ は単射で、$\mathfrak{i}:=\operatorname{ad}\mathfrak{g}\cong\mathfrak{g}$ である。$D\in\mathfrak{d}$ について $[D,\operatorname{ad}x]=\operatorname{ad}(Dx)$（$D[x,y]=[Dx,y]+[x,Dy]$ の書き換え）なので $\mathfrak{i}$ は $\mathfrak{d}$ のイデアルである。prop-ssla-killing-invariant の 3 により $\mathfrak{d}$ の Killing 形式 $\kappa_{\mathfrak{d}}$ の $\mathfrak{i}$ への制限は $\kappa_{\mathfrak{i}}$ で、thm-ssla-main により非退化である。よって $\mathfrak{i}^{\perp}$（$\kappa_{\mathfrak{d}}$ に関する直交）は $\mathfrak{i}\cap\mathfrak{i}^{\perp}=0$ を満たすイデアルで、$\dim\mathfrak{i}^{\perp}\ge\dim\mathfrak{d}-\dim\mathfrak{i}$ から $\mathfrak{d}=\mathfrak{i}\oplus\mathfrak{i}^{\perp}$ である。$D\in\mathfrak{i}^{\perp}$ なら $\operatorname{ad}(Dx)=[D,\operatorname{ad}x]\in\mathfrak{i}\cap\mathfrak{i}^{\perp}=0$ なので $Dx$ は中心に入り $0$、すなわち $D=0$ である。よって $\mathfrak{d}=\mathfrak{i}$ で、一意性は $\operatorname{ad}$ の単射性による。$\square$

$H=\operatorname{diag}(a_1,\dots,a_n)$ について $[H,E_{ij}]=(a_i-a_j)E_{ij}$ なので、$\mathfrak{sl}_n=\mathfrak{h}\oplus\bigoplus_{i\neq j}\mathbb{C}E_{ij}$ は $\operatorname{ad}\mathfrak{h}$ の同時固有空間分解で、$\mathfrak{h}$ は可換で $\operatorname{ad}$ が対角化可能である。$a_i$ が相異なる $H\in\mathfrak{h}$ と可換な行列は対角行列なので、$\mathfrak{h}$ を含む可換な部分 Lie 環は $\mathfrak{h}$ に含まれ、$\mathfrak{h}$ は極大である。prop-ssla-sln により $H,H'\in\mathfrak{h}$ について $\kappa(H,H')=2n\sum_ia_ia_i'$ であり、これは $\mathfrak{h}$ を $\mathbb{C}^n$ の座標和 $0$ の超平面とみた標準内積の $2n$ 倍である。誘導される $\mathfrak{h}^*$ の内積で $\varepsilon_i-\varepsilon_j$ は標準内積での $e_i-e_j$ の $1/(2n)$ 倍に対応するので、$\Phi$ は ルート系 の例「$A_{n-1}$ 型」と内積の定数倍を除いて一致する。$\square$