媒介変数表示と曲線の長さ

$x=\cos t$、$y=\sin t$（$0\le t\le2\pi$）は単位円を反時計回りに 1 周する。$\frac{dx}{dt}=-\sin t$、$\frac{dy}{dt}=\cos t$ なので、根号の中は $\sin^2t+\cos^2t=1$ で
$$ L=\int_0^{2\pi}1\,dt=2\pi $$
となり、円周の長さ $2\pi$ と一致する。

半径 $1$ の円が $x$ 軸の上を滑らずに転がるとき、円周上の 1 点が描く曲線をサイクロイドという。はじめ点は原点にあり、円は右へ転がるとする。円が角 $t$ だけ回ったとき、次のようになる（図 1）。

1. 滑らずに転がるので、円が $x$ 軸に触れている点（接点）が原点から進んだ距離は、円周上で接点から点までの弧の長さに等しい。この弧は半径 $1$、中心角 $t$ なので長さ $t$ である。よって接点は $(t,0)$、中心は $(t,1)$ である。
2. 点は、中心から見て真下の向き $(0,-1)$ を時計回りに角 $t$ だけ回した向き $(-\sin t,-\cos t)$ にある。
   したがって点は
   $$ x=t-\sin t,\qquad y=1-\cos t $$
   にある（$0\le t\le2\pi$ で 1 つの弧）。$\frac{dx}{dt}=1-\cos t$、$\frac{dy}{dt}=\sin t$ なので
   $$ \left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2=1-2\cos t+\cos^2t+\sin^2t=2-2\cos t=4\sin^2\frac t2 $$
   である（最後は半角の公式 $1-\cos t=2\sin^2\frac t2$）。$0\le t\le2\pi$ では $\sin\frac t2\ge0$ なので根号は $2\sin\frac t2$ になり
   $$ L=\int_0^{2\pi}2\sin\frac t2\,dt=\Bigl[-4\cos\frac t2\Bigr]_0^{2\pi}=4+4=8 $$
   である。転がる円の直径 $2$ のちょうど $4$ 倍になる。

$\frac{dx}{dt}\ne0$ となる $t$ の近くでは、$t$ を $x$ の関数と見ることができ、連鎖律（高校数学）により $\frac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ である（$\frac{dx}{dt}$ が連続なら、その $t$ の近くで $\frac{dx}{dt}$ の符号は変わらず、$x$ は $t$ の狭義単調な関数になるので、逆関数 $t=t(x)$ がある。逆関数が微分可能であることは本記事では証明しない）。サイクロイドでは、$0< t<2\pi$ で
$$ \frac{dy}{dx}=\frac{\sin t}{1-\cos t}=\frac{2\sin\frac t2\cos\frac t2}{2\sin^2\frac t2}=\frac{\cos\frac t2}{\sin\frac t2} $$
である。$t=\frac\pi2$ では傾き $1$、$t=\pi$（弧の頂上）では傾き $0$ である。$t\to+0$ では傾きが限りなく大きくなり、曲線は $x$ 軸に垂直に立ち上がる（図 1 の左端）。

例 2 のサイクロイド $P(t)=(t-\sin t,1-\cos t)$（$0\le t\le2\pi$）で、分割を選んで折れ線の長さを計算してみる。

1. 分割 $0<\pi<2\pi$。点は $P(0)=(0,0)$、$P(\pi)=(\pi,2)$、$P(2\pi)=(2\pi,0)$ である。
   $$ |P(\pi)-P(0)|=\sqrt{\pi^2+2^2},\qquad|P(2\pi)-P(\pi)|=\sqrt{\pi^2+(-2)^2} $$
   なので、$\ell(\Delta)=2\sqrt{\pi^2+4}=7.448\ldots$ である。
2. 分点 $\frac\pi2$、$\frac{3\pi}2$ を加えた分割 $0<\frac\pi2<\pi<\frac{3\pi}2<2\pi$。$P\left(\frac\pi2\right)=\left(\frac\pi2-1,1\right)$、$P\left(\frac{3\pi}2\right)=\left(\frac{3\pi}2+1,1\right)$ である。
   $$ \left|P\left(\tfrac\pi2\right)-P(0)\right|=\sqrt{\left(\tfrac\pi2-1\right)^2+1}=1.151\ldots,\qquad\left|P(\pi)-P\left(\tfrac\pi2\right)\right|=\sqrt{\left(\tfrac\pi2+1\right)^2+1}=2.758\ldots $$
   で、残りの 2 本は左右対称なので同じ長さである。よって $\ell(\Delta)=2(1.151\ldots+2.758\ldots)=7.819\ldots$ である。
   どちらも、例 2 で公式から求めた長さ $8$ より短く、点を増やすと長くなって $8$ に近づいている（$2\pi$ を $8$ 等分すると $7.950\ldots$、$64$ 等分すると $7.999\ldots$）。

単位円 $P(t)=(\cos t,\sin t)$（$0\le t\le2\pi$）を $n$ 等分し、$t_i=\frac{2\pi i}n$ とする。隣り合う 2 点は中心角 $\frac{2\pi}n$ の弦の両端なので、距離は $2\sin\frac\pi n$ で、$\ell(\Delta)=2n\sin\frac\pi n$ である。

$2\pi=6.28319$ に下から近づく。$n=96$ は、Archimedes が円周率の評価に用いた正 96 角形である。

1. 単位円 $P(t)=(\cos t,\sin t)$ の $0\le t\le\frac\pi2$ の部分。弦は $P(0)=(1,0)$ と $P\left(\frac\pi2\right)=(0,1)$ を結び、長さは $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2=1.414\ldots$ である。速さはつねに $1$ なので、速さの積分は $\int_0^{\pi/2}1\,dt=\frac\pi2=1.570\ldots$ である。確かに $1.414\ldots\le1.570\ldots$ である。
2. 例 2 のサイクロイドの $0\le t\le2\pi$ の部分。弦は $(0,0)$ と $(2\pi,0)$ を結び、長さは $2\pi=6.283\ldots$ である。速さの積分は例 2 の計算から $8$ で、確かに $6.283\ldots\le8$ である。

$y=f(x)$（$a\le x\le b$、$f'$ は連続）のグラフは、$t=x$ を媒介変数として $P(t)=\bigl(t,f(t)\bigr)$ と表せる。$P'(t)=\bigl(1,f'(t)\bigr)$ なので、thm-pcal-length-formula から $L=\int_a^b\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx$ である。

1. $f(x)=x^{3/2}$（$0\le x\le4$）では $1+f'(x)^2=1+\frac94x$ なので
   $$ L=\int_0^4\sqrt{1+\frac94x}\,dx=\frac8{27}\Bigl[\bigl(1+\tfrac94x\bigr)^{3/2}\Bigr]_0^4=\frac8{27}\bigl(10\sqrt{10}-1\bigr)=9.0734\ldots $$
   である。2 点 $(0,0)$、$(4,8)$ を結ぶ線分の長さ $\sqrt{80}=8.944\ldots$ より少し長い。
2. $f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}2$（$0\le x\le1$）では $f'(x)=\frac{e^x-e^{-x}}2$ で、$1+f'(x)^2=\left(\frac{e^x+e^{-x}}2\right)^2$ となるので
   $$ L=\int_0^1\frac{e^x+e^{-x}}2\,dx=\frac{e-e^{-1}}2=1.1752\ldots $$
   である。

$x=\cos^3t$、$y=\sin^3t$（$0\le t\le2\pi$）は、4 つのとがった点をもつアステロイドを描く。$x'=-3\cos^2t\sin t$、$y'=3\sin^2t\cos t$ なので
$$ x'^2+y'^2=9\sin^2t\cos^2t(\cos^2t+\sin^2t)=9\sin^2t\cos^2t $$
で、速さは $3|\sin t\cos t|=\frac32|\sin2t|$ である。$0\le t\le\frac\pi2$ では $\sin2t\ge0$ で、$\int_0^{\pi/2}\frac32\sin2t\,dt=\frac32\Bigl[-\frac{\cos2t}2\Bigr]_0^{\pi/2}=\frac32$ である。対称性から 4 倍して $L=6$ となる。
とがった点 $t=0,\frac\pi2,\pi,\frac{3\pi}2$ では速さが $0$ になる。サイクロイドの $t=0,2\pi$ も同じである。速さが $0$ になる点があっても、$C^1$ 級である限り thm-pcal-length-formula はそのまま使える。

$Q(u)=(\cos2u,\sin2u)$（$0\le u\le\pi$）は、例 1 の単位円を 2 倍の速さで 1 周する。$\varphi(u)=2u$ で、prop-pcal-reparametrization により長さは $2\pi$ のはずである。公式でも、$Q'(u)=(-2\sin2u,2\cos2u)$、$|Q'(u)|=2$ なので $\int_0^\pi2\,du=2\pi$ となる。
$R(u)=(\cos u^2,\sin u^2)$（$0\le u\le\sqrt{2\pi}$）のように、だんだん速くなる表し方でも、$|R'(u)|=2u$ で $\int_0^{\sqrt{2\pi}}2u\,du=\bigl[u^2\bigr]_0^{\sqrt{2\pi}}=2\pi$ である。

1. 半径 $r$ の円 $P(t)=(r\cos t,r\sin t)$（$0\le t\le2\pi$）では $|P'(t)|=r$ なので $s=rt$ で、弧長パラメータによる表示は $\widetilde P(s)=\left(r\cos\frac sr,r\sin\frac sr\right)$（$0\le s\le2\pi r$）である。
2. 例 2 のサイクロイドでは、$0\le t\le2\pi$ で
   $$ s(t)=\int_0^t2\sin\frac u2\,du=4\Bigl(1-\cos\frac t2\Bigr) $$
   である。$t=\pi$（頂上）で $s=4$ となり、弧の長さ $8$ のちょうど半分である。$t=\frac\pi2$ では $s=4\left(1-\frac{\sqrt2}2\right)=1.1716\ldots$ である。サイクロイドは端点 $t=0,2\pi$ で速さが $0$ になるので、def-pcal-arclength-parameter の条件は $0< t<2\pi$ の部分でだけ満たされる。

$P(t)=(\cos t,\sin t)$（$0\le t\le4\pi$）の像は単位円そのものだが、$L(P)=\int_0^{4\pi}1\,dt=4\pi$ である。def-pcal-length は曲線（点の動き）の長さであり、同じ場所を 2 回通れば 2 回分数える。曲線の長さは、像（点の集まり）だけでは決まらない。prop-pcal-reparametrization が、区間どうしを 1 対 1 に対応させる取り替えだけを扱うのはこのためである。

正方形 $[0,1]\times[0,1]$ の対角線（長さ $\sqrt2=1.414\ldots$）を、横に $\frac1n$ 進んで縦に $\frac1n$ 上がる $n$ 段の階段で近似する。横の部分の合計は $1$、縦の部分の合計も $1$ なので、階段の長さは段数によらず $2$ である。$n$ を大きくすると、階段のどの点も対角線から $\frac1n$ 以内に来るのに、長さは $2$ のままで $\sqrt2$ に近づかない。
def-pcal-length が「頂点が曲線の上にある折れ線」だけを使うのはこのためである。階段の角のうち $(\frac kn,\frac kn)$ は対角線の上にあるが、$(\frac kn,\frac{k-1}n)$（$k=1,\ldots,n$）の $n$ 個は対角線の上にない（図 3 で、右に進みきった角が破線から離れている）。よって階段は対角線の内接折れ線ではない。

$f(x)=x\cos\frac\pi x$（$0< x\le1$）、$f(0)=0$ とし、グラフ $P(t)=\bigl(t,f(t)\bigr)$（$0\le t\le1$）を考える。$|f(x)|\le x$ なので $f$ は $x=0$ でも連続である。
段 1。$k=1,2,\ldots$ に対し $f\left(\frac1k\right)=\frac1k\cos k\pi=\frac{(-1)^k}k$ である。隣り合う $k$ と $k+1$ で符号が逆なので、2 点 $P\left(\frac1{k+1}\right)$、$P\left(\frac1k\right)$ の高さの差は $\frac1k+\frac1{k+1}\ge\frac1k$ である。2 点の距離は高さの差以上なので、距離も $\frac1k$ 以上である。
段 2。$n\ge2$ として、分割 $0<\frac1n<\frac1{n-1}<\cdots<\frac12<1$ をとると、段 1 から
$$ \ell(\Delta)\ge\sum_{k=1}^{n-1}\frac1k $$
である。
段 3（右辺はいくらでも大きくなる）。$m\ge1$ について $\sum_{k=1}^m\frac1k\ge\log(m+1)$ を示す（$\log$ は自然対数）。$k\le x\le k+1$ では $\frac1x\le\frac1k$ なので、rem-pcal-premises の 1 により
$$ \frac1k=\int_k^{k+1}\frac{dx}k\ge\int_k^{k+1}\frac{dx}x=\log(k+1)-\log k $$
である（最後の等号は、$(\log x)'=\frac1x$ と rem-pcal-premises の 2 による）。これを $k=1,\ldots,m$ について足すと、右辺は隣どうしが打ち消し合って
$$ \sum_{k=1}^m\frac1k\ge\bigl(\log2-\log1\bigr)+\bigl(\log3-\log2\bigr)+\cdots+\bigl(\log(m+1)-\log m\bigr)=\log(m+1) $$
となる（$\log1=0$）。たとえば $m=3$ では $1+\frac12+\frac13=1.833\ldots\ge\log4=1.386\ldots$ である。$\log(m+1)$ は $m$ とともにいくらでも大きくなる（どんな $M$ に対しても $m+1\ge e^M$ なら $\log(m+1)\ge M$）。段 2 で $m=n-1$ とすると、$\ell(\Delta)\ge\log n$ はいくらでも大きくなる。よって $L(P)=\infty$ である（この和は 調和級数 の部分和である）。
この曲線は $0< x\le1$ では微分可能だが、$f'(x)=\cos\frac\pi x+\frac\pi x\sin\frac\pi x$ は $x\to+0$ で有界でなく、閉区間 $[0,1]$ で連続な導関数をもたない。$C^1$ 級という仮定を外すと、長さは有限とは限らない。