行列

同義語：matrix

概要

前提知識: 体, 環, 写像

定義

以下、成分の集合として単位元 $1$ をもつ（必ずしも可換でない）環 $R$ をとる。典型的には $R$ は実数体 $\mathbb{R}$ や複素数体 $\mathbb{C}$ などの体 $K$ であり、多項式などを成分にとる場合は多項式環 $K[x]$ である。

行列と成分

$m,n$ を正の整数とする。$R$ の元 $a_{ij}$（$1\le i\le m$、$1\le j\le n$）を長方形状に並べた表
$$ A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} $$
を $R$ を成分とする $m\times n$ 型の行列（matrix）という。厳密には、行列とは添字の集合 $\{1,\ldots,m\}\times\{1,\ldots,n\}$ から $R$ への写像 $(i,j)\mapsto a_{ij}$ のことである。$a_{ij}$ を $A$ の $(i,j)$ 成分（entry）といい、$i$ を行の添字、$j$ を列の添字という。横一列の並び $(a_{i1},a_{i2},\ldots,a_{in})$ を $A$ の第 $i$ 行（row）、縦一列の並び $(a_{1j},a_{2j},\ldots,a_{mj})$ を第 $j$ 列（column）という。$(m,n)$ を $A$ の型（サイズ）といい、$m=n$ のとき $A$ を $n$ 次の正方行列（正方行列）という。成分の規則性が分かっているときは $A=(a_{ij})$ または $A=(a_{ij})_{m\times n}$ と略記する。
$R$ を成分とする $m\times n$ 型の行列全体の集合を $M_{m,n}(R)$（$m=n$ のときは $M_n(R)$）と書く。2 つの行列 $A=(a_{ij})$、$B=(b_{ij})$ が等しいとは、型が一致し、かつすべての $(i,j)$ について $a_{ij}=b_{ij}$ が成り立つことをいう。

$1\times n$ 型の行列を $n$ 次の行ベクトル（横ベクトル）、$m\times 1$ 型の行列を $m$ 次の列ベクトル（縦ベクトル）といい、あわせて数ベクトルという。行列 $A$ の第 $i$ 行を取り出した行ベクトルを $A$ の第 $i$ 行ベクトル、第 $j$ 列を取り出した列ベクトルを第 $j$ 列ベクトルという。単に「ベクトル」といったときは列ベクトルを指すことが多い（後述の積 $Ax$ との相性がよいためである）。$1\times1$ 型の行列 $(a)$ は成分 $a$ と同一視することがある。

行列の和・スカラー倍・積

和：同じ $m\times n$ 型の行列 $A=(a_{ij})$、$B=(b_{ij})$ に対し、$A+B:=(a_{ij}+b_{ij})_{m\times n}$ と定める。
スカラー倍：$c\in R$ と $A=(a_{ij})_{m\times n}$ に対し、$cA:=(c\,a_{ij})_{m\times n}$ と定める（$R$ が可換でないときは右からの倍 $Ac:=(a_{ij}c)$ と区別する）。
積：$A=(a_{ik})_{m\times n}$ と $B=(b_{kj})_{n\times q}$（$A$ の列数と $B$ の行数が一致するときに限る）に対し、$m\times q$ 型の行列
$$ AB:=\left(\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}\right)_{m\times q} $$
を $A$ と $B$ の積と定める。
すべての成分が $0$ である $m\times n$ 型の行列を零行列（零行列）といい $O$（型を明示するときは $O_{m,n}$）と書く。$A+B=O$ となる $B$ は $-A:=(-a_{ij})$ に限り、$A-B:=A+(-B)$ と書く。$n$ 次正方行列であって $(i,i)$ 成分（対角成分）がすべて $1$、それ以外の成分がすべて $0$ であるものを $n$ 次の単位行列（単位行列）といい $I_n$（文献によっては $E_n$ や $1_n$）と書く。$i=j$ のとき $1$、$i\ne j$ のとき $0$ をとる記号 $\delta_{ij}$ を Kroneckerのデルタといい、$I_n=(\delta_{ij})_{n\times n}$ である。$I_n$ の第 $j$ 列ベクトルを $e_j$ と書き、$e_1,\ldots,e_n$ を $R^n$ の標準基底という。

$1\times n$ 型の行ベクトル $a=(a_1,\ldots,a_n)$ と $n\times1$ 型の列ベクトル $b=(b_1,\ldots,b_n)^{\top}$ の積 $ab=\sum_{k=1}^{n}a_kb_k$ は $1\times1$ 型であり、成分が実数のときは内積（Euclid 内積）に一致する。積 $AB$ の $(i,j)$ 成分は「$A$ の第 $i$ 行ベクトルと $B$ の第 $j$ 列ベクトルの積」である。

行列の転置と対称性

$m\times n$ 型の行列 $A=(a_{ij})$ に対し、$(i,j)$ 成分が $a_{ji}$ である $n\times m$ 型の行列を $A$ の転置行列（転置行列）といい $A^{\top}$（文献によっては ${}^t\!A$）と書く。すなわち $A^{\top}$ の第 $i$ 行は $A$ の第 $i$ 列である。$n$ 次正方行列 $A$ が $A^{\top}=A$ を満たすとき $A$ を対称行列（対称行列）、$A^{\top}=-A$ を満たすとき反対称行列（反対称行列、交代行列）という。

行列の区分け

行列 $A$ の行の添字の集合を連続する区間 $I_1,\ldots,I_r$ に、列の添字の集合を連続する区間 $J_1,\ldots,J_s$ に分割し、$A$ の行が $I_p$、列が $J_q$ に属する成分を集めてできる小さな行列を $A_{pq}$ と書く。このとき
$$ A=\begin{pmatrix} A_{11} & \cdots & A_{1s} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{r1} & \cdots & A_{rs} \end{pmatrix} $$
と表したものを $A$ の区分行列（区分行列、ブロック行列）といい、$A_{pq}$ をそのブロックという。同じ行のブロックは行数が等しく、同じ列のブロックは列数が等しい。正方行列を $r=s$ かつ $I_p=J_p$ となるように区分けしたとき、対角ブロック $A_{pp}$ 以外がすべて零行列であるものを**区分対角行列、対角より下（または上）のブロックがすべて零行列であるものを区分三角行列**という。

直感

行列は素朴には「数を長方形に並べた表」であるが、その真価は、連立1次方程式の係数の記録、線形写像の基底に関する表示、2次形式の記述など、線形性をもつ対象を統一的に扱う道具である点にある。和・スカラー倍・積を定めることで、行列自体を「数のように」計算できるようになり、抽象的な線形写像の問題が成分の計算へ翻訳される。
積の定義は一見不自然に見えるが、これは「行列を線形写像とみなしたとき、積が写像の合成になる」ように選ばれている（thm-matrix-linear-map）。$m\times n$ 型の行列 $A$ は列ベクトル $x\in R^n$ を $Ax\in R^m$ に送る写像であり、$Ax$ は $A$ の列ベクトル $a_1,\ldots,a_n$ の線形結合 $x_1a_1+\cdots+x_na_n$ である（$K$ が体、すなわちスカラーが可換のとき）。とくに $Ae_j$ は $A$ の第 $j$ 列ベクトルであり、「行列の第 $j$ 列は標準基底の第 $j$ ベクトルの行き先」と読める。
高校数学では「向きと大きさ」をもつ量としてベクトルを学ぶことが多いが、線形代数でのベクトルは、単に数を直線状に並べたものであり、矢印のイメージと対応付ける必要はない。行や列を並べた数の並びそのものがベクトルである。

例

具体的な行列

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & -1 \end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2\end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix} x^2+y+1 & -y \\ y & x \end{pmatrix} $$
はそれぞれ $2\times3$ 型、$3\times3$ 型（3 次の正方行列で、しかも対称行列）、$2\times2$ 型の行列である。成分は実数とは限らず、3 番目のように多項式環 $\mathbb{R}[x,y]$ の元であってもよい。

零行列と単位行列

$2\times3$ 型の零行列と 2 次・3 次の単位行列は
$$ O_{2,3}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\qquad I_2=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},\qquad I_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$
である。$m\times n$ 型の任意の行列 $A$ について $A+O_{m,n}=A$、$I_mA=A=AI_n$ が成り立つ（prop-matrix-ring-laws）。すなわち零行列は和の単位元、単位行列は積の単位元である。

積の計算と非可換性

$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$、$B=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ とすると
$$ AB=\begin{pmatrix} 1\cdot0+2\cdot1 & 1\cdot1+2\cdot0 \\ 3\cdot0+4\cdot1 & 3\cdot1+4\cdot0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{pmatrix},\qquad BA=\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} $$
であり $AB\ne BA$ である。$B$ を右から掛けると $A$ の列が入れ替わり、左から掛けると行が入れ替わる。行列の積は一般に可換でない。

拡大係数行列の例

$m\times n$ 型の行列 $A$ と $m$ 次の列ベクトル $b$ を横に並べて $m\times(n+1)$ 型の区分行列 $(A\mid b)$ を作ることができる。これは連立1次方程式 $Ax=b$ の拡大係数行列（拡大係数行列）であり、たとえば
$$ \begin{cases} a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z=b_1 \\ a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z=b_2 \end{cases} \quad\rightsquigarrow\quad \left(\begin{array}{ccc|c} a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & b_2 \end{array}\right) $$
である。方程式の加減と定数倍は拡大係数行列の行に対する操作（行基本変形）に翻訳され、掃き出し法はこの行列に対する計算として実行される。

回転を表す行列

実数 $\theta$ に対し $R_\theta=\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$ とおくと、$x\mapsto R_\theta x$ は平面 $\mathbb{R}^2$ の原点のまわりの角 $\theta$ の回転である。実際 $R_\theta e_1=(\cos\theta,\sin\theta)^{\top}$、$R_\theta e_2=(-\sin\theta,\cos\theta)^{\top}$ は $e_1,e_2$ を角 $\theta$ だけ回転したベクトルである。三角関数の加法定理から $R_\alpha R_\beta=R_{\alpha+\beta}$ が成り立ち、これは「回転の合成は角の和の回転である」ことを行列の積で表したものである。

反例：型の異なる配列と積の零因子

$\begin{pmatrix}1 & 2\end{pmatrix}$（$1\times2$ 型）と $\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$（$2\times1$ 型）は同じ数 $1,2$ を成分にもつが、型が異なるので等しい行列ではなく、和も定義されない。行列の相等は「型が一致し、かつ対応する成分がすべて等しい」ことを要求する（def-matrix-entries）。成分の値の一致だけでは行列として同一とはみなさない。
$2\times3$ 型の行列 $A$ と $2\times2$ 型の行列 $B$ に対し、積 $AB$ は定義されない（$A$ の列数 $3$ と $B$ の行数 $2$ が一致しない）が、$BA$ は定義される。積の存在は順序に依存する。
$A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ は $A\ne O$ だが $A^2=O$ である。したがって数の場合に成り立つ「$ab=0$ ならば $a=0$ または $b=0$」は行列では成り立たない。この $A$ は $M_2(R)$ の零因子であり、$M_n(R)$（$n\ge2$）は整域でない。

性質

行列演算の基本法則

型が合い積が定義される範囲で、行列 $A,B,C$ とスカラー $c\in R$ について次が成り立つ。

$(A+B)+C=A+(B+C)$、$A+B=B+A$、$A+O=A$、$A+(-A)=O$。
$(AB)C=A(BC)$。
$A(B+C)=AB+AC$、$(A+B)C=AC+BC$。
$I_mA=A=AI_n$（$A$ は $m\times n$ 型）。
$R$ が可換なら $c(AB)=(cA)B=A(cB)$。
とくに $M_n(R)$ は和と積について単位元 $I_n$ をもつ環（行列環）であり、$R$ が体 $K$ のとき $M_{m,n}(K)$ は和とスカラー倍について $K$ 上のベクトル空間である。

1 は成分ごとの等式であり、環 $R$ の加法の結合律・可換律・零元・反元の性質から直ちに従う。
2 を示す。$A=(a_{ij})_{m\times n}$、$B=(b_{jk})_{n\times p}$、$C=(c_{kl})_{p\times q}$ とする。$(AB)C$ の $(i,l)$ 成分は、積の定義を 2 回使って
$$ \sum_{k=1}^{p}\left(\sum_{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\right)c_{kl}=\sum_{k=1}^{p}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}c_{kl} $$
であり、$A(BC)$ の $(i,l)$ 成分は
$$ \sum_{j=1}^{n}a_{ij}\left(\sum_{k=1}^{p}b_{jk}c_{kl}\right)=\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{p}a_{ij}b_{jk}c_{kl} $$
である。環の乗法の結合律と分配律により各項は $a_{ij}b_{jk}c_{kl}$ に等しく、有限和の順序は交換できるから両者は一致する。
3 を示す。$B,C$ を $n\times p$ 型とすると $A(B+C)$ の $(i,k)$ 成分は $\sum_j a_{ij}(b_{jk}+c_{jk})=\sum_j a_{ij}b_{jk}+\sum_j a_{ij}c_{jk}$ であり、これは $AB+AC$ の $(i,k)$ 成分である。$(A+B)C$ も同様である。
4 を示す。$I_mA$ の $(i,j)$ 成分は $\sum_{k=1}^{m}\delta_{ik}a_{kj}$ であり、$k=i$ の項だけが残って $a_{ij}$ に等しい（prop-matrix-kronecker-delta の 1）。$AI_n$ の $(i,j)$ 成分は $\sum_{k=1}^{n}a_{ik}\delta_{kj}=a_{ij}$ である（同 2）。
5 は $(cA)B$ の $(i,k)$ 成分 $\sum_j (ca_{ij})b_{jk}$ と $A(cB)$ の $(i,k)$ 成分 $\sum_j a_{ij}(cb_{jk})$ が、$R$ の可換性によりともに $c\sum_j a_{ij}b_{jk}$ に等しいことから従う。
最後の主張について。$M_n(R)$ が環であることは 1 から 4 で示した。$R$ が体のとき、$M_{m,n}(K)$ の和とスカラー倍がベクトル空間の公理を満たすことは、成分ごとの計算で $K$ の体の公理から直ちに従う。$\square$

デルタ記号の計算規則

$a=(a_k)_{k=1}^{n}$ を $R$ の元の列とするとき、次が成り立つ。

$\sum_{k=1}^{n}\delta_{ik}a_k=a_i$。
$\sum_{k=1}^{n}a_k\delta_{kj}=a_j$。
$\sum_{k=1}^{n}\delta_{ik}\delta_{kj}=\delta_{ij}$。

1 について、和を $k=i$ の項とそれ以外に分けると
$$ \sum_{k=1}^{n}\delta_{ik}a_k=\delta_{ii}a_i+\sum_{k\ne i}\delta_{ik}a_k=1\cdot a_i+\sum_{k\ne i}0\cdot a_k=a_i $$
である。2 も同様である。3 は 1 において $a_k=\delta_{kj}$ ととればよい。$\square$

これらの公式は、単位行列との積や成分ごとの検証など、行列の積の計算で繰り返し使われる。3 は $I_nI_n=I_n$ を成分で書いたものである。

転置と演算の関係

型が合い積が定義される範囲で次が成り立つ。

$(A^{\top})^{\top}=A$。
$(A+B)^{\top}=A^{\top}+B^{\top}$、$(cA)^{\top}=cA^{\top}$。
$R$ が可換なら $(AB)^{\top}=B^{\top}A^{\top}$（積の順序が入れ替わる）。

1 と 2 は成分の定義から直ちに従う。実際、$(A+B)^{\top}$ の $(i,j)$ 成分は $A+B$ の $(j,i)$ 成分 $a_{ji}+b_{ji}$ であり、これは $A^{\top}+B^{\top}$ の $(i,j)$ 成分に等しい。
3 を示す。$A=(a_{ij})_{m\times n}$、$B=(b_{jk})_{n\times q}$ とする。$(AB)^{\top}$ の $(k,i)$ 成分は $AB$ の $(i,k)$ 成分 $\sum_{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}$ である。一方 $B^{\top}A^{\top}$ の $(k,i)$ 成分は、$B^{\top}$ の $(k,j)$ 成分 $b_{jk}$ と $A^{\top}$ の $(j,i)$ 成分 $a_{ij}$ の積の和 $\sum_{j=1}^{n}b_{jk}a_{ij}$ であり、$R$ の可換性から両者は一致する。$\square$

反対称行列の対角成分

環 $R$ が「$2x=0$ ならば $x=0$」を満たすとする（たとえば標数が $2$ でない体）。このとき $R$ を成分とする反対称行列の対角成分はすべて $0$ である。

$A=(a_{ij})$ を反対称行列とする。$A^{\top}=-A$ の $(i,i)$ 成分を比べると $a_{ii}=-a_{ii}$、すなわち $2a_{ii}=0$ であるから、仮定により $a_{ii}=0$ である。$\square$

標数2での反例

仮定「$2x=0$ ならば $x=0$」は落とせない。有限体である 2 元体 $\mathbb{F}_2$ では $-1=1$ なので、$1\times1$ 行列 $(1)$ は $(1)^{\top}=-(1)$ を満たし反対称行列であるが、対角成分は $0$ でない。標数 $2$ では対称行列と反対称行列の区別がなくなる。

区分けした行列の積

$A$ を $m\times n$ 型、$B$ を $n\times q$ 型の行列とし、$A$ の列の添字の分割と $B$ の行の添字の分割が同じ区間 $K_1,\ldots,K_t$ であるように $A=(A_{pk})$、$B=(B_{kl})$ と区分けする。このとき積 $AB$ は、$A$ の行の分割と $B$ の列の分割で区分けしたとき
$$ (AB)_{pl}=\sum_{k=1}^{t}A_{pk}B_{kl} $$
となる。すなわち区分行列の積は、ブロックを成分とみなした通常の行列の積の規則に従う（ただしブロックの積 $A_{pk}B_{kl}$ の順序は入れ替えない）。とくに $A$ を行ベクトル $r_1,\ldots,r_m$ に、$B$ を列ベクトル $c_1,\ldots,c_q$ に区分けすると、$AB$ の $(i,j)$ 成分は $r_ic_j$ であり、$AB$ の第 $j$ 列は $Ac_j$ である。

$A$ の行の分割を $I_1,\ldots,I_r$、$B$ の列の分割を $J_1,\ldots,J_s$ とし、$i\in I_p$、$j\in J_l$ をとる。$AB$ の $(i,j)$ 成分は $\sum_{k'=1}^{n}a_{ik'}b_{k'j}$ であり、列の添字の集合 $\{1,\ldots,n\}$ は $K_1,\ldots,K_t$ の互いに交わらない和であるから、この和は
$$ \sum_{k=1}^{t}\sum_{k'\in K_k}a_{ik'}b_{k'j} $$
と書ける。内側の和 $\sum_{k'\in K_k}a_{ik'}b_{k'j}$ は、ブロック $A_{pk}$ の（$i$ に対応する）行とブロック $B_{kl}$ の（$j$ に対応する）列の積、すなわち $A_{pk}B_{kl}$ の対応する成分である。したがって $AB$ の $(i,j)$ 成分は $\sum_k A_{pk}B_{kl}$ の対応する成分に等しく、$(AB)_{pl}=\sum_k A_{pk}B_{kl}$ が成り立つ。行ベクトルと列ベクトルへの区分けは $t=1$、$r=m$、$s=q$ の場合であり、$AB$ の第 $j$ 列が $Ac_j$ であることは $r=1$、$t=1$ の場合である。$\square$

線形写像とは $A(x+y)=A(x)+A(y)$、$A(cx)=cA(x)$ を満たす写像である（定義は線形代数学の記事）。

行列と線形写像の対応

$K$ を体とする。$m\times n$ 型の行列 $A\in M_{m,n}(K)$ に対し、写像 $T_A\colon K^n\to K^m$ を $T_A(x):=Ax$（$x$ は列ベクトル）で定める。このとき次が成り立つ。

$T_A$ は線形写像であり、$A\mapsto T_A$ は $M_{m,n}(K)$ から線形写像全体の集合 $\operatorname{Hom}_K(K^n,K^m)$ への全単射である。逆写像は、線形写像 $T$ に対して第 $j$ 列が $T(e_j)$ である行列を対応させる写像である。
$A\in M_{m,n}(K)$、$B\in M_{n,p}(K)$ に対し $T_{AB}=T_A\circ T_B$ である。すなわち行列の積は線形写像の合成に対応する。

1 を示す。$T_A$ が線形であることは、prop-matrix-ring-laws の 3 と 5 により $A(x+y)=Ax+Ay$、$A(cx)=c(Ax)$ が成り立つことそのものである。$A\mapsto T_A$ が単射であることを示す。$T_A=T_B$ なら、とくに $Ae_j=Be_j$（$j=1,\ldots,n$）であり、prop-matrix-block-product により $Ae_j$ は $A$ の第 $j$ 列であるから、$A$ と $B$ は列がすべて一致し $A=B$ である。全射であることを示す。線形写像 $T\colon K^n\to K^m$ に対し、第 $j$ 列が列ベクトル $T(e_j)$ である $m\times n$ 型の行列を $A$ とおく。任意の $x=(x_1,\ldots,x_n)^{\top}\in K^n$ は $x=\sum_j x_je_j$ と書けるので、$T$ の線形性と、$Ax$ が $A$ の列ベクトルの線形結合 $\sum_j x_j(Ae_j)$ であること（積の定義）から
$$ T(x)=\sum_{j=1}^{n}x_jT(e_j)=\sum_{j=1}^{n}x_j(Ae_j)=Ax=T_A(x) $$
となり、$T=T_A$ である。この構成が逆写像を与えることも同じ計算から分かる。
2 は積の結合律 prop-matrix-ring-laws の 2 から従う。実際、任意の $x\in K^p$ について $T_{AB}(x)=(AB)x=A(Bx)=T_A(T_B(x))$ である。$\square$

正則行列・行列式・階数の所在

$n$ 次正方行列 $A$ に対し $AB=BA=I_n$ を満たす $B$ が存在するとき $A$ を正則行列（正則行列）といい、$B$ を $A$ の逆行列といって $A^{-1}$ と書く（このような $B$ は、$B=B(AB')=(BA)B'=B'$ により一意である）。体 $K$ 上の $n$ 次正則行列の全体は積について群をなし、これを一般線型群 $\mathrm{GL}_n(K)$ という。その群としての性質は一般線型群の記事に譲る。正則性の判定に使われる行列式、列ベクトルの線形独立性を数える階数、および写像 $x\mapsto Ax$ が単射であること（線形独立の記事の定理（線形独立性の同値条件）4。単射 ⇔ $Ax=0$ の解が $x=0$ に限ることは核が零であることの言い換え）は、それぞれの記事が扱う。

補足

行列は現代数学のほぼ全分野で基礎的な計算道具として現れる。代数学では線形写像・加群の表現行列や行列環として、幾何学では座標変換や Lie群の行列表現（行列群）として、解析学では Jacobi行列や線形微分方程式系の係数行列として用いられる。分野を問わず、正方行列に対する固有値・階数・行列式などの不変量が理論の中核をなし、基底の取り替えで行列を簡単な形に直す対角化や Jordan標準形がその主題である。Miy91 は行列の算術から線形写像までを具体例とともに扱う入門書であり、Axl15 は線形写像を主役にして行列を後から導入する。区分行列を系統的に扱う教科書としては HJ13 がある。