完全写像

コンパクト空間の記事の命題（保存と閉性）を使う。閉集合 $C\subset X$ はコンパクト空間の閉部分集合なのでコンパクトで、その連続像 $f(C)$ もコンパクトである。Hausdorff 空間のコンパクト部分集合は閉なので $f(C)$ は $Y$ で閉であり、$f$ は閉写像である。また Hausdorff 空間の一点集合 $\{y\}$ は閉だから、連続性より $f^{-1}(y)$ は $X$ で閉であり、したがってコンパクトである。連続性は仮定されているので三条件がそろう。$\square$

連続写像の制限なので $f_W$ は連続である。$A\subset f^{-1}(W)$ が閉なら、相対位相の定義により $X$ の閉集合 $C$ で $A=C\cap f^{-1}(W)$ となるものがある。このとき
$$ f_W(A)=f(C\cap f^{-1}(W))=f(C)\cap W $$
であり、$f(C)$ は $Y$ で閉だから右辺は $W$ で閉である。さらに $w\in W$ に対して $f_W^{-1}(w)=f^{-1}(w)$ はコンパクトである。よって $f_W$ は完全写像である。$\square$

$X\setminus U$ は閉集合なので $f(X\setminus U)$ は閉であり、$U^\flat$ は開である。$x\in f^{-1}(U^\flat)$ なら $f(x)\notin f(X\setminus U)$ なので $x\notin X\setminus U$、すなわち $x\in U$ である。$f^{-1}(A)\subset U$ とし $y\in A$ とすると、$f(x)=y$ となる $x$ はすべて $U$ に属するので $y\notin f(X\setminus U)$、すなわち $y\in U^\flat$ である。最後に、$y\in U^\flat\cap V^\flat$ とすると $f^{-1}(y)\subset U\cap V=\emptyset$ であるが、$f$ が全射なら $f^{-1}(y)\neq\emptyset$ なので矛盾する。$\square$

1. prop-perfect-map-restriction により $f_K\colon f^{-1}(K)\to K$ は完全写像なので、$Y=K$ がコンパクトな場合に $X$ がコンパクトであることを示せばよい。$X$ の開被覆 $\mathcal{U}$ をとる。$\mathcal{U}$ の有限部分族 $\mathcal{V}$ ごとに $U_{\mathcal{V}}:=\bigcup\mathcal{V}$ とおく。各 $y\in Y$ のファイバーはコンパクトなので、$f^{-1}(y)\subset U_{\mathcal{V}}$ となる有限部分族 $\mathcal{V}$ があり、lem-perfect-map-saturation により $y\in U_{\mathcal{V}}^\flat$ である。したがって、すべての有限部分族 $\mathcal{V}$ にわたる開集合 $U_{\mathcal{V}}^\flat$ は $Y$ を覆う（族としてまとめて定義するので、ここでは選択公理を使わない）。$Y$ のコンパクト性により有限個の $\mathcal{V}_1,\dots,\mathcal{V}_n$ で $Y=\bigcup_iU_{\mathcal{V}_i}^\flat$ となり、
   $$ X=f^{-1}(Y)=\bigcup_{i=1}^nf^{-1}(U_{\mathcal{V}_i}^\flat)\subset\bigcup_{i=1}^nU_{\mathcal{V}_i} $$
   である。$\mathcal{V}_1\cup\cdots\cup\mathcal{V}_n$ は $\mathcal{U}$ の有限部分被覆である。
2. 同じ構成で、$Y$ の Lindelöf 性により高々可算個の $\mathcal{V}_1,\mathcal{V}_2,\dots$ を選べば、$\mathcal{V}_1\cup\mathcal{V}_2\cup\cdots$ は $\mathcal{U}$ の高々可算な部分被覆である。$\square$

連続写像の合成は連続であり、閉写像の合成は閉写像なので、$g\circ f$ は連続かつ閉である。$z\in Z$ に対し $K:=g^{-1}(z)$ はコンパクトである。制限 $f_K\colon f^{-1}(K)\to K$ は prop-perfect-map-restriction により完全写像なので、prop-perfect-map-inv-cpt により
$$ (g\circ f)^{-1}(z)=f^{-1}(g^{-1}(z))=f^{-1}(K) $$
はコンパクトである。よって合成は完全写像である。$\square$

射影 $p$ は連続であり、各 $x\in X$ のファイバー $\{x\}\times K$ は $K$ と同相（同相写像が存在する）だからコンパクトである。閉集合 $A\subset X\times K$ と $x\notin p(A)$ をとる。各 $k\in K$ について $(x,k)\notin A$ なので、直積位相の定義により開集合 $U_k\subset X$ と $V_k\subset K$ を
$$ (x,k)\in U_k\times V_k\subset(X\times K)\setminus A $$
となるようにとれる（各 $k$ について一組ずつ選ぶので、$K$ が無限集合のときは選択公理を使う）。$K$ のコンパクト性により有限個の $V_{k_1},\dots,V_{k_n}$ が $K$ を覆う。$U:=\bigcap_{i=1}^nU_{k_i}$ とすれば $x\in U$ で、$U\times K\subset\bigcup_i U_{k_i}\times V_{k_i}$ は $A$ と交わらない。したがって $U\cap p(A)=\emptyset$ であり、$X\setminus p(A)$ は開である。ゆえに $p$ は閉写像である。$\square$

完全写像ならコンパクト集合の逆像がコンパクトであることは prop-perfect-map-inv-cpt である。逆を示す。一点集合はコンパクトなので、各ファイバー $f^{-1}(y)$ はコンパクトである。閉写像であることを示すため、閉集合 $C\subset X$ と $y\in\overline{f(C)}$ をとる。$y$ のコンパクト近傍 $K$ をとると、$f^{-1}(K)\cap C$ はコンパクト集合 $f^{-1}(K)$ の閉部分集合なのでコンパクトで、その像 $f(f^{-1}(K)\cap C)=f(C)\cap K$ はコンパクトであり、Hausdorff 空間 $Y$ の閉集合である。$y$ の任意の開近傍 $W$ に対し、$W\cap\operatorname{Int}K$ は $y$ の開近傍なので $f(C)$ と交わり、その交点は $f(C)\cap K$ に属する。よって $y\in\overline{f(C)\cap K}=f(C)\cap K\subset f(C)$ である。ゆえに $f(C)$ は閉集合であり、$f$ は完全写像である。$\square$

lem-perfect-map-saturation の記号を使う。

1. $y_1\neq y_2$ をとる。$F_i:=f^{-1}(y_i)$ は交わらないコンパクト集合である。Hausdorff 空間では点とそれを含まないコンパクト集合を交わらない開集合で分離できる（コンパクト空間の記事の命題（保存と閉性）の証明の第 3 項）ので、各 $x\in F_1$ に対し交わらない開集合 $P_x\ni x$、$Q_x\supset F_2$ をとる（各 $x$ について一組ずつ選ぶので選択公理を使う）。$F_1$ のコンパクト性により有限個の $x_1,\dots,x_n$ で $F_1\subset U:=P_{x_1}\cup\cdots\cup P_{x_n}$ となり、$V:=Q_{x_1}\cap\cdots\cap Q_{x_n}$ は $F_2$ を含む開集合で $U\cap V=\emptyset$ である（$F_1=\emptyset$ は全射性により起こらない）。$U^\flat,V^\flat$ はそれぞれ $y_1,y_2$ を含む交わらない開集合である。
2. $y\in Y$ と $y$ を含まない閉集合 $B\subset Y$ をとる。$F:=f^{-1}(y)$ はコンパクト、$C:=f^{-1}(B)$ は閉で、$F\cap C=\emptyset$ である。正則性により各 $x\in F$ に対し交わらない開集合 $P_x\ni x$、$Q_x\supset C$ をとり、1 と同様に有限個で $F\subset U$、$C\subset V$、$U\cap V=\emptyset$ となる開集合 $U,V$ を得る。$U^\flat\ni y$、$V^\flat\supset B$ は交わらない開集合である。
3. $A,B\subset Y$ を交わらない閉集合とする。$f^{-1}(A),f^{-1}(B)$ は $X$ の交わらない閉集合なので、正規性により交わらない開集合 $U\supset f^{-1}(A)$、$V\supset f^{-1}(B)$ がある。$U^\flat\supset A$、$V^\flat\supset B$ は交わらない開集合である。
4. 1 により $Y$ は Hausdorff である。$y\in Y$ に対し $F:=f^{-1}(y)$ はコンパクトなので、局所コンパクト空間の記事の命題（コンパクト集合と開集合の間の緩衝帯）により、開集合 $U\supset F$ で $\overline{U}$ がコンパクトとなるものがある。$U^\flat$ は $y$ を含む開集合で、$f^{-1}(U^\flat)\subset U$ と全射性から $U^\flat=f(f^{-1}(U^\flat))\subset f(U)\subset f(\overline{U})$ である。$f(\overline{U})$ はコンパクト集合の連続像なのでコンパクトであり、$y$ の開近傍 $U^\flat$ を含むので、$y$ のコンパクト近傍である。$\square$