各点収束

同義語：pointwise convergence各点極限各点収束位相topology of pointwise convergence

概要

前提知識: 一様収束, 連続写像, 距離空間, Baireのカテゴリー定理

関数の列 $f_1,f_2,f_3,\dots$ が関数 $f$ に近づくとは何か。最も素朴な答えは「定義域の各点 $x$ ごとに、数列 $f_n(x)$ が $f(x)$ に収束する」というもので、これを 各点収束 という。各点収束は扱いやすく、関数の列の極限として現れる関数の多くは、まずこの意味の極限として得られる。その代わり、連続性・有界性・積分の値のように「1 点の値だけでは決まらない性質」は、各点収束の極限には一般に受け継がれない。これを補うのが一様収束である。
この記事では、各点収束の定義と一様収束との違いを確かめたあと、各点収束で保たれる性質を「有限個の点の値についての閉じた条件」としてまとめる（prop-pc-closed）。中心の結果は、連続関数の列の各点極限は、たとえ不連続でも「ほとんどの点」で連続であるという定理である（thm-pc-continuity-points）。ここから、至るところ不連続な Dirichlet の関数は連続関数の列の各点極限にならないことが分かり、さらに各点収束の位相が点列では記述できないこと（thm-pc-not-sequential）が従う。

定義

以下、$S$ を集合、$(Y,d)$ を距離空間とする。$Y$ が $\mathbb{R}$ や $\mathbb{C}$ のときは $d(u,v)=|u-v|$ である。各正の整数 $n$ に写像 $f_n\colon S\to Y$ を対応させたもの $(f_n)$ を写像の列（$Y=\mathbb{R},\mathbb{C}$ のときは関数列）という。

各点収束

写像の列 $f_n\colon S\to Y$ と写像 $f\colon S\to Y$ について、各 $x\in S$ で $Y$ の点列 $(f_n(x))_n$ が $f(x)$ に収束するとき、$(f_n)$ は $f$ に $S$ 上で 各点収束する（converge pointwise）といい、$f$ を $(f_n)$ の 各点極限 という。すなわち
$$ \forall x\in S\ \ \forall\varepsilon>0\ \ \exists N\ \ \forall n\ge N:\quad d\bigl(f_n(x),f(x)\bigr)<\varepsilon $$
が成り立つことである。ここで $N$ は $x$ と $\varepsilon$ の両方に依存してよい。

点列の極限はただ 1 つなので、各点極限もただ 1 つである。$Y=\mathbb{R}$ の場合は一様収束の記事の定義「関数列の各点収束」と同じである。一様収束は、上の式の $\exists N$ を $\forall x$ の前に出したもの、つまり $N$ を $x$ によらずに選べることを要求する。量化記号の順序の違いを表にまとめる。

収束の種類	条件	$N$ が依存してよいもの
各点収束	$\forall x\ \forall\varepsilon\ \exists N\ \forall n\ge N:\ d(f_n(x),f(x))<\varepsilon$	$x$ と $\varepsilon$
一様収束	$\forall\varepsilon\ \exists N\ \forall x\ \forall n\ge N:\ d(f_n(x),f(x))<\varepsilon$	$\varepsilon$ だけ
広義一様収束（$S$ が位相空間）	コンパクト部分集合 $K$ ごとに $K$ 上で一様収束	$\varepsilon$ と $K$

一様収束すれば広義一様収束し、広義一様収束すれば（1 点はコンパクトなので）各点収束する。逆はどちらも成り立たない（ex-pc-power）。

直感

各点収束は、関数のグラフ全体ではなく、縦の直線 $x=x_0$ の上だけを見る収束である。直線を 1 本固定すると、グラフとの交点 $(x_0,f_n(x_0))$ が $(x_0,f(x_0))$ に近づいていく。直線ごとに近づき方の速さはばらばらでよく、ある直線の上ではすでに近いのに、すぐ隣の直線の上ではまだ遠い、ということが起こりうる。そのため、隣り合う点の値どうしの関係で決まる性質（連続性）や、無限個の点の値をまとめて決まる量（積分）は極限で崩れうる。一方、有限個の点の値の間の不等式（単調性・凸性）は、それぞれの点で極限をとるだけで極限に移る。

例

冪の関数列

$[0,1]$ 上の $f_n(x)=x^n$ は、$0\le x<1$ で $x^n\to0$、$x=1$ で $1$ なので、$x<1$ で $0$、$x=1$ で $1$ をとる不連続な関数 $f$ に各点収束する。$\sup_{0\le x<1}|x^n-0|=1$ なので一様収束しない（一様収束の記事の例「冪の関数列」）。区間 $[0,1)$ はコンパクトでなく、$[0,1)$ 上では広義一様収束する（$[0,r]$ 上の差の上限は $r^n\to0$）が、一様収束はしない。

積分が 1 のまま 0 に各点収束する山

$[0,1]$ 上の連続関数 $f_n$（$n\ge2$）を、$0\le x\le\frac1n$ で $n^2x$、$\frac1n\le x\le\frac2n$ で $n^2\bigl(\frac2n-x\bigr)$、$x\ge\frac2n$ で $0$ と定める。グラフは底辺 $\frac2n$、高さ $n$ の三角形なので $\int_0^1f_n(x)\,dx=1$ である。一方、$f_n(0)=0$ であり、$x>0$ なら $n>\frac2x$ で $f_n(x)=0$ となる。よって $(f_n)$ は $0$ に各点収束するが、
$$ \lim_{n\to\infty}\int_0^1f_n(x)\,dx=1\ne0=\int_0^1\lim_{n\to\infty}f_n(x)\,dx $$
である。山は $x=0$ のほうへ逃げながら高くなるので、どの点でも最終的には山の外に出るが、面積は消えない。

Dirichlet の関数を 2 回の極限で表す

$\mathbb{R}$ 上の関数 $\chi$ を、$x$ が有理数なら $1$、無理数なら $0$ と定める（Dirichlet の関数）。整数 $m\ge1$ について
$$ g_m(x):=\lim_{n\to\infty}\bigl(\cos(m!\,\pi x)\bigr)^{2n},\qquad \chi(x)=\lim_{m\to\infty}g_m(x) $$
が成り立つ。実際、$|\cos(m!\pi x)|=1$ となるのは $m!x$ が整数のときだけなので、内側の極限は $m!x\in\mathbb{Z}$ なら $1$、そうでなければ $0$ である（$0\le c<1$ なら $c^{2n}\to0$）。$x=p/q$（$p,q$ は整数、$q\ge1$）が有理数なら、$m\ge q$ で $m!x$ は整数なので $g_m(x)=1$ が $m\ge q$ で続き、$x$ が無理数ならどの $m$ でも $m!x$ は整数でないので $g_m(x)=0$ である。
各 $g_m$ は連続関数 $(\cos(m!\pi x))^{2n}$ の各点極限で、不連続点は $\frac1{m!}\mathbb{Z}$ という離散的な集合である。一方、$\chi$ はどの点でも不連続である（どの区間も有理数と無理数を含む）。$\chi$ は各点極限の各点極限として得られたが、連続関数の列 1 本の各点極限にはならない（cor-pc-dirichlet）。

各点収束で保たれる性質

関数 $f\colon S\to\mathbb{R}$ についての性質の多くは、「ある $k$ 個の点 $x_1,\dots,x_k$ での値の組 $(f(x_1),\dots,f(x_k))$ が、ある閉集合に入る」という条件を、点の組を動かしてすべて要求する形をしている。たとえば単調増加は「$x< y$ を満たすすべての組 $(x,y)$ で $(f(x),f(y))\in\{(u,v)\mid u\le v\}$」である。この形の性質は各点極限に受け継がれる。

有限個の値についての閉じた条件の保存

$\Lambda$ を添字の集合とし、各 $\lambda\in\Lambda$ に、正の整数 $k_\lambda$、$S$ の点の組 $(x^\lambda_1,\dots,x^\lambda_{k_\lambda})$、$\mathbb{R}^{k_\lambda}$ の閉集合 $F_\lambda$ が与えられているとする。関数 $g\colon S\to\mathbb{R}$ が条件
$$ (\ast)\qquad \bigl(g(x^\lambda_1),\dots,g(x^\lambda_{k_\lambda})\bigr)\in F_\lambda\quad(\text{すべての }\lambda\in\Lambda) $$
を満たすとする。関数列 $(f_n)$ のすべての $f_n$ が $(\ast)$ を満たし、$(f_n)$ が $f$ に各点収束するなら、$f$ も $(\ast)$ を満たす。

$\lambda\in\Lambda$ を固定し、$k=k_\lambda$、$x_i=x^\lambda_i$ と書く。各 $i=1,\dots,k$ で $f_n(x_i)\to f(x_i)$ なので、$\mathbb{R}^k$ の点列 $v_n:=(f_n(x_1),\dots,f_n(x_k))$ は $v:=(f(x_1),\dots,f(x_k))$ に収束する（$\mathbb{R}^k$ の点列の収束は成分ごとの収束と同じである）。仮定から $v_n\in F_\lambda$ であり、$F_\lambda$ は閉集合なので、その点列の極限 $v$ も $F_\lambda$ に属する。$\lambda$ は任意なので $f$ は $(\ast)$ を満たす。

prop-pc-closed に当てはまる性質を挙げる。$I$ は区間とする。

性質	点の組	閉集合
$I$ 上で単調増加	$x< y$ を満たす $(x,y)\in I^2$	$u\le v$
$I$ 上で凸	$x,y\in I$、$t\in[0,1]$ ごとの $(x,y,(1-t)x+ty)$	$w\le(1-t)u+tv$
定数 $K$ の Lipschitz連続	$(x,y)\in S^2$（$S\subset\mathbb{R}$）	$\lvert u-v\rvert\le K\lvert x-y\rvert$
$\lvert f\rvert\le M$	$x\in S$	$\lvert u\rvert\le M$
周期 $p$ をもつ	$(x,x+p)$（$x\in\mathbb{R}$）	$u=v$
加法的 $f(x+y)=f(x)+f(y)$	$(x,y,x+y)$	$w=u+v$

たとえば、単調増加関数の列の各点極限は単調増加であり、単調関数の記事の定理「単調関数の不連続点」により、その不連続点は高々可算個である。凸関数の各点極限も凸関数である。
これに対し、連続性は「$x_0$ に近いすべての $x$ で $f(x)$ が $f(x_0)$ に近い」という、近くの無限個の点をまとめて見る条件で、上の形をしていない。有界性も「ある $M$ について $|f|\le M$」であり、$M$ が $n$ ごとに大きくなりうるので受け継がれない。一様収束なら受け継がれる性質が、各点収束では崩れる様子を表にする。

外す条件	反例	成り立たなくなること
一様収束（各点収束だけにする）	$[0,1]$ 上の $x^n$（ex-pc-power）	連続関数の極限は連続
一様収束（各点収束だけにする）	$(0,1]$ 上の $\min\{n,1/x\}$	有界関数の極限は有界
一様収束（各点収束だけにする）	$[0,1]$ 上で $\{q_1,\dots,q_n\}$ だけで $1$ をとる関数（$q_1,q_2,\dots$ は $[0,1]$ の有理数の番号づけ）	Riemann 可積分な関数の極限は Riemann 可積分
一様収束（各点収束だけにする）	三角形の山（ex-pc-tent）	積分と極限の順序の交換

反例の確認

2 行目：$f_n(x)=\min\{n,1/x\}$ は $0< f_n\le n$ で有界であり、$x\in(0,1]$ を固定すると $n\ge1/x$ で $f_n(x)=1/x$ となるので、$1/x$ に各点収束する。$1/x$ は $(0,1]$ 上で有界でない。
3 行目：$f_n$ は有限個の点を除いて $0$ である。$[0,1]$ の分割を細かくすれば、値 $1$ をとる $n$ 個の点を含む小区間の長さの和はいくらでも小さくできるので、上限和は $0$ にいくらでも近く、下限和は $0$ である。よって $f_n$ は Riemann 可積分で積分は $0$ である（Riemann積分の記事の定理「可積分性の判定条件」）。各点極限は $[0,1]$ 上の Dirichlet の関数 $\chi$ で、どの小区間でも上限は $1$、下限は $0$ なので、上限和は $1$、下限和は $0$ であり、Riemann 可積分でない。
1 行目と 4 行目の、一様収束の場合に成り立つ側は、一様収束の記事の定理「連続関数の一様極限の連続性」「一様収束と積分の交換」である。2 行目と 3 行目でも、一様収束なら極限は有界・可積分になる（有界性は、$|f_n-f|\le1$ となる $n$ をとれば $|f|\le|f_n|+1$ から分かる）。

連続関数の各点極限の連続点

ex-pc-power のように、連続関数の各点極限は不連続になりうる。では、どれほど不連続になれるのか。答えは「不連続点の集合は小さい」というもので、その小ささは Baireのカテゴリー定理の言葉で測られる。位相空間 $X$ の部分集合 $A$ は、閉包の内部が空のとき 疎集合、疎集合の可算個の和集合として表せるとき 第1類集合 という。$X$ が Baire 空間 であるとは、稠密な開集合の可算個の共通部分がつねに稠密であることで、これは「第1類集合の補集合がつねに稠密である」ことと同値である（Baireのカテゴリー定理の記事の命題「Baire 性の言い換え」）。完備距離空間と局所コンパクト Hausdorff 空間は Baire 空間である（同記事の定理「Baire のカテゴリー定理」）。

連続関数の各点極限の連続点

$X$ を位相空間、$(Y,d)$ を距離空間とし、連続写像の列 $f_n\colon X\to Y$ が写像 $f\colon X\to Y$ に各点収束するとする。

$f$ の不連続点の集合は $X$ の第1類集合に含まれる。
とくに $X$ が Baire 空間（たとえば完備距離空間）なら、$f$ の連続点の集合は $X$ で稠密である。

値の振れ幅が小さい閉集合を並べる

$\varepsilon>0$ と正の整数 $N$ に対し
$$ F_N(\varepsilon):=\{x\in X\mid \text{すべての }m,n\ge N\text{ について }d(f_m(x),f_n(x))\le\varepsilon\} $$
とおく。
段 1（$F_N(\varepsilon)$ は閉集合で、$X$ を覆う）。$m,n$ を固定すると $x\mapsto d(f_m(x),f_n(x))$ は連続なので、$\{x\mid d(f_m(x),f_n(x))\le\varepsilon\}$ は閉集合であり、$F_N(\varepsilon)$ はその共通部分として閉集合である。各 $x$ で $(f_n(x))$ は収束するので Cauchy 列であり、ある $N$ で $x\in F_N(\varepsilon)$ となる。よって $\bigcup_NF_N(\varepsilon)=X$ である。
段 2（内部の和集合の補集合は第1類）。$U(\varepsilon):=\bigcup_N\operatorname{int}F_N(\varepsilon)$ は開集合である。$x\notin U(\varepsilon)$ なら、段 1 により $x\in F_N(\varepsilon)$ となる $N$ があり、$x\notin\operatorname{int}F_N(\varepsilon)$ なので $x\in B_N:=F_N(\varepsilon)\setminus\operatorname{int}F_N(\varepsilon)$ である。$B_N$ は閉集合から開集合を除いたものなので閉集合である。$B_N$ に含まれる開集合 $W$ は $F_N(\varepsilon)$ に含まれる開集合なので $W\subset\operatorname{int}F_N(\varepsilon)$ であり、$B_N$ と交わらないから $W=\emptyset$ である。よって $B_N$ は内部が空の閉集合、すなわち疎集合であり、$X\setminus U(\varepsilon)\subset\bigcup_NB_N$ は第1類集合である。
段 3（$C:=\bigcap_{k\ge1}U(1/k)$ の各点で $f$ は連続）。$x_0\in C$ と $\varepsilon>0$ をとり、$\frac1k<\frac\varepsilon3$ となる $k$ を選ぶ。$x_0\in U(1/k)$ なので $x_0\in\operatorname{int}F_N(1/k)$ となる $N$ がある。$f_N$ は $x_0$ で連続なので、$x_0$ の開近傍 $W\subset\operatorname{int}F_N(1/k)$ を、$x\in W$ なら $d(f_N(x),f_N(x_0))<\frac\varepsilon3$ となるようにとれる。$x\in W$ と $n\ge N$ について $d(f_n(x),f_N(x))\le\frac1k$ であり、$n\to\infty$ とすると $f_n(x)\to f(x)$ と距離の連続性から $d(f(x),f_N(x))\le\frac1k<\frac\varepsilon3$ である。これは $x=x_0$ でも成り立つ。よって $x\in W$ なら
$$ d(f(x),f(x_0))\le d(f(x),f_N(x))+d(f_N(x),f_N(x_0))+d(f_N(x_0),f(x_0))<\varepsilon $$
であり、$f$ は $x_0$ で連続である。
段 4（結論）。段 3 により $f$ の不連続点は $X\setminus C=\bigcup_k\bigl(X\setminus U(1/k)\bigr)$ に含まれ、段 2 によりこれは第1類集合の可算和なので第1類集合である。これが 1 である。$X$ が Baire 空間なら、第1類集合の補集合 $C$ は稠密であり、$C$ は連続点の集合に含まれるので 2 が従う。

証明から、もう少し多くのことが分かる。各 $U(1/k)$ は補集合が第1類の開集合なので、$X$ が Baire 空間なら稠密な開集合であり、連続点の集合は稠密な開集合の可算個の共通部分 $C$ を含む。この定理は Mun00 Theorem 48.5（pp. 297–298）にあり、そこでは連続点の稠密性を Baire 空間の開部分空間についての補題を使って示している。上の証明は段 2 で第1類集合を直接作る形にした。

Dirichlet の関数は連続関数の各点極限でない

ex-pc-dirichlet の Dirichlet の関数 $\chi$ は、$\mathbb{R}$ 上のどんな連続関数の列の各点極限にもならない。$\chi$ を $[0,1]$ に制限した関数も、$[0,1]$ 上のどんな連続関数の列の各点極限にもならない。

$\mathbb{R}$ と $[0,1]$ は完備距離空間なので Baire 空間である。$\chi$ はどの点でも不連続なので連続点の集合は空であり、稠密でない。thm-pc-continuity-points の 2 により、$\chi$ は連続関数の列の各点極限でない。$[0,1]$ でも同じである。

連続関数の列の各点極限として表せる関数を 第1級の Baire 関数（Baire class one function）という。連続関数を第0級とし、第 $k$ 級の関数の列の各点極限を第 $k+1$ 級とよぶと、ex-pc-dirichlet と cor-pc-dirichlet により、Dirichlet の関数は第2級であって第1級でない。
Baire 空間であることは外せない。

外す条件	反例	成り立たなくなること
$X$ が Baire 空間	$X=\mathbb{Q}$ 上で、2 進有理数（分母が 2 の冪の有理数）で $1$、それ以外で $0$ をとる関数 $\psi$	連続点の集合が稠密

反例の確認：有理数の空間

$\mathbb{Q}$ は Baire 空間でない（Baireのカテゴリー定理の記事の例「有理数全体は Baire 空間でない」）。2 進有理数全体を $D$、$D_n:=\{m/2^n\mid m\in\mathbb{Z}\}$ とし、$\mathbb{R}$ 上の連続関数を $h_n(x):=\max\{0,\,1-4^n\operatorname{dist}(x,D_n)\}$ と定める（$\operatorname{dist}(x,D_n)$ は $x$ から $D_n$ の点までの距離の下限で、$x$ について連続である）。$x\in D$ なら、ある $n_0$ 以上のすべての $n$ で $x\in D_n$ となり $h_n(x)=1$ である。$x=p/q\in\mathbb{Q}\setminus D$（既約分数、$q\ge1$）なら、$q$ は 2 の冪でないので、$x-\frac m{2^n}=\frac{2^np-mq}{q2^n}$ の分子は $0$ でない整数である（$2^np=mq$ なら、$q$ は $2^np$ を割り切り $p$ と互いに素なので $2^n$ を割り切り、2 の冪になってしまう）。よって $\operatorname{dist}(x,D_n)\ge\frac1{q2^n}$、$4^n\operatorname{dist}(x,D_n)\ge\frac{2^n}q$ であり、$2^n\ge q$ なら $h_n(x)=0$ である。こうして $h_n$ を $\mathbb{Q}$ に制限した連続関数の列は $\psi$ に各点収束する。$D$ も $\mathbb{Q}\setminus D$ も $\mathbb{Q}$ で稠密なので、$\psi$ は $\mathbb{Q}$ のどの点でも不連続である。

各点収束の位相

写像全体の集合 $Y^S$ に直積位相を入れると、その位相での収束はちょうど各点収束になる（始位相の記事の例「各点収束の位相」と命題「始位相でのネットの収束」）。この位相を 各点収束位相 という。$Y=\mathbb{R}$ のとき、$f\in\mathbb{R}^S$ の近傍の基本形は、有限個の点 $x_1,\dots,x_k\in S$ と $\varepsilon>0$ で決まる
$$ N(f;x_1,\dots,x_k;\varepsilon):=\{g\in\mathbb{R}^S\mid |g(x_i)-f(x_i)|<\varepsilon\ (i=1,\dots,k)\} $$
である（直積位相の記事の命題「直積位相の開基」）。近傍が有限個の点の値しか制限しないことが、各点収束の性質のもとになっている。
$S$ が可算集合 $\{s_1,s_2,\dots\}$ なら、関数列の各点収束は距離で表せる。$\rho(f,g):=\sum_{j\ge1}2^{-j}\min\{1,|f(s_j)-g(s_j)|\}$ とおくと、$f_n\to f$ が各点収束であることと $\rho(f_n,f)\to0$ は同値である。実際、$\rho(f_n,f)\to0$ なら各 $j$ で $2^{-j}\min\{1,|f_n(s_j)-f(s_j)|\}\le\rho(f_n,f)\to0$ であり、逆に各点収束するなら、$\varepsilon>0$ に対し $\sum_{j>J}2^{-j}<\varepsilon$ となる $J$ をとり、$j\le J$ の有限個の点で差を小さくすれば $\rho(f_n,f)<2\varepsilon$ となる。$S$ が非可算になると、このような記述は不可能になる。実際、$\mathbb{R}^S$ 上のある距離 $\rho$ について、関数列の各点収束と $\rho$ での収束が一致したとする。$s\in S$ の指示関数（$s$ で $1$、ほかで $0$）を $e_s$ とし、$k\ge1$ について $S_k:=\{s\in S\mid \rho(e_s,0)\ge\frac1k\}$ とおく。$S_k$ が無限集合なら、相異なる点の列 $s_1,s_2,\dots$ を $S_k$ からとれる。各 $x\in S$ で $e_{s_n}(x)\ne0$ となる $n$ は高々 1 つなので $e_{s_n}$ は $0$ に各点収束し、$\rho(e_{s_n},0)\to0$ となって $\rho(e_{s_n},0)\ge\frac1k$ に反する。よって各 $S_k$ は有限集合である。$e_s\ne0$ なので $\rho(e_s,0)>0$ であり、$S=\bigcup_{k\ge1}S_k$ となるから、$S$ は可算である。

連続関数は各点収束位相で稠密

$C([0,1])$ を $[0,1]$ 上の実数値連続関数全体とする。$C([0,1])$ は各点収束位相を入れた $\mathbb{R}^{[0,1]}$ で稠密である。

有限個の点を折れ線で結ぶ

$f\in\mathbb{R}^{[0,1]}$ と近傍 $N(f;x_1,\dots,x_k;\varepsilon)$ をとる。点を並べ替えて重複を除き、$x_1<\dots< x_k$ としてよい。$g$ を、$[0,x_1]$ で $f(x_1)$、$[x_k,1]$ で $f(x_k)$、各 $[x_i,x_{i+1}]$ では $(x_i,f(x_i))$ と $(x_{i+1},f(x_{i+1}))$ を結ぶ 1 次関数と定める。$g$ は連続で $g(x_i)=f(x_i)$ なので、$g\in N(f;x_1,\dots,x_k;\varepsilon)\cap C([0,1])$ である。どの近傍も $C([0,1])$ と交わるので、$C([0,1])$ は稠密である。

各点収束位相は点列では決まらない

各点収束位相を入れた $\mathbb{R}^{[0,1]}$ で、$C([0,1])$ の閉包は全体であるが、$[0,1]$ 上の Dirichlet の関数 $\chi$ は $C([0,1])$ のどの点列の極限でもない。したがって、この位相空間は第1可算公理を満たさず、距離化可能でない。

閉包が全体であることは prop-pc-dense である。$C([0,1])$ の点列 $(g_n)$ が $\chi$ にこの位相で収束したとすると、それは $(g_n)$ が $\chi$ に各点収束することであり、cor-pc-dirichlet に反する。
第1可算公理を満たす空間では、部分集合 $A$ の閉包の点 $p$ は $A$ の点列の極限である。実際、$p$ の可算な基本近傍系 $V_1,V_2,\dots$ をとって $W_n:=V_1\cap\dots\cap V_n$ とおき、各 $n$ で $a_n\in W_n\cap A$ を選ぶと、$p$ の任意の近傍は $W_n$ を含み、$W_n\supset W_{n+1}\supset\cdots$ なので $a_n\to p$ である。$\chi$ は $C([0,1])$ の閉包の点だが点列の極限でないので、$\mathbb{R}^{[0,1]}$ は第1可算公理を満たさない。距離空間は第1可算公理を満たす（半径 $1/n$ の開球の全体が基本近傍系になる）ので、距離化可能でもない。

非可算個の直積が第1可算公理を満たさないことは、直積位相の記事の命題「非可算個の直積と第1可算公理」でも、近傍を直接調べる方法で示されている。thm-pc-not-sequential はそれより強く、「閉包の点はすべて点列の極限で届く」ことすら成り立たないことを、具体的な集合 $C([0,1])$ と点 $\chi$ で示している。各点収束位相で収束を調べるには、点列の代わりにネットを使う必要がある。

一様収束への格上げ

各点収束から一様収束を引き出すには、何らかの追加の条件が要る。代表的なものを挙げる（いずれも証明は各記事にある）。

追加の条件	結論	所在
$X$ がコンパクト、$f_n$ と $f$ が連続、各 $x$ で $f_n(x)$ が $n$ について単調	一様収束	Diniの定理の記事の定理「Diniの定理」
各 $f_n$ が $[a,b]$ 上で $x$ について単調、$f$ が連続	一様収束	Diniの定理の記事の命題「単調関数の列の連続関数への収束」
$K$ がコンパクト距離空間、$(f_n)$ が同程度連続	$f$ は連続で一様収束	Arzelà–Ascoliの定理の記事の命題「同程度連続な列の各点収束」

どの条件にも反例がある。ex-pc-power の $x^n$ は $[0,1]$ 上で 1 つ目と 2 つ目の条件のうち「$f$ が連続」だけを満たさず、3 つ目の同程度連続性も点 $1$ で満たさない。
測度論では、条件を「小さい集合を除いて」に緩めることで、各点収束をほとんど一様収束にできる。Lebesgue 可測関数の列 $f_n\colon\mathbb{R}^d\to\mathbb{C}$ がほとんどすべての点で $f$ に各点収束するなら、任意の $\varepsilon>0$ に対し、測度が $\varepsilon$ 以下の可測集合 $A$ があって、$A$ の外で $f_n$ は $f$ に局所一様収束する（Egorov の定理、Tao11 Theorem 1.3.26、p. 75。この記事では証明しない）。積分と極限の交換も、ほとんどすべての点での各点収束に「$|f_n|\le G$ となる可積分関数 $G$ がある」という押さえを加えれば成り立つ（優収束定理、Tao11 Theorem 1.4.49、p. 111。この記事では証明しない）。ex-pc-tent の山の列には、そのような $G$ がない（あれば $\int_0^1f_n\,dx\to0$ となるはずである）。

補足

連続な微分の各点極限

$f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ が微分可能なら、$f'(x)=\lim_{n\to\infty}n\bigl(f(x+\frac1n)-f(x)\bigr)$ であり、右辺の各項は連続関数である。よって導関数は第1級の Baire 関数であり、thm-pc-continuity-points により、どんな導関数もその連続点の集合は $\mathbb{R}$ で稠密である。微分可能な関数の導関数が至るところ不連続になることはない。

一様収束の記事との関係

各点収束と一様収束の基本的な対比（一様極限の連続性、積分・微分との交換、Weierstrass の判定法）は一様収束の記事で扱っている。各点収束の定義は Leb26 §6.1 の Definition 6.1.1（p. 227）、一様収束の定義は Definition 6.1.6（p. 229）にある。