無限次元のピタゴラスの定理

$u=(1,2,3)$ とし、正規直交系 $e_1=(1,0,0)$、$e_2=\frac15(0,3,4)$、$e_3=\frac15(0,4,-3)$ をとる（どの 2 つの内積も $0$、どれも長さ $1$）。成分は
$$ \langle u,e_1\rangle=1,\qquad \langle u,e_2\rangle=\frac{6+12}5=\frac{18}5,\qquad \langle u,e_3\rangle=\frac{8-9}5=-\frac15 $$
であり、2 乗の和は $1+\frac{324}{25}+\frac1{25}=\frac{350}{25}=14$ である。一方 $\|u\|^2=1+4+9=14$ で、両者は等しい。
$e_3$ を使わずに $e_1,e_2$ だけにすると、2 乗の和は $\frac{349}{25}$ で、$14$ より $\frac1{25}$ だけ小さい。座標軸が足りないと、取り残しが出る（Fourier係数と最良近似 の Bessel の不等式）。

$T(x)=1+3\cos x-2\sin2x$ の Fourier 係数は $a_0=2$（定数項 $1=\frac{a_0}2$）、$a_1=3$、$b_2=-2$ で、他はすべて $0$ である。このとき
$$ \frac{a_0^2}2+\sum_{n\ge1}(a_n^2+b_n^2)=\frac42+9+4=15 $$
であり、三角関数の直交性（高校数学） で計算した $\int_{-\pi}^{\pi}T(x)^2dx=15\pi$ を $\pi$ で割った値と等しい。三角多項式は有限個の「座標軸」だけでちょうど表せるので、取り残しがない。

$f(x)=x$、$\delta=\frac12$ とする。$g$ を、$[-\pi,\pi-\frac12]$ では $g(x)=x$、$[\pi-\frac12,\pi]$ では点 $\bigl(\pi-\frac12,\pi-\frac12\bigr)$ と点 $(\pi,-\pi)$ を結ぶ 1 次関数とする。

1. $g$ は $x=\pi-\frac12$ でつながっているので連続であり、$g(\pi)=-\pi=g(-\pi)$ である。
2. $g$ の値は $-\pi$ と $\pi-\frac12$ の間にあるので、$|g|\le\pi$ である。
3. $f$ と $g$ が違うのは $[\pi-\frac12,\pi]$ だけで、そこでは $|f(x)-g(x)|\le|f(x)|+|g(x)|\le2\pi$ なので、$\|f-g\|^2\le(2\pi)^2\cdot\frac12=2\pi^2=19.7\ldots$ である。直接積分すると $\|f-g\|^2=\frac{4\pi^2}3\cdot\frac12=6.57\ldots$ であり、確かにこの上限以下である。
   $\delta$ を小さくすれば $\|f-g\|^2$ はいくらでも小さくなる。

1. $\mathbb{R}^2$ で $u=(1,0)$、$v=(1,1)$ とする。$u+v=(2,1)$ なので $\|u+v\|^2=4+1=5$、$2\|u\|^2+2\|v\|^2=2\cdot1+2\cdot2=6$ で、確かに $5\le6$ である。差 $6-5=1$ は、証明で捨てた $\|u-v\|^2=\|(0,-1)\|^2=1$ に等しい。
2. 等号になる例：$u=v=(1,1)$ とすると $\|u+v\|^2=\|(2,2)\|^2=8$、$2\|u\|^2+2\|v\|^2=2\cdot2+2\cdot2=8$ で、等号が成り立つ。$u-v=0$ なので、捨てた $\|u-v\|^2$ が $0$ だからである。

$f(x)=\cos^2x$ の Fourier 係数を計算すると、$a_0=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2x\,dx=1$、$a_2=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2x\cos2x\,dx=\frac12$ で、他はすべて $0$ である（たとえば $a_1=0$、$a_4=0$、$b_n=0$）。一方 $g(x)=\frac12+\frac12\cos2x$ の Fourier 係数も $a_0=1$、$a_2=\frac12$、他は $0$ である。係数がすべて一致するので、cor-idp-uniqueness により 2 つの連続関数は等しく、$\cos^2x=\frac12+\frac12\cos2x$ と結論できる。ただし、$f$ の係数 $\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2x\cos nx\,dx$ などは、ふつう $\cos^2x$ を半角の公式や積和の公式で和に直して計算する。したがってこれは半角の公式の新しい証明ではなく、答えが分かっている式で、一意性の使い方（係数を比べれば関数が決まる）を確かめ直したものである。

段 1 の式を $f(x)=x$ に使うと、取り残しは
$$ \int_{-\pi}^{\pi}(x-S_Nf)^2dx=\frac{2\pi^3}3-\pi\sum_{n=1}^N\frac4{n^2}=4\pi\Bigl(\frac{\pi^2}6-\sum_{n=1}^N\frac1{n^2}\Bigr) $$
である。数値で確かめる（$\frac{\pi^2}6=1.6449340\ldots$）。

$N=1$ の値 $8.104\ldots$ は、Fourier係数と最良近似 で求めた「$c\sin x$ の形でいちばん近いもの」までの距離の 2 乗と同じである。$N$ を $10$ 倍すると取り残しはほぼ $\frac1{10}$ になる（図 2）。

1. $f(x)=x^2$ に使う。$f$ は偶関数なので $b_n=0$ であり、$a_0=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}x^2dx=\frac{2\pi^2}3$ である。$n\ge1$ では部分積分を 2 回行って
   $$ \int_{-\pi}^{\pi}x^2\cos nx\,dx=\Bigl[\frac{x^2\sin nx}n\Bigr]_{-\pi}^{\pi}-\frac2n\int_{-\pi}^{\pi}x\sin nx\,dx=0-\frac2n\cdot\frac{2(-1)^{n+1}\pi}n=\frac{4(-1)^n\pi}{n^2} $$
   なので $a_n=\frac{4(-1)^n}{n^2}$ である（$\int_{-\pi}^{\pi}x\sin nx\,dx=\pi b_n$ は $f(x)=x$ の計算から）。左辺は $\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}x^4dx=\frac{2\pi^4}5$ なので、Parseval の等式は
   $$ \frac{2\pi^4}5=\frac12\Bigl(\frac{2\pi^2}3\Bigr)^2+\sum_{n=1}^\infty\frac{16}{n^4}=\frac{2\pi^4}9+16\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^4} $$
   となる。$\frac{2\pi^4}5-\frac{2\pi^4}9=\frac{8\pi^4}{45}$ を $16$ で割って $\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^4}=\frac{\pi^4}{90}$ を得る。
2. $f(x)=|x|$ に使う。Fourier係数と最良近似 で計算したとおり $a_0=\pi$、奇数の $n$ で $a_n=-\frac4{\pi n^2}$、それ以外の係数は $0$ である。左辺は $\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}x^2dx=\frac{2\pi^2}3$ なので
   $$ \frac{2\pi^2}3=\frac{\pi^2}2+\frac{16}{\pi^2}\sum_{n\text{ は奇数}}\frac1{n^4},\qquad \sum_{n\text{ は奇数}}\frac1{n^4}=1+\frac1{3^4}+\frac1{5^4}+\cdots=\frac{\pi^4}{96} $$
   である。これは 1 と矛盾しない：偶数の項の和は $\sum\frac1{(2m)^4}=\frac1{16}\cdot\frac{\pi^4}{90}$ なので、奇数の項の和は $\frac{15}{16}\cdot\frac{\pi^4}{90}=\frac{\pi^4}{96}$ となり、一致する。

$\sin nx$（$n\ge1$）だけを使い、$\cos$ の系を使わないとする。$f(x)=\cos x$ について、$\sin$ の係数はすべて $b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}\cos x\sin nx\,dx=0$ なので、その 2 乗の和は $0$ である。一方 $\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2x\,dx=1$ である。$0<1$ で、等号は成り立たない。Parseval の等式は、$1,\cos nx,\sin nx$ をすべて使ったときの主張である。ex-idp-vector で $e_3$ を落としたときと同じことが起きている。

thm-idp-parseval の収束 $\int(f-S_Nf)^2dx\to0$ を平均二乗収束という。これは、各点 $x$ で $S_Nf(x)\to f(x)$ となること（各点収束）とは別の主張である。

1. $f(x)=x$ では、$\sin n\pi=0$ からすべての $N$ で $S_Nf(\pi)=0$ であり、$f(\pi)=\pi$ に近づかない（図 3）。それでも取り残し $\int(x-S_Nf)^2dx$ は $0$ に近づく（ex-idp-table）。$-\pi< x<\pi$ の各点では $S_Nf(x)\to x$ となるが、それは平均二乗収束からは出ず、各点収束の定理（Leb26 定理 11.8.10。本記事では証明しない）による。
2. 連続関数 $g_k(x):=\max(0,1-k|x|)$（$k=1,2,3,\dots$。原点で高さ $1$、幅 $\frac2k$ の山）は、$\|g_k\|^2=2\int_0^{1/k}(1-kx)^2dx=\frac2{3k}\to0$ を満たすので、長さの意味では $0$ に近づく。しかし $g_k(0)=1$ はずっと $0$ に近づかない。

区間 $[-\pi,\pi]$ で、$x=0$ のとき $1$、それ以外で $0$ をとる関数 $h$ を考える。$h$ は連続でないが、積分は定まり、$h\cos nx$ も $h\sin nx$ も 1 点を除いて $0$ なので、Fourier 係数はすべて $0$ である。しかし $h$ は $0$ でない。cor-idp-uniqueness の証明で使った正定値性（$\int h^2dx=0$ なら $h=0$）が、連続でない関数では成り立たないからである。