和と積分の対応表

$$ \sum_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}2,\qquad\int_0^nx\,dx=\frac{n^2}2 $$
である。$n=10$ なら和は $55$、積分は $50$ である。どちらも「$n^2$ の半分くらい」になっている。

数列 $a_k=k^2$ の階差数列は $b_k=a_{k+1}-a_k=(k+1)^2-k^2=2k+1$ である。階差数列の公式により、$n\ge2$ で
$$ a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k=1+\sum_{k=1}^{n-1}(2k+1) $$
である。実際 $n=4$ なら $1+(3+5+7)=16=4^2$ である。
積分では、$F(x)=x^2$ の導関数が $F'(x)=2x$ なので、$F(n)=F(0)+\int_0^n2x\,dx$ である。「もとの関数の値 ＝ 初めの値 ＋ 変化の割合を足したもの」という形が共通している。

$S=\sum_{k=1}^nk\,2^k=1\cdot2+2\cdot2^2+\cdots+n\cdot2^n$ を求める。$2S=1\cdot2^2+2\cdot2^3+\cdots+n\cdot2^{n+1}$ と並べて引くと、同じ $2^j$ どうしの係数の差がどれも $1$ になるので
$$ S-2S=2+2^2+\cdots+2^n-n\cdot2^{n+1}=(2^{n+1}-2)-n\cdot2^{n+1} $$
である（等比数列の和の公式を使った）。よって $S=(n-1)2^{n+1}+2$ である。$n=3$ なら $2+8+24=34$、公式は $2\cdot16+2=34$ である。
積分では、部分積分により
$$ \int_0^nxe^x\,dx=\bigl[xe^x\bigr]_0^n-\int_0^ne^x\,dx=ne^n-(e^n-1)=(n-1)e^n+1 $$
である。答えの形「$(n-1)\times$（底の累乗）$+$ 定数」がよく似ている。

def-sic-difference に当てはめる。整数 $k$ について
$$ \Delta(f+g)(k)=\bigl(f(k+1)+g(k+1)\bigr)-\bigl(f(k)+g(k)\bigr)=\bigl(f(k+1)-f(k)\bigr)+\bigl(g(k+1)-g(k)\bigr)=\Delta f(k)+\Delta g(k) $$
である。同じように
$$ \Delta(cf)(k)=c\,f(k+1)-c\,f(k)=c\bigl(f(k+1)-f(k)\bigr)=c\,\Delta f(k) $$
である。定数関数 $f(k)=c$ では $\Delta f(k)=f(k+1)-f(k)=c-c=0$ である。

• $\Delta k^2=(k+1)^2-k^2=2k+1$。
• $\Delta k^3=(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1$。
• $\Delta k(k-1)=(k+1)k-k(k-1)=k\{(k+1)-(k-1)\}=2k$。
• $\Delta\frac1{k+1}=\frac1{k+2}-\frac1{k+1}=\frac{(k+1)-(k+2)}{(k+1)(k+2)}=-\frac1{(k+1)(k+2)}$。
  1 つ目と 2 つ目は、微分の公式 $(x^2)'=2x$、$(x^3)'=3x^2$ から余分な項がついている。3 つ目は $(x^2)'=2x$ と同じ形である。4 つ目は、$\left(\frac1x\right)'=-\frac1{x^2}$ とよく似た形である。

• $F(k)=k^2$ は $\Delta F(k)=2k+1$ を満たす（ex-sic-difference）。1 を $a=0$、$b=n$ で使うと $\sum_{k=0}^{n-1}(2k+1)=n^2-0^2=n^2$ である。$n=4$ なら $1+3+5+7=16$ である。奇数を小さい方から $n$ 個足すと $n^2$ になる。
• $F(k)=-\frac1{k+1}$ は $\Delta F(k)=\frac1{(k+1)(k+2)}$ を満たす（ex-sic-difference の 4 つ目の符号を変えたもの）。1 を $a=0$、$b=n$ で使うと
  $$ \sum_{k=0}^{n-1}\frac1{(k+1)(k+2)}=-\frac1{n+1}-\left(-\frac11\right)=1-\frac1{n+1} $$
  である。$n=3$ なら $\frac12+\frac16+\frac1{12}=\frac{6+2+1}{12}=\frac34=1-\frac14$ である。
• ex-sic-kaisa の階差数列の公式は、1 を $F=a$、$f=b$、区間の端を $1$ と $n$ にして使ったものである。

ex-sic-fundamental の 2 つ目の和 $\sum_{k=0}^{n-1}\frac1{(k+1)(k+2)}=1-\frac1{n+1}$ を、積分と比べる。
$$ \int_1^{n+1}\frac{dx}{x^2}=\left[-\frac1x\right]_1^{n+1}=-\frac1{n+1}-\left(-1\right)=1-\frac1{n+1} $$
で、和と同じ値になる。これは偶然ではない。幅 $1$ の区間 $[k+1,k+2]$ で積分すると
$$ \int_{k+1}^{k+2}\frac{dx}{x^2}=\left[-\frac1x\right]_{k+1}^{k+2}=\frac1{k+1}-\frac1{k+2}=\frac{(k+2)-(k+1)}{(k+1)(k+2)}=\frac1{(k+1)(k+2)} $$
なので、和の各項がちょうど幅 $1$ の区間での積分になっている。$k=0,\dots,n-1$ について足すと、区間についての加法性から $\int_1^{n+1}\frac{dx}{x^2}$ になる。$n=3$ なら、どちらも $\frac34$ である。

• $5^{(2)}=5\cdot4=20$、$5^{(3)}=5\cdot4\cdot3=60$、$5^{(5)}=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120=5!$。
• $3^{(4)}=3\cdot2\cdot1\cdot0=0$。$0$ 以上の整数 $n$ と $m>n$ では、因子 $n-n=0$ が入るので $n^{(m)}=0$ である。
• $k^{(1)}=k$、$k^{(2)}=k(k-1)=k^2-k$、$k^{(3)}=k(k-1)(k-2)=k^3-3k^2+2k$。
• $k^{(-1)}=\frac1{k+1}$、$2^{(-2)}=\frac1{3\cdot4}=\frac1{12}$。
  $0$ 以上の整数 $n$ について、$n^{(m)}$ は $n$ 個から $m$ 個を選んで並べる順列の数 ${}_n\mathrm{P}_m$ である。

cor-sic-falling-sum を $m=2$、$a=0$、$b=n$ で使うと、$0^{(3)}=0$ なので
$$ \sum_{k=0}^{n-1}k(k-1)=\frac{n^{(3)}}3=\frac{n(n-1)(n-2)}3 $$
である。$n=4$ なら左辺は $0+0+2+6=8$、右辺は $\frac{4\cdot3\cdot2}3=8$ である。積分では $\int_0^4x^2\,dx=\frac{64}3=21.33\cdots$ で、答えの形 $\frac{n^3}3$ と $\frac{n(n-1)(n-2)}3$ が対応している。

$k^2$ を下降階乗冪で書くと $k^2=k(k-1)+k=k^{(2)}+k^{(1)}$ である。和の線形性と cor-sic-falling-sum（$m=2$ と $m=1$）により
$$ \sum_{k=0}^{n-1}k^2=\frac{n^{(3)}}3+\frac{n^{(2)}}2=\frac{n(n-1)(n-2)}3+\frac{n(n-1)}2=\frac{n(n-1)\{2(n-2)+3\}}6=\frac{n(n-1)(2n-1)}6 $$
である。$n=4$ なら左辺は $0+1+4+9=14$、右辺は $\frac{4\cdot3\cdot7}6=14$ である。$n$ を $n+1$ に取りかえると、高校の公式 $\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$ になる（$k=0$ の項は $0$）。

cor-sic-falling-sum を $m=-2$、$a=0$、$b=n$ で使う。$m+1=-1$ なので
$$ \sum_{k=0}^{n-1}k^{(-2)}=\frac{n^{(-1)}-0^{(-1)}}{-1}=-\frac1{n+1}+1=1-\frac1{n+1} $$
である。これは ex-sic-fundamental の 2 つ目の和と同じもので、積分 $\int x^{-2}\,dx=\frac{x^{-1}}{-1}$ と同じ形の計算で求まった。

• prop-sic-exp より $F(k)=2^k$ は $2^k$ の不定和なので、$\sum_{k=0}^{n-1}2^k=2^n-2^0=2^n-1$ である。積分では $\int_0^ne^x\,dx=e^n-1$ である。$n=5$ なら、和は $1+2+4+8+16=31$、積分は $e^5-1=147.41\cdots$ である。
• $a=2$ とすると $\Delta3^k=2\cdot3^k$ なので、$F(k)=\frac{3^k}2$ が $3^k$ の不定和である。$\sum_{k=0}^{n-1}3^k=\frac{3^n-1}2$ である。$n=3$ なら $1+3+9=13=\frac{27-1}2$ である。積分では $\int_0^ne^{2x}\,dx=\frac{e^{2n}-1}2$ で、「$2$ で割る」ところまで対応している。

prop-sic-harmonic と thm-sic-fundamental の 1（$a=n$、$b=2n$）により
$$ \sum_{k=n}^{2n-1}\frac1{k+1}=\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{2n}=H_{2n}-H_n $$
である。積分では $\int_n^{2n}\frac{dx}x=\log2n-\log n=\log2=0.69315$ である（小数第 5 位まで）。値を比べると

で、$n$ を大きくすると $\log 2$ に近づいていく。$n=1$ では $H_2-H_1=\frac12$ である。

$f(k)=k$、$g(k)=2^k$ とする。$f(k)g(k)=k\,2^k$ の差分は
$$ \Delta(k\,2^k)=(k+1)2^{k+1}-k\,2^k=2^k\{2(k+1)-k\}=(k+2)\,2^k $$
である。一方 $\Delta f(k)=1$、$\Delta g(k)=2^k$ なので、微分の積の公式をそのまま真似た $f\,\Delta g+g\,\Delta f$ は $k\,2^k+2^k=(k+1)2^k$ であり、$(k+2)2^k$ と一致しない。$g$ を $1$ つずらした $f(k)\,\Delta g(k)+g(k+1)\,\Delta f(k)$ にすると $k\,2^k+2^{k+1}=(k+2)2^k$ となって一致する。

$f(k)=k$、$g(k)=2^k$ とすると $\Delta g(k)=2^k$、$\Delta f(k)=1$、$g(k+1)=2^{k+1}$ である。thm-sic-parts の 2 を $a=0$、$b=n$ で使うと
$$ \sum_{k=0}^{n-1}k\,2^k=n\,2^n-0\cdot2^0-\sum_{k=0}^{n-1}2^{k+1}=n\,2^n-(2^{n+1}-2)=(n-2)\,2^n+2 $$
である（$\sum_{k=0}^{n-1}2^{k+1}=2+4+\cdots+2^n=2^{n+1}-2$）。$n=4$ なら左辺は $0+2+8+24=34$、右辺は $2\cdot16+2=34$ である。
積分の側は、ex-sic-s2s で計算した $\int_0^nxe^x\,dx=ne^n-(e^n-1)=(n-1)e^n+1$ である。計算の手順が 1 行ずつ対応している。ex-sic-s2s の $S-2S$ の計算は、部分和分をこの場合に行ったものである。実際、$n$ を $n+1$ に取りかえると $\sum_{k=1}^{n}k\,2^k=(n-1)2^{n+1}+2$ となり、ex-sic-s2s の答えと一致する（$k=0$ の項は $0$）。

$f(k)=H_k$、$g(k)=k$ とすると $\Delta g(k)=1$、$\Delta f(k)=\frac1{k+1}$（prop-sic-harmonic）、$g(k+1)=k+1$ である。thm-sic-parts の 2 を $a=0$、$b=n$ で使うと
$$ \sum_{k=0}^{n-1}H_k=n\,H_n-0\cdot H_0-\sum_{k=0}^{n-1}(k+1)\cdot\frac1{k+1}=n\,H_n-n $$
である。$n=3$ なら左辺は $H_0+H_1+H_2=0+1+\frac32=\frac52$、右辺は $3\cdot\frac{11}6-3=\frac{11}2-3=\frac52$ である。
積分では、$f(x)=\log x$、$g(x)=x$ として部分積分すると
$$ \int_1^n\log x\,dx=\bigl[x\log x\bigr]_1^n-\int_1^nx\cdot\frac1x\,dx=n\log n-(n-1) $$
である。$H_n\leftrightarrow\log n$ と読みかえると、$nH_n-n$ と $n\log n-n+1$ が対応している。

$(x^m)'=mx^{m-1}$ と同じ形の $\Delta k^m=mk^{m-1}$ は、$m=2$ で $\Delta k^2=2k+1\ne2k$ となって成り立たない。$m=3$ でも $\Delta k^3=3k^2+3k+1\ne3k^2$ である。そのため $\sum_{k=0}^{n-1}k^2$ は $\frac{n^3}3$ にならず、$\frac{n^3}3-\frac{n^2}2+\frac n6$ になる（ex-sic-square-sum の答えを展開したもの）。冪を下降階乗冪に取りかえると、公式が成り立つようになる（prop-sic-falling）。

thm-sic-parts の 1 で $g(k+1)=g(k)+\Delta g(k)$ と書きかえると
$$ \Delta(fg)(k)=f(k)\,\Delta g(k)+g(k)\,\Delta f(k)+\Delta f(k)\,\Delta g(k) $$
となる。微分の積の公式と比べると、最後の項 $\Delta f\,\Delta g$ が余分である。$f(k)=g(k)=k$ なら $\Delta f=\Delta g=1$ で、$\Delta(k\cdot k)=k+k+1=2k+1$ となる。ex-sic-power-rule の余分な $1$ は、この項から来ている。微分では、この項に当たるものは $h\to0$ の極限で消えてしまう（$h$ の 2 乗の大きさの項だからである）。

合成関数の微分により $\left(e^{x^2}\right)'=2x\,e^{x^2}$ なので（置換積分 $t=x^2$ をしても同じ）
$$ \int_0^n2x\,e^{x^2}\,dx=e^{n^2}-1 $$
である。これを真似て $\sum_{k=0}^{n-1}(2k+1)\,2^{k^2}=2^{n^2}-1$ となるかを調べると

で、$n=2$ から一致しない。実際の差分は
$$ \Delta2^{k^2}=2^{(k+1)^2}-2^{k^2}=2^{k^2}\left(2^{2k+1}-1\right) $$
であり、$(2k+1)\,2^{k^2}$ とは違う。合成関数の微分は「中の関数 $x^2$ が少し変わると、外の関数がその変化に比例して変わる」ことに基づく。差分では中の関数 $k^2$ が一度に $2k+1$ も変わるので、外の関数 $2^{(\cdot)}$ の差分の公式をそのまま使えない。

$G(x)=\sin2\pi x$ を実数全体で考えると、すべての実数 $x$ で
$$ G(x+1)-G(x)=\sin(2\pi x+2\pi)-\sin2\pi x=0 $$
である。しかし $G(0)=0$、$G\left(\frac14\right)=\sin\frac\pi2=1$ なので、$G$ は定数ではない。thm-sic-fundamental の 3 は、$G$ が 整数の上だけで 定義されていることを使っている。整数の上では $G(k)=\sin2\pi k=0$ で定数なので、定理とは矛盾しない。実数の上で考えると、不定和は定数ではなく「$G(x+1)=G(x)$ を満たす関数（周期 $1$ の関数）」の差を除いてしか決まらない。

対応表で $H_k$ と $\log x$ は同じ行にあるが、値は一致しない。$n=10$ で $H_{10}=2.92897$、$\log10=2.30259$ である。差 $H_n-\log n$ は $n=100$ で $0.58221$、$n=1000$ で $0.57772$ となり、$0$ ではなく $0.5772\cdots$（Euler の定数）に近づく。この差がなぜ収束するのかは 和と積分の差 で、差をさらにくわしく表す方法は Euler–Maclaurinの公式（高校数学） で扱う。

$x=3$ での $E_h(3)=(1+h)^{3/h}$ の値は次のとおりである（小数第 2 位まで）。

$e^3=20.09$ にゆっくり近づいていく。$h=1$ では $E_1(x)=2^x$ で、prop-sic-exp の $2^k$ である。$h=\frac12$ では $E_{1/2}(3)=1.5^6=11.390625$ である。
$x=1$、$h=\frac1n$ とすると $E_{1/n}(1)=\left(1+\frac1n\right)^n$ である。これが $e$ に近づくことは、高校数学の記事 (1+1/n)^nの極限 でも別の方法で扱っている。

prop-sic-step-falling の 1 から、$F(x)=\frac{x^{(3)}_h}3$ は $\Delta_hF=x^{(2)}_h$ を満たす。prop-sic-step-sum を $a=0$、$b=1$、$h=\frac1N$ で使うと
$$ h\sum_{j=0}^{N-1}(jh)(jh-h)=\frac{1^{(3)}_h-0}3=\frac{1\cdot(1-h)(1-2h)}3 $$
である。$h=\frac1{10}$ なら右辺は $\frac{1\cdot0.9\cdot0.8}3=0.24$ で、左辺も $\frac1{1000}\sum_{j=0}^9j(j-1)=\frac{240}{1000}=0.24$ である（$\sum_{j=0}^9j(j-1)=\frac{10\cdot9\cdot8}3=240$、ex-sic-falling-square の $n=10$）。$h=\frac1{100}$ なら $\frac{0.99\cdot0.98}3=0.3234$ である。$h\to0$ で $\frac13=\int_0^1x^2\,dx$ に近づく。