超幾何級数

$P=0$ なら $n\ge1$ で $t_n=0$ であり、$a_1=0$、$p=1$、$q=0$ ととればよい（$(0)_n=0$、$n\ge1$）。$P\neq0$ とし、$\mathbb C$ 上で $P(x)=C_1\prod_{i=1}^{p'}(x+a_i)$、$Q(x)=C_2\prod_{j=1}^q(x+b_j)$ と分解する。$Q(n)\neq0$（$n\ge0$）だから $b_j$ は $0$ 以下の整数でない。$C:=C_1/C_2$、$p:=p'+1$、$a_p:=1$ とおくと

$$\frac{t_{n+1}}{t_n}=C\,\frac{\prod_{i=1}^{p}(n+a_i)}{\prod_{j=1}^{q}(n+b_j)\cdot(n+1)}$$

である。一方 $s_n:=\frac{(a_1)_n\cdots(a_p)_n}{(b_1)_n\cdots(b_q)_n\,n!}C^n$ は $s_0=1$ で、$(a)_{n+1}=(a)_n(a+n)$ から $s_{n+1}/s_n$ は同じ式になる。$n$ についての帰納法で $t_n=s_n$ である。

仮定から係数 $c_n$ はすべて $0$ でなく、$\Bigl\lvert\frac{c_{n+1}}{c_n}\Bigr\rvert=\frac{\prod_{i=1}^p\lvert n+a_i\rvert}{\prod_{j=1}^q\lvert n+b_j\rvert\cdot(n+1)}=n^{p-q-1}\cdot\frac{\prod_i\lvert1+a_i/n\rvert}{\prod_j\lvert1+b_j/n\rvert\cdot(1+1/n)}$ である。右辺の分数は $n\to\infty$ で $1$ に近づくので、比の絶対値は $p\le q$ なら $0$、$p=q+1$ なら $1$、$p>q+1$ なら $\infty$ に近づく。収束半径 の命題「係数の比による公式」から主張が従う。

$F=\sum_nt_nz^n$ とすると、収束円板の中では項別に微分できるので、$\prod_j(\theta+b_j-1)$ を作用させると $z^n$ の係数に $\prod_j(n+b_j-1)$ が掛かる。左辺は $\sum_{n\ge1}n\prod_j(n-1+b_j)\,t_nz^n=\sum_{m\ge0}(m+1)\prod_j(m+b_j)\,t_{m+1}z^{m+1}$、右辺は $\sum_{m\ge0}\prod_i(m+a_i)\,t_mz^{m+1}$ である。$t_{m+1}/t_m=\frac{\prod_i(m+a_i)}{\prod_j(m+b_j)(m+1)}$（$t_m=0$ なら $t_{m+1}=0$）から係数は等しい。

$p=2$、$q=1$ では $\theta(\theta+c-1)F=z(\theta+a)(\theta+b)F$ で、$\theta F=zF'$、$\theta^2F=z^2F''+zF'$ を代入すると、左辺は $z^2F''+czF'$、右辺は $z^3F''+(a+b+1)z^2F'+abzF$ になる。移項して $z$ で割ればよい。

$u\in[0,1]$ では $\lvert zu\rvert\le\lvert z\rvert<1$ だから、ex-hgs-elementary により $(1-zu)^{-a}=\sum_n\frac{(a)_n}{n!}z^nu^n$ で、$\sum_n\bigl\lvert\frac{(a)_n}{n!}\bigr\rvert\lvert z\rvert^n<\infty$ なので $u$ について一様に収束する。重み $\lvert u^{b-1}(1-u)^{c-b-1}\rvert=u^{\operatorname{Re}b-1}(1-u)^{\operatorname{Re}(c-b)-1}$ は可積分だから項別に積分でき、ベータ関数 の定理「Γ関数による表示」により

$$\int_0^1u^{b+n-1}(1-u)^{c-b-1}\,du=B(b+n,c-b)=\frac{\Gamma(b+n)\Gamma(c-b)}{\Gamma(c+n)}$$

である。$\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(b)\Gamma(c-b)}$ を掛けると $\frac{\Gamma(b+n)}{\Gamma(b)}\cdot\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(c+n)}=\frac{(b)_n}{(c)_n}$ となり、右辺は $\sum_n\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n\,n!}z^n$ に等しい。

$K$ はコンパクトなので、$K$ 上で $\lvert a\rvert,\lvert b\rvert,\lvert c\rvert\le M$、$\operatorname{Re}(c-a-b)\ge2\delta$ となる $M\ge0$、$\delta>0$ がある。$\lvert w\rvert\le\frac12$ なら $L(w):=\operatorname{Log}(1+w)$ は $\lvert L(w)-w\rvert=\bigl\lvert\sum_{k\ge2}\frac{(-1)^{k+1}w^k}k\bigr\rvert\le\frac{\lvert w\rvert^2}2\sum_{k\ge0}2^{-k}=\lvert w\rvert^2$ をみたす。$n\ge2M+2$ なら $\lvert a/n\rvert,\lvert b/n\rvert,\lvert c/n\rvert,\frac1n\le\frac12$ だから

$$\Bigl\lvert\frac{t_{n+1}}{t_n}\Bigr\rvert=\Bigl\lvert\exp\Bigl(L\bigl(\tfrac an\bigr)+L\bigl(\tfrac bn\bigr)-L\bigl(\tfrac cn\bigr)-L\bigl(\tfrac1n\bigr)\Bigr)\Bigr\rvert\le\exp\Bigl(\frac{\operatorname{Re}(a+b-c)-1}n+\frac{3M^2+1}{n^2}\Bigr)\le\exp\Bigl(-\frac{1+2\delta}n+\frac{3M^2+1}{n^2}\Bigr)$$

である（$t_n=0$ となる $n$ 以降はすべて $0$ なので、$t_n\neq0$ の場合だけ考えればよい）。整数 $N\ge\max\{2M+2,(3M^2+1)/\delta\}$ をとると、$n\ge N$ で右辺は $\exp\bigl(-\frac{1+\delta}n\bigr)$ 以下である。$n>N$ について掛け合わせ、$\sum_{k=N}^{n-1}\frac1k\ge\int_N^n\frac{dx}x=\log\frac nN$ を使うと

$$\lvert t_n\rvert\le\lvert t_N\rvert\exp\Bigl(-(1+\delta)\log\frac nN\Bigr)=\lvert t_N\rvert\Bigl(\frac Nn\Bigr)^{1+\delta}$$

となる。$t_N$ は $K$ 上連続（$K$ 上で $(c)_N\neq0$）なので有界であり、$\sum_nn^{-1-\delta}<\infty$ から主張が従う。

$c\notin\mathbb Z_{\le0}$、$\operatorname{Re}(c-b)>-N$ なら thm-hgs-gauss を $a=-N$ に使えて、$\frac{\Gamma(c)\Gamma(c+N-b)}{\Gamma(c+N)\Gamma(c-b)}=\frac{(c-b)_N}{(c)_N}$ である（$c-b$ が $0$ 以下の整数のときは、$1/\Gamma(c-b)=0$ と $(c-b)_N=0$ の両方が成り立つ）。$(c)_N/(c)_n=(c+n)_{N-n}$（$n\le N$）は多項式なので、両辺に $(c)_N$ を掛けた $\sum_{n=0}^N\frac{(-N)_n(b)_n}{n!}(c+n)_{N-n}=(c-b)_N$ は $(b,c)$ の 2 変数多項式の等式である。これが $\mathbb C^2$ の空でない開集合で成り立つので、多項式として恒等的に成り立つ。$(c)_N\neq0$ なら両辺を $(c)_N$ で割ればよい。