空間図形の計量

方針：$\alpha$ に平行なベクトルを $\vec v_1$、$\vec v_2$ で表し、内積を分配する。
段 1（平面のベクトルを 2 つで表す）。$\vec v_1$、$\vec v_2$ は平行でない（1 次独立）ので、$\alpha$ に平行などんなベクトル $\vec v$ も、実数 $s,t$ を使って $\vec v=s\vec v_1+t\vec v_2$ とただ 1 通りに書ける（空間ベクトルと1次独立）。
段 2（内積を分配する）。内積の分配法則により
$$ \vec w\cdot\vec v=\vec w\cdot(s\vec v_1+t\vec v_2)=s\,(\vec w\cdot\vec v_1)+t\,(\vec w\cdot\vec v_2)=s\cdot0+t\cdot0=0 $$
である。よって $\vec w\perp\vec v$ である。$\square$

方針：$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{PH}}+\overrightarrow{\mathrm{HQ}}$ と分け、$\ell$ の方向ベクトル $\vec u$ との内積を考える。3 つの内積 $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\vec u$、$\overrightarrow{\mathrm{PH}}\cdot\vec u$、$\overrightarrow{\mathrm{HQ}}\cdot\vec u$ のうち、2 つが $0$ なら残りも $0$ である。
段 1（分ける）。$\ell$ の方向ベクトルを $\vec u$ とする。$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{PH}}+\overrightarrow{\mathrm{HQ}}$ なので、分配法則により
$$ \overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\vec u=\overrightarrow{\mathrm{PH}}\cdot\vec u+\overrightarrow{\mathrm{HQ}}\cdot\vec u $$
である。
段 2（1 を示す）。$\mathrm{PH}\perp\alpha$ で、$\vec u$ は $\alpha$ に平行なので $\overrightarrow{\mathrm{PH}}\cdot\vec u=0$ である。$\mathrm{HQ}\perp\ell$ なので $\overrightarrow{\mathrm{HQ}}\cdot\vec u=0$ である。段 1 から $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\vec u=0$、つまり $\mathrm{PQ}\perp\ell$ である。
段 3（2 を示す）。段 2 と同じく $\overrightarrow{\mathrm{PH}}\cdot\vec u=0$ で、仮定から $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\vec u=0$ である。段 1 から $\overrightarrow{\mathrm{HQ}}\cdot\vec u=0-0=0$、つまり $\mathrm{HQ}\perp\ell$ である。
段 4（3 を示す）。仮定から $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\cdot\vec u=0$、$\overrightarrow{\mathrm{HQ}}\cdot\vec u=0$ なので、段 1 から $\overrightarrow{\mathrm{PH}}\cdot\vec u=0$ である。また仮定から $\overrightarrow{\mathrm{PH}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{HQ}}=0$ である。$\overrightarrow{\mathrm{HQ}}$ と $\vec u$ はどちらも $\alpha$ に平行で、$\mathrm H$ が $\ell$ の上にないので $\overrightarrow{\mathrm{HQ}}\ne\vec 0$ であり、$\overrightarrow{\mathrm{HQ}}\perp\vec u$ なので平行でない。lem-mos-two-lines により、$\overrightarrow{\mathrm{PH}}$ は $\alpha$ に平行な、どのベクトルとも垂直で、$\mathrm{PH}\perp\alpha$ である。$\square$

方針：1 は、垂線の足から 3 頂点までの距離が等しいことを三平方の定理で示す。2 は錐体の体積の公式に代入する。3 は、三垂線の定理で二面角を直角三角形 $\mathrm{DHM}$ の角にする。
段 1（$\mathrm H$ は外心）。$\mathrm{DH}\perp$ 底面なので、$\mathrm{DH}$ は底面の直線 $\mathrm{HA}$、$\mathrm{HB}$、$\mathrm{HC}$ と垂直で、三角形 $\mathrm{DHA}$、$\mathrm{DHB}$、$\mathrm{DHC}$ は $\mathrm H$ で直角である。三平方の定理から
$$ \mathrm{HA}^2=\mathrm{DA}^2-\mathrm{DH}^2=a^2-h^2 $$
で、$\mathrm{HB}^2$、$\mathrm{HC}^2$ も同じ $a^2-h^2$ である。よって $\mathrm{HA}=\mathrm{HB}=\mathrm{HC}$ で、$\mathrm H$ は三角形 $\mathrm{ABC}$ の外心である。
段 2（外接円の半径）。正三角形 $\mathrm{ABC}$ では、辺 $\mathrm{BC}$ の中点を $\mathrm M$ とすると中線 $\mathrm{AM}$ は $\mathrm{BC}$ に垂直で、長さは $\sqrt{a^2-\left(\dfrac a2\right)^2}=\dfrac{\sqrt3}2a$ である。正三角形の外心は重心と一致し、重心は中線を $2:1$ に分けるので（三角形の重心（高校数学）、三角形の外心）、$\mathrm{HA}=\dfrac23\cdot\dfrac{\sqrt3}2a=\dfrac a{\sqrt3}$、$\mathrm{HM}=\dfrac13\cdot\dfrac{\sqrt3}2a=\dfrac{\sqrt3}6a$ である。
段 3（高さ）。段 1 から $h^2=a^2-\mathrm{HA}^2=a^2-\dfrac{a^2}3=\dfrac23a^2$ なので、$h=\sqrt{\dfrac23}\,a=\dfrac{\sqrt6}3a$ である。
段 4（体積）。錐体の体積は $\dfrac13\times$ 底面積 $\times$ 高さである（錐体の体積とHilbertの第3問題）。底面は 1 辺 $a$ の正三角形で、面積は $\dfrac{\sqrt3}4a^2$ なので
$$ V=\frac13\cdot\frac{\sqrt3}4a^2\cdot\frac{\sqrt6}3a=\frac{\sqrt{18}}{36}a^3=\frac{3\sqrt2}{36}a^3=\frac{\sqrt2}{12}a^3 $$
である。$\dfrac{\sqrt2}{12}=\dfrac{2}{12\sqrt2}=\dfrac1{6\sqrt2}$ なので、$V=\dfrac{a^3}{6\sqrt2}$ とも書ける。
段 5（二面角を直角三角形に移す）。辺 $\mathrm{BC}$ の二面角を求める。$\mathrm H$ は中線 $\mathrm{AM}$ の上にあり、$\mathrm{AM}\perp\mathrm{BC}$ なので $\mathrm{HM}\perp\mathrm{BC}$ である。$\mathrm{DH}\perp$ 底面なので、thm-mos-three-perp の 1 により $\mathrm{DM}\perp\mathrm{BC}$ である。面 $\mathrm{ABC}$ の中の半直線 $\mathrm{MA}$（$\mathrm H$ を通る）と、面 $\mathrm{DBC}$ の中の半直線 $\mathrm{MD}$ は、どちらも $\mathrm M$ で $\mathrm{BC}$ に垂直なので、二面角は $\varphi=\angle\mathrm{DMH}$ である。
段 6（余弦を求める）。$\mathrm{DM}$ は正三角形 $\mathrm{DBC}$ の中線なので $\mathrm{DM}=\dfrac{\sqrt3}2a$ である。直角三角形 $\mathrm{DHM}$ で
$$ \cos\varphi=\frac{\mathrm{HM}}{\mathrm{DM}}=\frac{\frac{\sqrt3}6a}{\frac{\sqrt3}2a}=\frac13 $$
である。正四面体はどの面も合同な正三角形なので、どの辺についても同じ計算ができ、二面角はすべて等しい。$\square$

方針：高さ $\mathrm{DH}$ の上に、4 頂点から等しい距離の点 $\mathrm O$ を見つける。その点から各面までの距離を三平方の定理で計算すると、どの面でも同じになる。
段 1（外接球の中心）。$\mathrm{DH}$ の上で $\mathrm{OH}=x$ となる点 $\mathrm O$ をとる。$\mathrm{OH}\perp$ 底面なので、三平方の定理と段 2 の $\mathrm{HA}=\dfrac a{\sqrt3}$（prf-mos-regular）から $\mathrm{OA}^2=x^2+\dfrac{a^2}3$ で、$\mathrm{OB}^2$、$\mathrm{OC}^2$ も同じ値である。一方 $\mathrm{OD}=h-x$ である。$\mathrm{OA}=\mathrm{OD}$ となる条件は
$$ x^2+\frac{a^2}3=(h-x)^2=h^2-2hx+x^2 $$
で、$h^2=\dfrac23a^2$ を代入すると $2hx=\dfrac23a^2-\dfrac13a^2=\dfrac13a^2$、$x=\dfrac{a^2}{6h}=\dfrac{a^2}{6\cdot\frac{\sqrt6}3a}=\dfrac{a}{2\sqrt6}=\dfrac{\sqrt6}{12}a=\dfrac h4$ である。この $\mathrm O$ は 4 頂点から等しい距離 $R=h-\dfrac h4=\dfrac34h=\dfrac{\sqrt6}4a$ にある。
段 2（各面までの距離）。面 $\mathrm{ABC}$ までの距離は $\mathrm{OH}=\dfrac h4$ である。ほかの面、たとえば面 $\mathrm{DBC}$ について、$\mathrm O$ から面に下ろした垂線の足を $\mathrm K$ とする。$\mathrm{OD}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=R$ なので、prf-mos-regular の段 1 と同じ三平方の定理の計算で $\mathrm{KD}=\mathrm{KB}=\mathrm{KC}$ となり、$\mathrm K$ は正三角形 $\mathrm{DBC}$ の外心で、$\mathrm{KD}=\dfrac a{\sqrt3}$ である。よって
$$ \mathrm{OK}^2=R^2-\frac{a^2}3=\frac{6a^2}{16}-\frac{a^2}3=\frac{18a^2-16a^2}{48}=\frac{a^2}{24} $$
で、$\mathrm{OK}=\dfrac a{2\sqrt6}=\dfrac h4$ である。4 つの面すべてについて同じなので、$\mathrm O$ を中心とする半径 $\dfrac h4$ の球は 4 つの面に、面の重心で接する。$r=\dfrac h4=\dfrac{\sqrt6}{12}a$ である。$\mathrm{OD}:\mathrm{OH}=\dfrac34h:\dfrac14h=3:1$ である。$\square$

方針：$\mathrm{OA}$ が面 $\mathrm{OBC}$ に垂直であることを使って体積を求める。三角形 $\mathrm{ABC}$ の高さは、三垂線の定理で $\mathrm A$ から $\mathrm{BC}$ への垂線を見つけて求める。$d$ は体積を 2 通りに表して求める（図 3）。
段 1（体積）。$\mathrm{OA}$ は、互いに平行でない $\mathrm{OB}$、$\mathrm{OC}$ の両方に垂直なので、lem-mos-two-lines により面 $\mathrm{OBC}$ に垂直である。三角形 $\mathrm{OBC}$ は $\mathrm O$ で直角なので面積は $\dfrac12qr$ で、高さは $p$ である。錐体の体積の公式から $V=\dfrac13\cdot\dfrac12qr\cdot p=\dfrac16pqr$ である。
段 2（$\mathrm O$ から $\mathrm{BC}$ への垂線）。直角三角形 $\mathrm{OBC}$ で、$\mathrm O$ から $\mathrm{BC}$ に下ろした垂線の足を $\mathrm K$ とする。$\mathrm{BC}=\sqrt{q^2+r^2}$ で、面積を 2 通りに表すと $\dfrac12qr=\dfrac12\mathrm{BC}\cdot\mathrm{OK}$ なので、$\mathrm{OK}=\dfrac{qr}{\sqrt{q^2+r^2}}$ である。
段 3（$\mathrm A$ から $\mathrm{BC}$ への垂線）。$\mathrm{AO}\perp$ 面 $\mathrm{OBC}$、$\mathrm{OK}\perp\mathrm{BC}$ なので、thm-mos-three-perp の 1 により $\mathrm{AK}\perp\mathrm{BC}$ である。つまり $\mathrm{AK}$ は三角形 $\mathrm{ABC}$ の、辺 $\mathrm{BC}$ を底辺とする高さである。$\mathrm{AO}\perp\mathrm{OK}$ なので、直角三角形 $\mathrm{AOK}$ で
$$ \mathrm{AK}^2=p^2+\frac{q^2r^2}{q^2+r^2} $$
である。
段 4（面積）。$S=\dfrac12\mathrm{BC}\cdot\mathrm{AK}$ を 2 乗すると
$$ S^2=\frac14(q^2+r^2)\left(p^2+\frac{q^2r^2}{q^2+r^2}\right)=\frac14\bigl(p^2(q^2+r^2)+q^2r^2\bigr)=\frac14(p^2q^2+q^2r^2+r^2p^2) $$
なので、$S=\dfrac12\sqrt{p^2q^2+q^2r^2+r^2p^2}$ である。
段 5（距離）。四面体の底面を三角形 $\mathrm{ABC}$ とみると、高さは $d$ なので $V=\dfrac13Sd$ である。段 1 と比べて $d=\dfrac{3V}S=\dfrac{pqr}{2S}$ である。2 乗の逆数をとり、段 4 の $4S^2$ を代入すると
$$ \frac1{d^2}=\frac{4S^2}{p^2q^2r^2}=\frac{p^2q^2+q^2r^2+r^2p^2}{p^2q^2r^2}=\frac1{r^2}+\frac1{p^2}+\frac1{q^2} $$
である。$\square$