円周率を評価する

単位円（半径 $1$）の周の長さは $2\pi$ である。円に内接する正六角形は 1 辺 $1$ の正三角形 6 つでできているので、周の長さは $6$ である。外接する正方形の周の長さは $8$ である。「内接する多角形の周 $<$ 円周 $<$ 外接する多角形の周」から、$6<2\pi<8$、つまり $3<\pi<4$ である。外接する正方形の代わりに外接する正六角形（周 $4\sqrt3$）を使えば、$3<\pi<2\sqrt3=3.464\ldots$ になる。
この不等式がなぜ正しいかは、弦・弧・接線の長さの比較 $\sin x< x<\tan x$（$0< x<\frac\pi2$）で証明できる（正多角形で円周率を挟む）。

「$\pi\approx3.14$」や「$\pi\approx\frac{22}7$」は近似値であって、評価ではない。どちら側にずれているかが分からないからである。実際、$3.14<\pi$ だが $\frac{22}7=3.1428\ldots>\pi$ であり、ずれの向きは近似値ごとに違う。$\pi<\frac{22}7$ を示すには証明が要る（積分で円周率を評価する）。

$3.1415926<\pi<3.1415927$ のような評価は、$\pi$ が分母の大きな分数である可能性を否定しない。たとえば $\frac{31415926}{10000000}$ と $\frac{31415927}{10000000}$ の間には、無数の分数がある。$\pi$ が分数でない（無理数である）ことは、有限個の評価からは決して分からず、別の証明が要る（円周率の無理性）。さらに $\pi$ は、$0$ でない有理数係数の多項式の根にもならない超越数であることが知られている（証明しない。超越数）。

単位円に内接・外接する正十二角形の周の半分は $3(\sqrt6-\sqrt2)=3.1058\ldots$ と $12(2-\sqrt3)=3.2153\ldots$ であり、$3(\sqrt6-\sqrt2)<\pi<12(2-\sqrt3)$ が成り立つ。辺の数を 2 倍にしていくと、正九十六角形で $3.1410<\pi<3.1428$ となる。Archimedes はこの方法で $\frac{223}{71}<\pi<\frac{22}7$ を示した（正多角形で円周率を挟む）。

$$ \int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\,dx=\frac{22}7-\pi $$
であり、被積分関数は正なので $\pi<\frac{22}7$ である。分母を $1$ と $2$ で挟むと $\frac{22}7-\frac1{630}<\pi<\frac{22}7-\frac1{1260}$、つまり $3.14126\ldots<\pi<3.14206\ldots$ となる（積分で円周率を評価する）。

積分で $\pi$ を挟むとき、被積分関数をそのまま別の関数で挟むだけでは粗い。たとえば $0< x<1$ で $\frac12<\frac1{1+x^2}<1$ なので、$\frac\pi4=\int_0^1\frac{dx}{1+x^2}$ から $2<\pi<4$ しか出ない。四分円 $\int_0^1\sqrt{1-x^2}\,dx=\frac\pi4$ を幅 $\frac1{10}$ の長方形で挟んでも $2.904<\pi<3.305$ である。精度を上げるには、$\frac{22}7-\pi$ のような「小さな量」そのものを積分で表す設計が要る（積分で円周率を評価する）。

$\frac\pi4=1-\frac13+\frac15-\frac17+\cdots$（Leibniz の級数）は正しいが、1000 項まで足して 4 倍しても、$\pi$ との差は約 $0.001$ 残る。項を 1 つ増やしても誤差がほとんど減らないからである。同じ $\arctan$ の級数でも、$x=\frac15$ や $x=\frac1{239}$ のような小さな値で使うと、項を 1 つ増やすごとに誤差の上界は $\frac1{25}$ 倍以下になる（Machinの公式）。

$\frac\pi4=4\arctan\frac15-\arctan\frac1{239}$ の $\arctan$ を、それぞれ $x-\frac{x^3}3$ の 2 項で近似すると
$$ \pi\approx16\Bigl(\frac15-\frac1{375}\Bigr)-4\Bigl(\frac1{239}-\frac1{3\cdot239^3}\Bigr)=3.1405970\ldots $$
となり、実際の誤差は $0.000995\ldots$ である。項を増やしたときの誤差は、各 3 項で $2.93\times10^{-5}$ 未満、各 8 項で $1.24\times10^{-12}$ 未満であることが証明できる（Machinの公式。各 8 項での実際の誤差は $1.19\times10^{-12}$ ほど）。