置換積分

同義語：integration by substitution置換積分法

概要

前提知識: Riemann積分, 微分積分学の基本定理, 連鎖律, 導関数

$\int_0^{\sqrt\pi}x\cos(x^2)\,dx$ を求めたい。$\cos(x^2)$ の原始関数はすぐには思いつかないが、連鎖律により $\bigl(\sin(x^2)\bigr)'=\cos(x^2)\cdot2x$ なので、被積分関数は $\frac12\bigl(\sin(x^2)\bigr)'$ であり、積分は $\frac12\bigl(\sin\pi-\sin0\bigr)=0$ となる。同じことを「$u=x^2$ とおくと $du=2x\,dx$ なので $\int_0^{\sqrt\pi}x\cos(x^2)\,dx=\frac12\int_0^\pi\cos u\,du$」と書くのが置換積分（integration by substitution）である。積分の変数を別の変数の関数に取り替え、積分をより扱いやすい形に書き直す。
置換積分は連鎖律を積分の側から読んだものである。$F'=f$ ならば $(F\circ\varphi)'=(f\circ\varphi)\,\varphi'$ なので、$f(\varphi(t))\,\varphi'(t)$ の積分は $F$ の値の差 $F(\varphi(\beta))-F(\varphi(\alpha))$、すなわち $f$ の $\varphi(\alpha)$ から $\varphi(\beta)$ までの積分になる。使い方には 2 つの向きがある。

被積分関数の中に $f(\varphi(t))\,\varphi'(t)$ の形を見つけ、$u=\varphi(t)$ とおいて $u$ の積分にする（上の例）。
積分したい $\int f(x)\,dx$ の変数を $x=\varphi(t)$ と書き、$t$ の積分 $\int f(\varphi(t))\,\varphi'(t)\,dt$ にする（$\sqrt{1-x^2}$ に $x=\sin t$ を置く、など）。
どちらも同じ 1 つの等式を左右どちら向きに読むかの違いである。本記事では、この等式を正確な仮定のもとで述べ、逆向きの置換と原始関数の関係、対称性を使う計算、被積分関数が連続でない場合への拡張、仮定を外したときに起きる誤りを扱う。
以下、区間上で微分可能で導関数が連続な関数を $C^1$ 級という。$\int_a^b$ は $a>b$ のとき $-\int_b^a$、$a=b$ のとき $0$ と約束する（Riemann積分の記事の定義「Riemann積分可能性と積分の値」）。この約束のもとで、$a,b,c$ を含む有界閉区間上で積分可能な $f$ について、$a,b,c$ の大小によらず $\int_a^bf=\int_a^cf+\int_c^bf$ が成り立つ（同記事の定理「区間についての加法性」から、$a,b,c$ の大小の場合分けで確かめられる）。

公式

置換積分の公式

$K$ と $J$ を 2 点以上を含む区間とし、$\varphi\colon K\to\mathbb{R}$ を $C^1$ 級で $\varphi(K)\subset J$ を満たすもの、$f\colon J\to\mathbb{R}$ を連続関数とする。このとき任意の $\alpha,\beta\in K$ について
$$ \int_\alpha^\beta f\bigl(\varphi(t)\bigr)\,\varphi'(t)\,dt=\int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)}f(x)\,dx $$
が成り立つ。

原始関数に連鎖律を使う

$\varphi(\alpha)\in J$ を固定し、$F(y):=\int_{\varphi(\alpha)}^yf(x)\,dx$（$y\in J$）とおく。微分積分学の基本定理の記事の系「連続関数の原始関数」により、$F$ は $J$ 上で微分可能で $F'=f$ である。連鎖律の記事の定理「連鎖律」により $F\circ\varphi$ は $K$ 上で微分可能で
$$ (F\circ\varphi)'(t)=f\bigl(\varphi(t)\bigr)\,\varphi'(t) $$
であり、右辺は連続関数の合成と積なので連続、したがって積分可能である。$\alpha<\beta$ なら、同じ記事の定理「原始関数による積分の計算」を $[\alpha,\beta]$ 上の $F\circ\varphi$ に使うと
$$ \int_\alpha^\beta f\bigl(\varphi(t)\bigr)\,\varphi'(t)\,dt=F\bigl(\varphi(\beta)\bigr)-F\bigl(\varphi(\alpha)\bigr)=\int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)}f(x)\,dx $$
となる。最後の等号は $F$ の定義と積分の向きの約束による（$\varphi(\beta)<\varphi(\alpha)$ でもよい）。$\alpha>\beta$ のときは、$[\beta,\alpha]$ での等式の両辺の符号を変えればよく、$\alpha=\beta$ のときは両辺が $0$ である。

同じ主張は微分積分学の基本定理の記事の系「置換積分の公式」（$K=[a,b]$ の場合）にあり、Leb Theorem 5.3.5（p. 204）は $K=[a,b]$、$J=[c,d]$ の場合を同じ証明で示している。$\varphi$ が単調であることや単射であることは仮定していない。$\varphi$ が区間 $[\alpha,\beta]$ を行き来しても、$F\circ\varphi$ の値の差は両端での値だけで決まるからである。形式的に $x=\varphi(t)$、$dx=\varphi'(t)\,dt$ と書き換え、積分の端を $t=\alpha,\beta$ から $x=\varphi(\alpha),\varphi(\beta)$ に替えると覚えればよい。端を替えることも公式の一部である。$\int_1^2 2x\cos(x^2)\,dx$ に $u=x^2$ を置いた結果は $\int_1^4\cos u\,du=\sin4-\sin1$ であり、端を替えずに $\int_1^2\cos u\,du=\sin2-\sin1$ とすると誤りになる。
原始関数（不定積分）の形では次のようになる。関数 $H$ が区間 $I$ 上で微分可能で $H'=h$ のとき、$H$ を $h$ の $I$ 上の原始関数といい、$\int h(x)\,dx=H(x)$ とも書く。原始関数は定数の差を除いて一つに決まる（平均値の定理の記事の系「導関数が0なら定数」）。

原始関数についての置換積分

$\varphi\colon K\to J$ を区間 $K$ 上の微分可能な関数、$F$ を区間 $J$ 上の関数 $f$ の原始関数とする。このとき $F\circ\varphi$ は $(f\circ\varphi)\,\varphi'$ の $K$ 上の原始関数である。記号で書けば
$$ \int f\bigl(\varphi(t)\bigr)\,\varphi'(t)\,dt=F\bigl(\varphi(t)\bigr) $$
である。

微分して確かめる

連鎖律により $(F\circ\varphi)'(t)=F'(\varphi(t))\,\varphi'(t)=f(\varphi(t))\,\varphi'(t)$ である。

この形では $f$ の連続性も $\varphi'$ の連続性も要らないが、$f$ の原始関数 $F$ が存在することを仮定している。

逆向きの置換

$\int f(x)\,dx$ を $x=\varphi(t)$ とおいて $t$ の積分にしたとき、得られた $t$ の関数を $x$ の関数に戻すには、$t$ を $x$ で表す必要がある。$\varphi$ の導関数が $0$ にならなければそれができる。

逆向きの置換

$K$ を 2 点以上を含む区間、$\varphi\colon K\to\mathbb{R}$ を $C^1$ 級で、すべての $t\in K$ で $\varphi'(t)\neq0$ とする。このとき次が成り立つ。

$\varphi$ は狭義単調で、$J:=\varphi(K)$ は区間であり、逆関数 $\varphi^{-1}\colon J\to K$ は微分可能で $(\varphi^{-1})'(x)=\dfrac1{\varphi'(\varphi^{-1}(x))}$ である。
$f\colon J\to\mathbb{R}$ について、$G$ が $(f\circ\varphi)\,\varphi'$ の $K$ 上の原始関数ならば、$G\circ\varphi^{-1}$ は $f$ の $J$ 上の原始関数である。
$f$ が $J$ 上で連続ならば、任意の $a,b\in J$ について $\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=\int_{\varphi^{-1}(a)}^{\varphi^{-1}(b)}f\bigl(\varphi(t)\bigr)\,\varphi'(t)\,dt$ である。

導関数の符号が一定であることから始める

1：$\varphi'$ は連続で $0$ にならないので、中間値の定理により $K$ 上で符号が一定である（正の値と負の値をとれば、その間で $0$ をとる）。平均値の定理の記事の系「導関数の符号と増減」により $\varphi$ は狭義単調である。$\varphi$ は連続なので中間値の定理により $J=\varphi(K)$ は区間であり、$\varphi$ が単射なので 2 点以上を含む。逆関数の微分可能性と公式は連鎖律の記事の系「逆関数の微分公式」による。
2：$x\in J$ とし、$t=\varphi^{-1}(x)$ とおく。連鎖律と 1 により
$$ (G\circ\varphi^{-1})'(x)=G'(t)\,(\varphi^{-1})'(x)=f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(t)\cdot\frac1{\varphi'(t)}=f(x) $$
である。
3：thm-subst-main を $\alpha=\varphi^{-1}(a)$、$\beta=\varphi^{-1}(b)$ に使えば、$\varphi(\alpha)=a$、$\varphi(\beta)=b$ なので主張の等式になる。

3 は thm-subst-main の読み替えにすぎず、定積分では $\varphi'\neq0$ がなくても、$\varphi(\alpha)=a$、$\varphi(\beta)=b$ となる $\alpha,\beta$ を 1 組見つければ使える（ex-subst-quarter-circle では端点で $\varphi'=0$ になる）。$\varphi'\neq0$ が本当に要るのは、2 のように $t$ を $x$ に戻すときである。

計算の例

指数関数を含む積分

$\int_0^1te^{t^2}\,dt$ で $\varphi(t)=t^2$ とおくと $\varphi'(t)=2t$ なので、$te^{t^2}=\frac12e^{\varphi(t)}\varphi'(t)$ であり、
$$ \int_0^1te^{t^2}\,dt=\frac12\int_0^1e^x\,dx=\frac{e-1}2=0.859\ldots $$
である。原始関数の形では $\int te^{t^2}\,dt=\frac12e^{t^2}$ である（prop-subst-antiderivative）。

四分円の面積

$\int_0^1\sqrt{1-x^2}\,dx$ に $x=\varphi(t)=\sin t$（$t\in[0,\pi/2]$）を置く。$\varphi(0)=0$、$\varphi(\pi/2)=1$ で、$[0,\pi/2]$ では $\cos t\geq0$ なので $\sqrt{1-\sin^2t}=\sqrt{\cos^2t}=\cos t$ である。よって
$$ \int_0^1\sqrt{1-x^2}\,dx=\int_0^{\pi/2}\cos t\cdot\cos t\,dt=\int_0^{\pi/2}\frac{1+\cos2t}2\,dt=\frac\pi4 $$
であり、半径 $1$ の円の面積の $\frac14$ に一致する。$t=\pi/2$ で $\varphi'(t)=\cos t=0$ だが、thm-subst-main には $\varphi'\neq0$ の仮定がないので問題はない。$\sqrt{\cos^2t}=\cos t$ としてよいのは $\cos t\geq0$ の範囲だけで、範囲を誤ると符号が逆になる（ex-subst-counterexamples の 3）。

対数の積の公式

対数関数の記事の定理「積分による表示」により、$x>0$ で $\log x=\int_1^x\frac{dt}t$ である。$y>0$ を固定し、$u=\varphi(t)=yt$ とおくと $\varphi'(t)=y$ なので
$$ \log x=\int_1^x\frac{1}{yt}\,y\,dt=\int_{y}^{xy}\frac{du}u=\int_1^{xy}\frac{du}u-\int_1^y\frac{du}u=\log(xy)-\log y $$
となり、$\log(xy)=\log x+\log y$ が得られる。Leb は Proposition 5.4.1（p. 207）で、対数を積分で定義したうえでこの計算により積の公式を示している。対数関数の記事は同じ公式を指数関数の性質から導いている（定理「積の対数」）。

対称性と周期性

置換 $x\mapsto-x$、$x\mapsto a+b-x$、$x\mapsto x+p$ は 1 次関数なので、thm-subst-main がいつでも使える。これから次の公式が出る。

対称性と周期性による積分の書き換え

$a>0$ とし、$f$ を $[-a,a]$ 上の連続関数とする。$f$ が奇関数（$f(-x)=-f(x)$）ならば $\int_{-a}^af=0$、偶関数（$f(-x)=f(x)$）ならば $\int_{-a}^af=2\int_0^af$ である。
$f$ を $[a,b]$ 上の連続関数とすると、$\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=\int_a^bf(a+b-x)\,dx$ である。
$p>0$ とし、$f$ を $\mathbb{R}$ 上の連続関数で、すべての $x$ で $f(x+p)=f(x)$ を満たすものとする。このとき任意の $c\in\mathbb{R}$ で $\int_c^{c+p}f=\int_0^pf$ である。

1 次関数による置換

1：$\varphi(t)=-t$ に thm-subst-main を使うと、$\int_{-a}^0f(x)\,dx=\int_{a}^{0}f(-t)\cdot(-1)\,dt=\int_0^af(-t)\,dt$ である。奇関数なら右辺は $-\int_0^af$ なので $\int_{-a}^af=\int_{-a}^0f+\int_0^af=0$、偶関数なら右辺は $\int_0^af$ なので $\int_{-a}^af=2\int_0^af$ である。
2：$\varphi(t)=a+b-t$ とすると $\varphi(a)=b$、$\varphi(b)=a$、$\varphi'=-1$ なので、$\int_a^bf(a+b-t)\,dt=-\int_a^bf(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt=-\int_b^af(x)\,dx=\int_a^bf(x)\,dx$ である。
3：$\varphi(t)=t+p$ と周期性により $\int_0^cf(t)\,dt=\int_0^cf(t+p)\,dt=\int_p^{c+p}f(x)\,dx$ である（$c<0$ でも向きの約束のもとで成り立つ）。よって
$$ \int_c^{c+p}f=\int_c^0f+\int_0^pf+\int_p^{c+p}f=-\int_0^cf+\int_0^pf+\int_0^cf=\int_0^pf $$
である。

1 は Leb Exercise 5.3.10（p. 206）である。2 は、被積分関数を区間の中点について折り返しても積分が変わらないことを言っている。これを元の積分と足し合わせると、直接には原始関数が求めにくい積分が計算できることがある。

折り返しで求める積分

$n>0$ とし $I=\int_0^{\pi/2}\frac{\sin^nx}{\sin^nx+\cos^nx}\,dx$ とおく（$[0,\pi/2]$ で分母は正）。prop-subst-symmetry の 2 で $x$ を $\frac\pi2-x$ に替えると $\sin$ と $\cos$ が入れ替わるので、$I=\int_0^{\pi/2}\frac{\cos^nx}{\cos^nx+\sin^nx}\,dx$ である。足すと $2I=\int_0^{\pi/2}1\,dx=\frac\pi2$ なので $I=\frac\pi4$ である。
$I=\int_0^\pi\frac{x\sin x}{1+\cos^2x}\,dx$ とおく。$x$ を $\pi-x$ に替えると $\sin(\pi-x)=\sin x$、$\cos^2(\pi-x)=\cos^2x$ なので $I=\int_0^\pi\frac{(\pi-x)\sin x}{1+\cos^2x}\,dx$ であり、足して $2I=\pi\int_0^\pi\frac{\sin x}{1+\cos^2x}\,dx$ となる。右辺の積分は $u=\cos x$ とおくと $\int_1^{-1}\frac{-du}{1+u^2}=\int_{-1}^1\frac{du}{1+u^2}=\frac\pi2$ なので、$I=\frac{\pi^2}4=2.467\ldots$ である。
$I=\int_0^1\frac{\log(1+x)}{1+x^2}\,dx$ に $x=\tan\theta$（$\theta\in[0,\pi/4]$）を置くと、$\frac{dx}{1+x^2}=d\theta$ なので $I=\int_0^{\pi/4}\log(1+\tan\theta)\,d\theta$ である。$\theta$ を $\frac\pi4-\theta$ に替えると、加法定理により $1+\tan\bigl(\frac\pi4-\theta\bigr)=1+\frac{1-\tan\theta}{1+\tan\theta}=\frac2{1+\tan\theta}$ なので、$I=\int_0^{\pi/4}\bigl(\log2-\log(1+\tan\theta)\bigr)\,d\theta=\frac\pi4\log2-I$ となり、$I=\frac\pi8\log2=0.2721\ldots$ である。

被積分関数が連続でない場合

thm-subst-main の証明は $f$ の原始関数を使うので、$f$ の連続性が要る。$\varphi$ が単調ならば、$f$ は Riemann 積分可能でありさえすればよい。証明は原始関数を使わず、上限和・下限和を直接比べる。記号 $L(P,f)$、$U(P,f)$ は Riemann積分の記事の定義「分割と上限和・下限和」による。

単調な置換と積分可能な関数

$\alpha<\beta$ とし、$\varphi\colon[\alpha,\beta]\to\mathbb{R}$ を $C^1$ 級で単調増加（すべての $t$ で $\varphi'(t)\geq0$）な関数、$a:=\varphi(\alpha)$、$b:=\varphi(\beta)$ とする。$a< b$ で $f\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ が Riemann 積分可能ならば、$h(t):=f\bigl(\varphi(t)\bigr)\,\varphi'(t)$ は $[\alpha,\beta]$ 上で Riemann 積分可能で
$$ \int_\alpha^\beta f\bigl(\varphi(t)\bigr)\,\varphi'(t)\,dt=\int_a^bf(x)\,dx $$
が成り立つ。$\varphi$ が単調減少（$\varphi'\leq0$）で $\varphi(\beta)<\varphi(\alpha)$ の場合も、$f$ が $[\varphi(\beta),\varphi(\alpha)]$ 上で積分可能なら同じ等式（右辺は $\int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)}f$）が成り立つ。

分割を $\varphi$ で写して上限和を比べる

要点：$[\alpha,\beta]$ の細かい分割 $P$ を $\varphi$ で写すと $[a,b]$ の分割になり、各小区間で平均値の定理により $\Delta x_i=\varphi'(\xi_i)\Delta t_i$ となる。$\varphi'$ の一様連続性で $\varphi'(t)$ を $\varphi'(\xi_i)$ に取り替えると、$h$ の上限和・下限和が $f$ の上限和・下限和とほぼ一致する。

詳しい証明を開く

段 1（分割の選び方）．$f$ は有界なので $\lvert f\rvert\leq K$ とする。$\varphi'$ は $[\alpha,\beta]$ 上で連続なので有界で、$h$ も有界である。$\varepsilon>0$ をとる。$\varphi'$ は有界閉区間上で連続なので一様連続であり、$\lvert s-t\rvert<\delta$ ならば $\lvert\varphi'(s)-\varphi'(t)\rvert<\varepsilon$ となる $\delta>0$ がある。Riemann積分の記事の定理「可積分性の判定条件」により、$U(Q,f)-L(Q,f)<\varepsilon$ となる $[a,b]$ の分割 $Q$ がある。$Q$ の各点 $q$ について、中間値の定理により $\varphi(s)=q$ となる $s\in[\alpha,\beta]$ を 1 つとる。これらの点に、幅が $\delta$ 未満になるよう等間隔の点を加えて、$[\alpha,\beta]$ の分割 $P=\{t_0< t_1<\cdots< t_n\}$ を作る。$x_i:=\varphi(t_i)$ とおくと、$\varphi$ は単調増加なので $a=x_0\leq x_1\leq\cdots\leq x_n=b$ であり、相異なる $x_i$ 全体は $Q$ の点をすべて含む $[a,b]$ の分割 $Q'$ をなす。$Q'$ は $Q$ の細分なので、同じ記事の補題「細分による和の比較」により $U(Q',f)-L(Q',f)\leq U(Q,f)-L(Q,f)<\varepsilon$ である。

段 2（各小区間での比較）．$I_i:=[t_{i-1},t_i]$ とする。$\varphi$ は単調増加で連続なので $\varphi(I_i)=[x_{i-1},x_i]$ であり、平均値の定理により $x_i-x_{i-1}=\varphi'(\xi_i)\,\Delta t_i$ となる $\xi_i\in I_i$ がある。$x_{i-1}< x_i$ のとき、$M_i$、$m_i$ を $f$ の $[x_{i-1},x_i]$ 上の上限・下限とする。$t\in I_i$ なら $f(\varphi(t))\leq M_i$、$\varphi'(\xi_i)\geq0$、$\lvert\varphi'(t)-\varphi'(\xi_i)\rvert<\varepsilon$（$\Delta t_i<\delta$ だから）なので $$h(t)=f\bigl(\varphi(t)\bigr)\varphi'(\xi_i)+f\bigl(\varphi(t)\bigr)\bigl(\varphi'(t)-\varphi'(\xi_i)\bigr)\leq M_i\varphi'(\xi_i)+K\varepsilon$$ であり、同様に $h(t)\geq m_i\varphi'(\xi_i)-K\varepsilon$ である。$x_{i-1}=x_i$ のときは $\varphi$ が $I_i$ 上で定数なので $\varphi'=0$、$h=0$ であり、この $I_i$ の上限和・下限和への寄与は $0$ である。

段 3（和をとる）．段 2 に $\Delta t_i$ を掛けて $i$ について足すと、$M_i\varphi'(\xi_i)\Delta t_i=M_i(x_i-x_{i-1})$ なので $$U(P,h)\leq U(Q',f)+K\varepsilon(\beta-\alpha),\qquad L(P,h)\geq L(Q',f)-K\varepsilon(\beta-\alpha)$$ である。よって $U(P,h)-L(P,h)<\varepsilon+2K\varepsilon(\beta-\alpha)$ であり、$\varepsilon$ は任意なので判定条件により $h$ は積分可能である。さらに $\int_\alpha^\beta h$ と $\int_a^bf$ はともに区間 $\bigl[L(Q',f)-K\varepsilon(\beta-\alpha),\,U(Q',f)+K\varepsilon(\beta-\alpha)\bigr]$ に入り、この区間の幅は $\varepsilon+2K\varepsilon(\beta-\alpha)$ 未満なので、$\bigl\lvert\int_\alpha^\beta h-\int_a^bf\bigr\rvert<\varepsilon\bigl(1+2K(\beta-\alpha)\bigr)$ である。$\varepsilon\to0$ として等式を得る。

段 4（減少の場合）．$\psi(t):=\varphi(\alpha+\beta-t)$ は単調増加で、$\psi(\alpha)=\varphi(\beta)$、$\psi(\beta)=\varphi(\alpha)$、$\psi'(t)=-\varphi'(\alpha+\beta-t)$ である。段 1〜3 を $\psi$ に使うと $\int_\alpha^\beta f(\psi(t))\psi'(t)\,dt=\int_{\varphi(\beta)}^{\varphi(\alpha)}f$ である。左辺は $-\int_\alpha^\beta h(\alpha+\beta-t)\,dt$ であり、区間を中点について折り返しても分割の上限和・下限和は変わらないので、これは $-\int_\alpha^\beta h$ に等しい（$h$ の積分可能性も同じ理由で従う）。符号を変えれば主張を得る。

階段関数の置換

$f(u)=\lfloor u\rfloor$（$u$ 以下の最大の整数）は $[0,2]$ 上で $u=1,2$ に跳びをもつが、Riemann 積分可能で $\int_0^2\lfloor u\rfloor\,du=1$ である。$\varphi(t)=t^2$ は $[0,\sqrt2]$ 上で $C^1$ 級、単調増加で $\varphi(0)=0$、$\varphi(\sqrt2)=2$ なので、thm-subst-monotone により
$$ \int_0^{\sqrt2}\lfloor t^2\rfloor\,2t\,dt=\int_0^2\lfloor u\rfloor\,du=1 $$
である。実際、左辺の被積分関数は $1\leq t<\sqrt2$ で $2t$、$0\leq t<1$ で $0$ なので、左辺は $\int_1^{\sqrt2}2t\,dt=2-1=1$ であり、一致する。$f$ は連続でないので thm-subst-main は使えない。

反例：仮定を外すと何が崩れるか

外す条件	反例	成り立たなくなること
$\varphi$ が区間全体で $C^1$ 級	$\int_{-1}^1\frac{dx}{1+x^2}$ に $x=\frac1t$ を置く	公式の等式
被積分関数が $f(\varphi(t))\varphi'(t)$ の形	$\int_{-1}^1x^2\,dx$ に $t=x^2$ を置き $x=\sqrt t$ とする	積分の値
$\sqrt{\cos^2t}=\cos t$ のための $\cos t\geq0$	$\int_0^1\sqrt{1-x^2}\,dx$ に $x=\sin t$（$t$ は $\pi$ から $\frac\pi2$）を置く	積分の符号

反例の確認

$\varphi(t)=\frac1t$ は $t=0$ で定義されない。$\int_{-1}^1\frac{dx}{1+x^2}=\bigl[\arctan x\bigr]_{-1}^1=\frac\pi2$ である。一方、形式的に $x=\frac1t$、$dx=-\frac{dt}{t^2}$ とすると、$\varphi(-1)=-1$、$\varphi(1)=1$ なので $\int_{-1}^1\frac{1}{1+1/t^2}\cdot\Bigl(-\frac1{t^2}\Bigr)dt=-\int_{-1}^1\frac{dt}{t^2+1}=-\frac\pi2$ となり、符号が逆になる。$\varphi$ は $[-1,1]$ 上で $C^1$ 級であるという性質を満たさず（$0$ で定義されず、$t\to0$ で $\varphi(t)$ は $\pm\infty$ に飛ぶ）、「$\varphi(-1)$ から $\varphi(1)$ までの積分に等しい」という thm-subst-main の結論が崩れる。$x$ が $-1$ から $1$ まで $0$ を通って動くのに対し、$\frac1t$ は $-1$ から $-\infty$ に行き、$+\infty$ から $1$ に戻ってくるので、同じ区間を動いていない。微分積分学の基本定理の記事の例「置換積分の例と仮定の役割」にも、$\varphi$ が $0$ で定義されない誤った置換の例（Leb Example 5.3.7）がある。
$\int_{-1}^1x^2\,dx=\frac23$ である。$t=x^2$ とおいて $x=\sqrt t$、$dx=\frac{dt}{2\sqrt t}$ と書き、端を $t=1$ から $t=1$ に替えると $\int_1^1\frac{\sqrt t}2\,dt=0$ となって誤る。$t=x^2$ から $x=\sqrt t$ と書けるのは $x\geq0$ の範囲だけで、$[-1,1]$ 全体では $x^2$ は $f(x^2)\cdot2x$ の形（$f$ は $[0,1]$ 上の連続関数）に書けない。実際、そう書けたとすると、$0< x\leq1$ について $x^2=f(x^2)\cdot2x$ と $(-x)^2=f(x^2)\cdot(-2x)$ がともに成り立ち、辺々足すと $2x^2=0$ となって矛盾する。区間を $[-1,0]$ と $[0,1]$ に分け、それぞれで $x=-\sqrt t$、$x=\sqrt t$ とおけば、$\frac13+\frac13=\frac23$ が得られる。
$x=\varphi(t)=\sin t$ は $\varphi(\pi)=0$、$\varphi(\pi/2)=1$ を満たすので、thm-subst-main により $\int_0^1\sqrt{1-x^2}\,dx=\int_\pi^{\pi/2}\sqrt{1-\sin^2t}\,\cos t\,dt$ は正しい。ここで $[\pi/2,\pi]$ では $\cos t\leq0$ なので $\sqrt{1-\sin^2t}=\lvert\cos t\rvert=-\cos t$ であり、右辺は $\int_\pi^{\pi/2}(-\cos^2t)\,dt=\int_{\pi/2}^\pi\cos^2t\,dt=\frac\pi4$ となる。$\sqrt{1-\sin^2t}=\cos t$ と書いてしまうと $\int_\pi^{\pi/2}\cos^2t\,dt=-\frac\pi4$ となり、符号が逆になる。$\sqrt{c^2}=c$ は $c\geq0$ のときだけ正しいので、置換で根号を外すときは $t$ の範囲での符号を確かめる必要がある。

補足

多変数の変数変換との比較

多変数の積分の変数変換では、単射な $C^1$ 級の写像 $\Phi$ について $\int_{\Phi(S)}f(x)\,dx=\int_Sf\bigl(\Phi(u)\bigr)\,\lvert\det D\Phi(u)\rvert\,du$ の形の公式が使われ、Jacobi行列の行列式の絶対値が現れる。1 変数の thm-subst-main に絶対値が要らないのは、積分に向きをつけているからである。$\varphi$ が減少なら $\varphi'<0$ だが、同時に積分の端 $\varphi(\alpha)>\varphi(\beta)$ が逆順になり、2 つの符号が打ち消し合う。向きをつけずに区間上の積分として書けば、狭義単調な $C^1$ 級の $\varphi$ について $\int_{\varphi([\alpha,\beta])}f=\int_{[\alpha,\beta]}f(\varphi(t))\,\lvert\varphi'(t)\rvert\,dt$ となり、多変数の公式と同じ形になる。多変数の公式はこの記事では証明しない。Leb26 は §10.7 の冒頭（p. 134）で 1 変数の公式をこの絶対値の形に書き直してから、Theorem 10.7.2（p. 134）で $\mathbb{R}^n$ の開集合 $U$ 上の単射な $C^1$ 級写像（Jacobi 行列式がコンパクトな Jordan 可測集合 $S\subset U$ 上で $0$ にならないもの）について多変数の公式を述べ、証明している。

広義積分での置換

$\int_0^1\frac{dx}{\sqrt x}$ は $x\to0$ で被積分関数が有界でないので、$\lim_{\varepsilon\to0+0}\int_\varepsilon^1\frac{dx}{\sqrt x}$ として定める広義積分である。$0<\varepsilon<1$ について $[\sqrt\varepsilon,1]$ 上で $x=t^2$ とおくと、thm-subst-main により $\int_\varepsilon^1\frac{dx}{\sqrt x}=\int_{\sqrt\varepsilon}^1\frac{2t}{t}\,dt=2-2\sqrt\varepsilon$ であり、$\varepsilon\to0$ で $2$ に収束する。置換後の被積分関数 $2$ は $[0,1]$ 全体で連続なので、置換によって広義積分が通常の積分に変わった。公式は有界閉区間 $[\sqrt\varepsilon,1]$ で使い、そのあと極限をとる、という順序を守れば、広義積分にも置換が使える。