Mollweideの公式

$a=3$、$b=4$、$c=5$ とすると $C=90^\circ$ で、$\sin A=\dfrac35$、$\cos A=\dfrac45$、$\sin B=\dfrac45$、$\cos B=\dfrac35$ である。$A$ と $B$ は $30^\circ$ や $45^\circ$ のような決まった角ではないが、差 $A-B$ の余弦は加法定理で求まる。
$$ \cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B=\frac45\cdot\frac35+\frac35\cdot\frac45=\frac{24}{25} $$
(1) 半角の公式で、差の半分 $\dfrac{A-B}2$ の余弦を求める。
$$ \cos^2\frac{A-B}2=\frac{1+\cos(A-B)}2=\frac{1+\frac{24}{25}}2=\frac{49}{50} $$
である。$A$、$B$ はどちらも $0^\circ$ と $90^\circ$ の間にあるので $-45^\circ<\dfrac{A-B}2<45^\circ$ で、余弦は正である。よって $\cos\dfrac{A-B}2=\dfrac7{5\sqrt2}$ である。
(2) これを $\sin\dfrac C2=\sin45^\circ=\dfrac1{\sqrt2}$ で割ると
$$ \frac{\cos\frac{A-B}2}{\sin\frac C2}=\frac{7}{5\sqrt2}\cdot\sqrt2=\frac75 $$
となり、$\dfrac{a+b}c=\dfrac{3+4}5=\dfrac75$ と一致する。
(3) 同じく $\sin^2\dfrac{A-B}2=\dfrac{1-\frac{24}{25}}2=\dfrac1{50}$ である。$a< b$ なので $A< B$ で、$\dfrac{A-B}2$ は負の角だから正弦は負であり、$\sin\dfrac{A-B}2=-\dfrac1{5\sqrt2}$ である。$\cos\dfrac C2=\dfrac1{\sqrt2}$ で割ると $-\dfrac15$ で、$\dfrac{a-b}c=\dfrac{3-4}5=-\dfrac15$ と一致する。

$a=3$、$b=5$、$c=7$ とする。三角形の半角公式 の例のとおり $C=120^\circ$ である。余弦定理から $\cos A=\dfrac{25+49-9}{70}=\dfrac{13}{14}$、$\cos B=\dfrac{49+9-25}{42}=\dfrac{11}{14}$ で、$\sin A=\sqrt{1-\dfrac{169}{196}}=\dfrac{3\sqrt3}{14}$、$\sin B=\sqrt{1-\dfrac{121}{196}}=\dfrac{5\sqrt3}{14}$ である。
$$ \cos(A-B)=\frac{13}{14}\cdot\frac{11}{14}+\frac{3\sqrt3}{14}\cdot\frac{5\sqrt3}{14}=\frac{143+45}{196}=\frac{47}{49} $$
なので、$\cos^2\dfrac{A-B}2=\dfrac{1+\frac{47}{49}}2=\dfrac{48}{49}$、$\cos\dfrac{A-B}2=\dfrac{4\sqrt3}7$ である。$\sin\dfrac C2=\sin60^\circ=\dfrac{\sqrt3}2$ で割ると
$$ \frac{\cos\frac{A-B}2}{\sin\frac C2}=\frac{4\sqrt3}7\cdot\frac2{\sqrt3}=\frac87=\frac{3+5}7=\frac{a+b}c $$
である。また $\sin^2\dfrac{A-B}2=\dfrac{1-\frac{47}{49}}2=\dfrac1{49}$ で、$A< B$ から $\sin\dfrac{A-B}2=-\dfrac17$、これを $\cos\dfrac C2=\dfrac12$ で割ると $-\dfrac27=\dfrac{3-5}7=\dfrac{a-b}c$ である。鈍角の三角形でも同じ形の等式が成り立っている。

三角形の半角公式 で調べた 3 辺 $a=7$、$b=5$、$c=8$ の三角形（$A=60^\circ$）で、$A-B$ を求めてみる。$s=10$、$s-a=3$、$s-b=5$、$s-c=2$ で、三角形の半角公式から
$$ \sin\frac C2=\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{ab}}=\sqrt{\frac{3\cdot5}{35}}=\sqrt{\frac37},\qquad \cos\frac C2=\sqrt{\frac{s(s-c)}{ab}}=\sqrt{\frac{10\cdot2}{35}}=\sqrt{\frac47}=\frac2{\sqrt7} $$
である。thm-mw-main の 2 つの式に $\dfrac{a+b}c=\dfrac{12}8=\dfrac32$、$\dfrac{a-b}c=\dfrac28=\dfrac14$ を入れると
$$ \cos\frac{A-B}2=\frac32\sqrt{\frac37}=\frac{3\sqrt{21}}{14},\qquad \sin\frac{A-B}2=\frac14\cdot\frac2{\sqrt7}=\frac{\sqrt7}{14} $$
となる。2 乗して足すと $\dfrac{189}{196}+\dfrac7{196}=1$ で、たしかに 1 つの角の余弦と正弦になっている。$\sin\dfrac{A-B}2=\dfrac{\sqrt7}{14}\approx0.189$ から $\dfrac{A-B}2\approx10.89^\circ$、$A-B\approx21.79^\circ$ である。$A=60^\circ$ なので $B\approx38.21^\circ$ で、余弦定理の $\cos B=\dfrac{64+49-25}{112}=\dfrac{11}{14}$ から求めた $B\approx38.21^\circ$ と一致する。

2 辺 $a=5$、$b=3$ と間の角 $C=120^\circ$ の三角形を解いたところ、$c=7$、$A\approx38.21^\circ$、$B\approx21.79^\circ$ を得たとする（辺は余弦定理 $c^2=25+9-2\cdot5\cdot3\cos120^\circ=49$ から出る）。
(1) 角の和は $38.21^\circ+21.79^\circ+120^\circ=180^\circ$ で合っている。
(2) Mollweide の公式の左辺は $\dfrac{a+b}c=\dfrac87\approx1.1429$、$\dfrac{a-b}c=\dfrac27\approx0.2857$ である。右辺は、$\dfrac{A-B}2\approx8.21^\circ$、$\dfrac C2=60^\circ$ から
$$ \frac{\cos8.21^\circ}{\sin60^\circ}\approx\frac{0.98975}{0.86603}\approx1.1429,\qquad \frac{\sin8.21^\circ}{\cos60^\circ}\approx\frac{0.14280}{0.5}\approx0.2856 $$
である。どちらも小数第 3 位まで一致するので、答えは正しいと判断できる（残るずれは角を小数第 2 位で丸めたことによる）。

3 辺 $3,5,7$ の三角形の角 $C$ を、余弦の符号を取り違えて $C=60^\circ$ と答えたとする（本当は $\cos C=-\dfrac12$ で $C=120^\circ$）。$A$、$B$ は正しい値 $\cos\dfrac{A-B}2=\dfrac{4\sqrt3}7$ のままとすると
$$ \frac{\cos\frac{A-B}2}{\sin30^\circ}=\frac{4\sqrt3}7\cdot2=\frac{8\sqrt3}7\approx1.979,\qquad \frac{a+b}c=\frac87\approx1.143 $$
で、一致しない。$C$ の誤りが公式で見つかる。

3 辺 $3,4,5$ では、ex-mw-start のとおり $\cos\dfrac{A-B}2=\dfrac7{5\sqrt2}\approx0.990$ である。分母を $\sin C=\sin90^\circ=1$ にすると、右辺は約 $0.990$ で、左辺 $\dfrac75=1.4$ と一致しない。
なお 3 辺 $3,5,7$ では $\sin120^\circ=\sin60^\circ$ なので、この取り違えをしても偶然に一致してしまう。$C$ が $120^\circ$ のときだけの一致で、式が正しいことの確かめにはならない。

3 辺 $3,5,7$ の三角形を解いたつもりで、辺を $a=6$、$b=10$、$c=14$ と書いてしまったとする。角は正しい値のままである。このとき
$$ \frac{a+b}c=\frac{16}{14}=\frac87,\qquad \frac{a-b}c=\frac{-4}{14}=-\frac27 $$
で、ex-mw-obtuse と同じ値になり、Mollweide の公式は両辺が一致してしまう。公式の左辺は辺の比しか含まないので、3 つの辺を同じ倍率で誤る誤りは見つからない。辺の大きさは、与えられた長さ（たとえば $a=3$）と比べて確かめる必要がある。