自由アーベル群

同義語：free abelian group自由Abel群自由可換群

概要

前提知識: アーベル群, 自由加群, 直和, 群準同型
自由アーベル群は、「座標」を入れることのできるアーベル群である。平面の格子点全体 $\mathbb{Z}^2=\{(a,b)\mid a,b\in\mathbb{Z}\}$ を例にとると、どの格子点も $e_1=(1,0)$ と $e_2=(0,1)$ を使って $(a,b)=ae_1+be_2$ とただ 1 通りに書ける。$e_1,e_2$ の代わりに $x_1=(1,1)$、$x_2=(1,2)$ を使っても、$(a,b)=(2a-b)x_1+(b-a)x_2$ とただ 1 通りに書ける（たとえば $(3,5)=1\cdot x_1+2\cdot x_2$）。ところが $y_1=(2,0)$、$y_2=(0,1)$ では、$(1,0)$ を $my_1+ny_2$（$m,n\in\mathbb{Z}$）と書くことができない。$2m=1$ となる整数 $m$ がないからである。ベクトル空間と違って、「一次独立な 2 つの元」がいつも座標系になるとは限らない。このような座標系（基底）をもつアーベル群が自由アーベル群であり、特異ホモロジーの鎖群や代数幾何学の因子の群のように、「ものの形式的な整数係数の和」を扱う場面に広く現れる。
本記事ではアーベル群を加法的に書く。整数 $n$ と元 $a$ に対する $na$ は $a$ の $n$ 倍であり、アーベル群は $\mathbb{Z}$ 上の加群と同じものである（アーベル群の記事の命題「アーベル群と整数加群の一致」）。

定義

基底と自由アーベル群

$F$ をアーベル群、$(x_i)_{i\in I}$ を $F$ の元の族とする。有限個を除いて $0$ である整数の族 $(n_i)_{i\in I}$ に対する有限和 $\sum_{i\in I}n_ix_i$ を $(x_i)$ の整数係数の一次結合という。

$F$ のすべての元が $(x_i)$ の整数係数の一次結合としてただ 1 通りに書けるとき、$(x_i)_{i\in I}$ を $F$ の基底（basis）という。部分集合 $B\subset F$ が基底であるとは、族 $(b)_{b\in B}$ が基底であることとする。
基底をもつアーベル群を自由アーベル群（free abelian group）という。
言い換えると、$F$ が自由アーベル群であるとは、$F$ が $\mathbb{Z}$ 上の自由加群であることである。

$(x_i)$ が基底であることは、$(x_i)$ が $F$ を生成し（すべての元が一次結合で書ける）、かつ一次独立である（$\sum_in_ix_i=0$ ならすべての $n_i=0$）ことと同値である（自由加群の記事の定義「生成系・一次独立・基底」の後の説明）。
集合 $I$ に対し、整数の族 $(n_i)_{i\in I}$ で有限個を除いて $n_i=0$ となるもの全体に成分ごとの加法を入れたアーベル群（$\mathbb{Z}$ の $I$ 個のコピーの直和）を
$$ \mathbb{Z}^{(I)}=\bigoplus_{i\in I}\mathbb{Z} $$
と書く（アーベル群の記事の定義「アーベル群の直和」）。第 $i$ 成分だけが $1$ で他が $0$ の元を $e_i$ とすると、$(n_i)_i=\sum_in_ie_i$ なので $(e_i)_{i\in I}$ は $\mathbb{Z}^{(I)}$ の基底である（標準基底）。$I=\{1,\dots,n\}$ のときは $\mathbb{Z}^n$ と書き、$I=\emptyset$ のとき $\mathbb{Z}^{(\emptyset)}=0$ である。$0$ は空な族を基底とする自由アーベル群である。
自由加群の記事の命題「基底と標準的な自由加群」を $\mathbb{Z}$ 上で読むと、アーベル群 $F$ の元の族 $(x_i)_{i\in I}$ が基底であることと、準同型
$$ \mathbb{Z}^{(I)}\longrightarrow F,\qquad (n_i)_{i\in I}\longmapsto\sum_{i\in I}n_ix_i $$
が同型であることは同値である。したがって、自由アーベル群とは、ある集合 $I$ について $\mathbb{Z}^{(I)}$ と同型なアーベル群にほかならない。これはアーベル群の記事で与えた言い換えと同じである。

集合上の自由アーベル群と形式和

集合 $S$ に対し、$\mathbb{Z}^{(S)}$ を $S$ 上の自由アーベル群（free abelian group on $S$）という。$s\in S$ を標準基底の元 $e_s$ と同一視して、$\mathbb{Z}^{(S)}$ の元を
$$ \sum_{s\in S}n_s\,s\qquad(n_s\in\mathbb{Z},\ \text{有限個を除いて } n_s=0) $$
と書き、$S$ の元の形式和（formal sum）、または整数係数の形式的な一次結合という。和は係数ごとに $\sum_sn_ss+\sum_sm_ss=\sum_s(n_s+m_s)s$ で計算する。写像 $\iota\colon S\to\mathbb{Z}^{(S)}$、$s\mapsto s$（$=e_s$）を標準的な埋め込みという。

形式和の「形式」は、$S$ の元どうしに足し算の意味がなくてもよいことを表している。たとえば平面上の点 $P,Q$ について $3P-2Q$ は点の和ではなく、「$P$ に重み $3$、$Q$ に重み $-2$ を付けたもの」を表す記号である。
自由アーベル群の基本性質は、基底の行き先を自由に選んで準同型が作れることである。

自由アーベル群の普遍性

$F$ を基底 $(x_i)_{i\in I}$ をもつ自由アーベル群、$A$ をアーベル群とする。任意の元の族 $(a_i)_{i\in I}$（$a_i\in A$）に対し、$f(x_i)=a_i$（$i\in I$）を満たす群準同型 $f\colon F\to A$ がただ 1 つ存在する。とくに、集合 $S$ から $A$ への任意の写像 $g\colon S\to A$ に対し、$f\circ\iota=g$ を満たす準同型 $f\colon\mathbb{Z}^{(S)}\to A$ がただ 1 つ存在し、それは $f\bigl(\sum_sn_ss\bigr)=\sum_sn_sg(s)$ で与えられる。

普遍性の証明の所在

これは加群の記事の命題「自由加群の普遍性」の $\mathbb{Z}$ 上の場合であり、証明はそこにある（$f$ は $f\bigl(\sum_in_ix_i\bigr):=\sum_in_ia_i$ で定まり、表示の一意性によって矛盾なく定義され、基底の元での値が決まれば一次結合での値も決まる）。群準同型と $\mathbb{Z}$ 加群の準同型は同じものである（アーベル群の記事の命題「アーベル群と整数加群の一致」）。自由群の記事の定理「自由群のアーベル化」の証明の (a) にも同じ議論がある。

階数

自由アーベル群 $F\cong\mathbb{Z}^{(I)}$ の基底の濃度 $|I|$ を $F$ の階数（rank）といい、$\operatorname{rank}F$ と書く。基底の取り方によって濃度が変わらないことは、自由加群の記事の定理「可換環上の階数の一意性」を $\mathbb{Z}$（零環でない可換環）に適用して得られる。具体的には、$F$ の元を $2$ 倍したもの全体 $2F$ で割った $F/2F$ が、有限体 $\mathbb{F}_2=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 上のベクトル空間として $\mathbb{F}_2^{(I)}$ と同型になり、その次元として $|I|$ が読み取れる。たとえば $\mathbb{Z}^m\cong\mathbb{Z}^n$ なら $2^m=|\mathbb{Z}^m/2\mathbb{Z}^m|=|\mathbb{Z}^n/2\mathbb{Z}^n|=2^n$ なので $m=n$ である。有限生成アーベル群の階数（アーベル群の記事の定理「有限生成アーベル群の構造定理」の $r$）は、自由な部分 $\mathbb{Z}^r$ の階数である。

直感

自由アーベル群は「関係式をもたないアーベル群」である。基底の元 $x_i$ の間には $\sum n_ix_i=0$ という関係が、係数がすべて $0$ の場合を除いて 1 つもない。一方、$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ の生成元 $\bar1$ は $6\cdot\bar1=0$ という関係を満たし、この関係があるために自由でない。任意のアーベル群 $G$ は、生成元の集合 $S$ 上の自由アーベル群 $\mathbb{Z}^{(S)}$ を「生成元の間の関係式」のなす部分群で割ったものとして表される（prop-free-abelian-group-presentation）。自由アーベル群は、この割り算をまったくしない場合にあたる。
もう 1 つの見方は、$\mathbb{R}^n$ の中の格子である。$\mathbb{Z}^n\subset\mathbb{R}^n$ は $\mathbb{R}^n$ の中で規則正しく並んだ点の集まりであり、その基底は「格子を張る平行体の辺」にあたる。ベクトル空間の基底変換が可逆行列で与えられるのに対し、格子の基底変換は整数を成分とし逆行列も整数成分になる行列、すなわち行列式が $\pm1$ の整数行列で与えられる（prop-free-abelian-group-determinant）。冒頭の $y_1=(2,0)$、$y_2=(0,1)$ は行列式が $2$ で、張る平行体が基本の正方形の $2$ 倍の面積をもつので、格子全体を張らない。

例と反例

数の群と多項式

$\mathbb{Z}$ は $\{1\}$ を基底とする階数 $1$ の自由アーベル群である。$\{-1\}$ も基底である。$n\neq0$ のとき $n\mathbb{Z}$ は $\{n\}$ を基底とする階数 $1$ の自由アーベル群である。
$\mathbb{Z}^n$ は標準基底 $e_1,\dots,e_n$ をもつ階数 $n$ の自由アーベル群である。
整数係数の多項式環 $\mathbb{Z}[x]$ の加法群は、単項式 $1,x,x^2,\dots$ を基底とする自由アーベル群であり、階数は可算無限 $\aleph_0$ である。多項式は係数の族 $(a_k)_{k\in\mathbb{N}}$ で有限個を除いて $0$ のものにほかならず、$\mathbb{Z}[x]\cong\mathbb{Z}^{(\mathbb{N})}$ である。
Gauss整数の環 $\mathbb{Z}[i]=\{a+bi\mid a,b\in\mathbb{Z}\}$ の加法群は、$1,i$ を基底とする階数 $2$ の自由アーベル群である。
素数全体の集合 $P$ 上の自由アーベル群 $\mathbb{Z}^{(P)}$ は、正の有理数の乗法群 $\mathbb{Q}_{>0}$ と同型である。素因数分解の存在と一意性（素数の記事）により、正の有理数は $\prod_pp^{n_p}$（$n_p\in\mathbb{Z}$、有限個を除いて $0$）とただ 1 通りに書けるので、$\sum_pn_pp\mapsto\prod_pp^{n_p}$ が同型を与える。ここでは乗法群を加法的な自由アーベル群と比べている。

行列式による基底の判定

$x_1,\dots,x_n\in\mathbb{Z}^n$ を列ベクトルとみなし、$x_j$ を第 $j$ 列とする $n$ 次の整数行列を $P$ とする。$(x_1,\dots,x_n)$ が $\mathbb{Z}^n$ の基底であることと、$\det P=\pm1$ であることは同値である。

整数行列の逆行列

準同型 $\varphi\colon\mathbb{Z}^n\to\mathbb{Z}^n$、$(n_1,\dots,n_n)\mapsto\sum_jn_jx_j$ は、列ベクトル $v$ を $Pv$ に送る写像である。定義から、$(x_j)$ が基底であることは $\varphi$ が全単射であることと同値である。
$(x_j)$ が基底であるとする。$\varphi$ の逆写像 $\psi$ も準同型であり（$\psi(u+v)$ と $\psi(u)+\psi(v)$ はどちらも $\varphi$ で $u+v$ に移るので等しい）、$\psi(e_j)$ を第 $j$ 列とする整数行列を $Q$ とすると $\psi(v)=Qv$ である。$\varphi\circ\psi=\mathrm{id}$ から $PQ=I$ となり、行列式をとると $\det P\cdot\det Q=1$ である。$\det P,\det Q$ は整数だから $\det P=\pm1$ である。
逆に $\det P=\pm1$ とする。$P$ の余因子行列 $\tilde P$ は整数行列で、$P\tilde P=\tilde PP=(\det P)I$ を満たす。$Q:=(\det P)^{-1}\tilde P=\pm\tilde P$ は整数行列で $PQ=QP=I$ である。したがって $v\mapsto Qv$ は $\varphi$ の逆写像であり、$\varphi$ は全単射である。よって $(x_j)$ は基底である。

冒頭の例では、$x_1=(1,1)$、$x_2=(1,2)$ の行列の行列式は $1\cdot2-1\cdot1=1$ なので基底であり、$y_1=(2,0)$、$y_2=(0,1)$ の行列式は $2$ なので基底でない。$y_1,y_2$ は一次独立であり、$\mathbb{R}^2$ の基底でもあるが、$\mathbb{Z}^2$ の基底ではない。これが満たす性質は「階数と同じ個数の一次独立な元」であり、満たさない性質は「生成する」ことである。ベクトル空間で成り立つ含意「次元と同じ個数の一次独立な元は基底である」を、自由アーベル群では破る。$y_1,y_2$ が生成するのは第 1 成分が偶数の元のなす部分群であり、これは $\mathbb{Z}^2$ の真部分群である。

反例：捩れ元をもつ群と有理数の加法群

$n\geq2$ のとき、$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ は自由アーベル群でない。自由アーベル群 $F$ の元 $x=\sum_in_ix_i$ について $mx=0$（$m\geq1$）なら、表示の一意性から各 $mn_i=0$、したがって $n_i=0$ である。つまり自由アーベル群は捩れのない群（アーベル群の記事の定義「捩れ元と捩れ部分」の意味で）である。$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ は $n\cdot\bar1=0$、$\bar1\neq0$ を満たすので自由でない。同じ理由で、$0$ でない有限アーベル群は自由アーベル群でない。
有理数の加法群 $\mathbb{Q}$ は捩れのない群であるが、自由アーベル群でない（アーベル群の記事の系「有理数の加法群は自由でない」）。満たす性質は「捩れがない」ことであり、満たさない性質は「有限生成」である。$\mathbb{Q}$ は含意「捩れのないアーベル群は自由アーベル群である」を破る。有限生成の仮定を付ければこの含意は正しい（prop-free-abelian-group-fg-torsion-free）。
整数列全体のなす群 $\mathbb{Z}^{\mathbb{N}}=\prod_{n\in\mathbb{N}}\mathbb{Z}$（直積）は捩れのない群であるが、自由アーベル群でない。これは Baer による定理であり（Bae37）、証明は本記事では扱わない。直和 $\mathbb{Z}^{(\mathbb{N})}$ は自由アーベル群であるから、無限個の $\mathbb{Z}$ の直和と直積はこの点で振る舞いが異なる。

特異鎖群と因子の群

位相空間 $X$ と整数 $p\geq0$ に対し、標準 $p$ 単体 $\Delta^p$ から $X$ への連続写像（特異 $p$ 単体）全体の集合を $\Sigma_p(X)$ とする。その上の自由アーベル群 $C_p(X):=\mathbb{Z}^{(\Sigma_p(X))}$ を特異 $p$ 鎖群といい、その元 $\sum_\sigma n_\sigma\sigma$ を特異 $p$ 鎖という。境界準同型 $\partial\colon C_p(X)\to C_{p-1}(X)$（$p\geq1$）は、各特異単体 $\sigma$ に対して $\partial\sigma:=\sum_{k=0}^p(-1)^k\sigma|_{[v_0,\dots,\hat v_k,\dots,v_p]}$（$k$ 番目の頂点 $v_k$ を除いた面への制限）と定め、prop-free-abelian-group-universal により準同型に延ばしたものである（Hat02 §2.1）。基底の元での値を決めるだけで準同型が定まることが、ここで使われている。
コンパクトなRiemann面や代数曲線 $X$ の点全体の集合上の自由アーベル群 $\mathbb{Z}^{(X)}$ の元 $\sum_Pn_PP$ を $X$ 上の因子という（非コンパクトな Riemann 面では、台が離散閉集合である無限和も因子に含めるので、因子の群は $\mathbb{Z}^{(X)}$ より真に大きい）。有理型関数の零点と極を重複度つきで数えたものが因子として表される。ここでも点の形式和が基本的な言葉になっている。

性質

部分群

ベクトル空間の部分空間がまたベクトル空間であるのと同じく、自由アーベル群の部分群はまた自由アーベル群である。有限階数の場合は次のように初等的に示せる。

有限階数の自由アーベル群の部分群

$n\geq0$ とし、$H$ を $\mathbb{Z}^n$ の部分群とする。$H$ は階数 $n$ 以下の自由アーベル群である。

最後の座標への射影による帰納法

$n$ についての帰納法で示す。$n=0$ なら $H=0$ であり、空な族を基底とする階数 $0$ の自由アーベル群である。
$n\geq1$ とし、$n-1$ まで主張が成り立つとする。最後の成分をとる準同型 $\pi\colon\mathbb{Z}^n\to\mathbb{Z}$ を考え、最後の成分が $0$ の元のなす部分群を $\mathbb{Z}^{n-1}$ と同一視する。$H':=H\cap\mathbb{Z}^{n-1}$ は $\mathbb{Z}^{n-1}$ の部分群なので、帰納法の仮定により基底 $y_1,\dots,y_k$（$k\leq n-1$）をもつ。$\pi(H)$ は $\mathbb{Z}$ の部分群なので、ある整数 $d\geq0$ について $\pi(H)=d\mathbb{Z}$ である（$\pi(H)\neq0$ なら、$\pi(H)$ の正の元の最小値を $d$ とすると、$\pi(H)$ の元 $a$ を $d$ で割った余り $a-qd$ は $\pi(H)$ に属し $d$ より小さい非負整数なので $0$ であり、$a\in d\mathbb{Z}$ となる）。
$d=0$ なら $H\subset\mathbb{Z}^{n-1}$ なので $H=H'$ であり、主張が成り立つ。$d>0$ なら $\pi(h)=d$ となる $h\in H$ をとる。$y_1,\dots,y_k,h$ が $H$ の基底であることを示す。生成：$x\in H$ について $\pi(x)=md$（$m\in\mathbb{Z}$）と書くと、$\pi(x-mh)=0$ なので $x-mh\in H'$ であり、$x=\sum_ia_iy_i+mh$ と書ける。一次独立：$\sum_ia_iy_i+mh=0$ なら、$\pi$ を施して $md=0$、よって $m=0$ であり、$\sum_ia_iy_i=0$ と $y_i$ の一次独立性からすべての $a_i=0$ である。したがって $H$ は階数 $k+1\leq n$ の自由アーベル群である。

自由アーベル群の部分群は自由

$F$ を基底 $(x_i)_{i\in I}$ をもつ自由アーベル群、$H$ を $F$ の部分群とする。$H$ は自由アーベル群であり、$H$ の基底の濃度は $|I|$ 以下である。

一般の場合の証明の所在

$I$ が有限なら prop-free-abelian-group-subgroup-finite である。一般の場合の証明は Lan02 Chapter I §7・Chapter III §7 にある（選択公理（Zorn の補題または整列可能定理）を使う）。より一般に、単項イデアル整域上の自由加群の部分加群は自由である（自由加群の記事の命題「係数環による違い」の 2。有限階数の場合は DF04 §12.1）。

prop-free-abelian-group-subgroup-finite で階数が真に小さくなることがある（$\mathbb{Z}^2$ の部分群 $\mathbb{Z}\times0$）。一方、$\mathbb{Z}^n$ の部分群が有限の指数をもてば階数は $n$ である。実際、指数を $m$ とすると $m\mathbb{Z}^n\subset H$ であり（Lagrangeの定理により剰余群 $\mathbb{Z}^n/H$ の元の $m$ 倍は $0$）、$m\mathbb{Z}^n$ は $me_1,\dots,me_n$ を基底とする階数 $n$ の自由アーベル群である。$H$ の階数を $k$ とし同型 $H\cong\mathbb{Z}^k$ をとると、$m\mathbb{Z}^n$ は $\mathbb{Z}^k$ の部分群と同型になるので、prop-free-abelian-group-subgroup-finite と階数の一意性により $n\leq k$ である。$k\leq n$ と合わせて $k=n$ である。

有限生成で捩れのない群

有限生成で捩れのないアーベル群は自由

有限生成アーベル群 $G$ が捩れのない群（$0$ 以外のすべての元が無限位数をもつ）ならば、$G$ は有限階数の自由アーベル群である。

極大な独立部分集合への押し込み

$G$ を $g_1,\dots,g_m$ で生成されるとする。$\{g_1,\dots,g_m\}$ の部分集合で一次独立なもののうち、包含について極大なもの $\{x_1,\dots,x_k\}$ をとる（有限集合なので存在する。空集合は一次独立である）。$H:=\langle x_1,\dots,x_k\rangle$ は $x_1,\dots,x_k$ を基底とする自由アーベル群である。
各 $j$ について、$n_jg_j\in H$ となる整数 $n_j\geq1$ がある。$g_j$ が $x_i$ のどれかなら $n_j=1$ とすればよい。そうでなければ、極大性により $x_1,\dots,x_k,g_j$ は一次従属であり、すべてが $0$ ではない整数 $c,a_1,\dots,a_k$ で $cg_j+\sum_ia_ix_i=0$ となるものがある。$c=0$ なら $x_i$ の一次独立性に反するので $c\neq0$ であり、$cg_j=-\sum_ia_ix_i\in H$ である。$n_j:=|c|$ とすればよい。
$n:=n_1n_2\cdots n_m\geq1$ とおくと、各 $j$ について $ng_j=(n/n_j)(n_jg_j)\in H$ なので、$G$ の元 $\sum_jc_jg_j$ の $n$ 倍は $H$ に属する。すなわち $nG\subset H$ である。$n$ 倍写像 $G\to G$、$a\mapsto na$ は準同型であり、$G$ は捩れのない群なので単射である。よって $G\cong nG$ であり、$nG$ は階数 $k$ の自由アーベル群 $H\cong\mathbb{Z}^k$ の部分群なので、prop-free-abelian-group-subgroup-finite により階数 $k$ 以下の自由アーベル群である。

この証明は、有限生成アーベル群の構造定理（アーベル群の記事の定理「有限生成アーベル群の構造定理」）を使っていない。構造定理を認めれば、捩れがないことから有限巡回群の直和因子が現れないので $G\cong\mathbb{Z}^r$ となる（アーベル群の記事の系「捩れのない有限生成アーベル群」）。有限生成の仮定が外せないことは ex-free-abelian-group-non-free の 2 が示している。

分裂と表示

自由アーベル群への全射は分裂する

$A$ をアーベル群、$F$ を基底 $(x_i)_{i\in I}$ をもつ自由アーベル群、$p\colon A\to F$ を全射準同型とする。$p\circ s=\mathrm{id}_F$ を満たす準同型 $s\colon F\to A$ が存在し、
$$ A=\ker p\oplus s(F),\qquad s(F)\cong F $$
が成り立つ。

基底の持ち上げ

$p$ は全射なので、各 $i\in I$ について $p(a_i)=x_i$ となる $a_i\in A$ を選べる（$I$ が無限のときはこの選び方に選択公理を使う）。prop-free-abelian-group-universal により $s(x_i)=a_i$ を満たす準同型 $s\colon F\to A$ がある。$p\circ s$ と $\mathrm{id}_F$ はどちらも準同型で、基底の元での値が $x_i$ で一致するので、普遍性の一意性の部分により $p\circ s=\mathrm{id}_F$ である。
$a\in A$ について $a=(a-s(p(a)))+s(p(a))$ であり、$p(a-s(p(a)))=p(a)-p(a)=0$ なので $A=\ker p+s(F)$ である。$s(y)\in\ker p$ なら $y=p(s(y))=0$ なので $\ker p\cap s(F)=0$ である。よって $A=\ker p\oplus s(F)$ である（アーベル群の記事の命題「内部直和の判定」）。$s$ は $p\circ s=\mathrm{id}_F$ より単射なので $s(F)\cong F$ である。

有限生成アーベル群の捩れ部分の分離

有限生成アーベル群 $G$ について、捩れ部分群 $T(G)$ は有限群であり、ある $r\geq0$ について $G\cong T(G)\oplus\mathbb{Z}^r$ が成り立つ。

捩れのない商からの分裂

アーベル群の記事の命題「捩れ元の全体は部分群」により $G/T(G)$ は捩れのない群であり、有限生成群の剰余群なので有限生成である。prop-free-abelian-group-fg-torsion-free により $G/T(G)\cong\mathbb{Z}^r$ となる $r$ がある。prop-free-abelian-group-splitting を標準的な全射 $G\to G/T(G)$（核は $T(G)$）に適用すると $G=T(G)\oplus s(G/T(G))\cong T(G)\oplus\mathbb{Z}^r$ である。$T(G)$ は $G$ から直和因子 $T(G)$ への射影の像なので有限生成であり、捩れ群なので、アーベル群の記事の命題「有限生成な捩れ群は有限」により有限群である。

自由アーベル群による表示

任意のアーベル群 $G$ に対し、自由アーベル群 $F_0,F_1$ と、単射準同型 $\partial\colon F_1\to F_0$ と全射準同型 $\pi\colon F_0\to G$ で $\operatorname{im}\partial=\ker\pi$ となるもの、すなわち完全列
$$ 0\longrightarrow F_1\xrightarrow{\ \partial\ }F_0\xrightarrow{\ \pi\ }G\longrightarrow0 $$
が存在する。$G$ が $m$ 個の元で生成されるなら $F_0=\mathbb{Z}^m$ とでき、そのとき $F_1$ は階数 $m$ 以下の自由アーベル群である。

生成元の上の自由アーベル群

$G$ の生成系 $S$（$G$ 自身でもよい）をとり、$F_0:=\mathbb{Z}^{(S)}$、$\pi\colon F_0\to G$ を $s\mapsto s$ から prop-free-abelian-group-universal により定まる準同型とする。$\pi$ の像は $S$ を含む部分群なので $G$ であり、$\pi$ は全射である。$F_1:=\ker\pi$ とし $\partial$ を包含とすると、$\partial$ は単射で $\operatorname{im}\partial=\ker\pi$ である。$F_1$ は自由アーベル群 $F_0$ の部分群なので、thm-free-abelian-group-subgroup により自由アーベル群である。$G$ が $m$ 個の生成元 $g_1,\dots,g_m$ で生成されるなら、$S:=\{1,\dots,m\}$ とし、$e_j\mapsto g_j$ で定まる準同型 $\pi\colon F_0=\mathbb{Z}^m\to G$ を上の $\pi$ の代わりにとれる。この場合は prop-free-abelian-group-subgroup-finite により $F_1$ は階数 $m$ 以下の自由アーベル群である。

たとえば $n\geq1$ について $0\to\mathbb{Z}\xrightarrow{\ n\ }\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\to0$ は $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ の表示である。この完全列の長さが 2 項で済む（$F_1$ がすでに自由なので、さらに核をとる必要がない）ことは、$\mathbb{Z}$ が単項イデアル整域であることの反映であり、Ext関手やTor関手が $\mathbb{Z}$ 上では $0$ 次と $1$ 次にしか現れない理由である。

自由群との関係

自由群のアーベル化

集合 $X$ 上の自由群 $F(X)$ のアーベル化 $F(X)/[F(X),F(X)]$ は、$X$ 上の自由アーベル群 $\mathbb{Z}^{(X)}$ と同型である（自由群の記事の定理「自由群のアーベル化」）。自由群は群の圏での自由対象、自由アーベル群はアーベル群の圏での自由対象であり、prop-free-abelian-group-universal は、集合に $\mathbb{Z}^{(S)}$ を対応させる関手が、アーベル群にその台集合を対応させる忘却関手の左随伴であることを述べている（随伴関手）。ただし、$X$ が $2$ 個以上の元をもてば $\mathbb{Z}^{(X)}$ は自由群ではない。たとえば $\mathbb{Z}^2$ は自由アーベル群だが自由群でない（自由群の記事の例「反例：階数 2 の自由アーベル群」）。「自由」の意味は、どの圏で考えるかによって異なる。