複素解析

同義語：複素関数論complex analysis

概要

前提知識: 複素数, 冪級数, 線積分, 一様収束

複素解析 は、複素数を変数とし複素数を値とする関数のうち、複素数の意味で微分できる関数（正則関数）を調べる分野である。定義は実数の微分の定義とまったく同じ形をしているが、複素平面では点に近づく方向が無数にあるため、複素微分可能という条件は実の微分可能性よりはるかに強い。その結果、一度微分できる関数は何回でも微分でき、冪級数で表され、領域の中に集積点をもつ集合の上の値から全体が決まり、閉曲線に沿う積分は内部の特異点だけで決まる。複素解析はこの「硬さ」から出発して、関数の零点と極の数え方、実積分の計算、領域から領域への等角な写像、関数の族の収束を扱い、数論・幾何学・関数解析・偏微分方程式に道具を提供する。
この記事は複素解析の案内である。前半で主な対象を定義し、実変数の微分可能な関数との違いを表にまとめる。中ほどで分野の中心の問いと代表的な定理を、それを扱う記事とともに一覧する。後半で、正則関数の族の収束についての代表的な定理である Montel の定理を完全に証明し、最後に学ぶ順の目安を示す。

主な対象

以下、$\mathbb{C}$ の部分集合には $|z-w|$ による距離を入れる。領域とは空でない連結な開集合のことである。

正則関数と特異点

$U\subset\mathbb{C}$ を開集合、$f\colon U\to\mathbb{C}$、$a\in U$ とする。極限
$$f'(a):=\lim_{h\to0,\ h\in\mathbb{C}\setminus\{0\}}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$
が存在するとき、$f$ は $a$ で 複素微分可能 であるという。$U$ のすべての点で複素微分可能なとき、$f$ を $U$ 上の 正則関数 という。$\mathbb{C}$ 全体で正則な関数を 整関数 という。
$f$ が $a$ を除いた $a$ の近傍 $\{0<|z-a|< r\}$ で正則なとき、$a$ を $f$ の 孤立特異点 という。$a$ で値を定め直して正則にできるとき 除去可能、$|f(z)|\to\infty$（$z\to a$）となるとき極、そのどちらでもないとき 真性特異点 という。
開集合 $U$ の離散的な閉部分集合 $P$ があって、$f$ が $U\setminus P$ 上で正則で、$P$ の各点が $f$ の極であるとき、$f$ を $U$ 上の 有理型関数 という。

$f=u+iv$（$u,v$ は実数値）と書くと、複素微分可能性は、$u,v$ が実の意味で微分可能で Cauchy–Riemann の方程式 $u_x=v_y$、$u_y=-v_x$ を満たすことと同値である（正則関数の定理「Cauchy–Riemann の方程式」）。多項式・指数関数・三角関数は整関数であり、有理関数・$1/\sin z$・Γ 関数は有理型関数である（有理型関数、極(複素解析)）。一方、$\bar z$ と $|z|^2$ は実の意味では何回でも微分できるが、$\bar z$ はどの点でも、$|z|^2$ は $0$ 以外の点で複素微分可能でない（正則関数の注意「反例：複素共役と絶対値」）。

実変数の関数との違い

複素微分可能性の強さは、次の比較に表れる。左の列の性質は、実変数の微分可能な関数では成り立たないが、正則関数では成り立つ。

性質	実変数の微分可能な関数	正則関数	記事
1 回微分できれば何回でも微分できる	成り立たない：$x\lvert x\rvert$ は 1 回だけ微分できる	成り立つ	Cauchyの積分公式
各点の近くで冪級数に等しい	成り立たない：$e^{-1/x^2}$（$x\ne0$）、$0$（$x=0$）	成り立つ	Taylor展開(複素解析)
領域の中に集積点をもつ集合の上の値で全体が決まる	成り立たない	領域上で成り立つ	一致の定理
全体で定義され有界なら定数	成り立たない：$\sin x$	成り立つ	Liouvilleの定理(複素解析)
局所一様極限も同じ種類の関数	成り立たない：$\sqrt{x^2+1/m}\to\lvert x\rvert$	成り立つ	Cauchyの積分公式
局所有界な列は局所一様収束する部分列をもつ	成り立たない：$\sin(mx)$	成り立つ	thm-ca-montel

1 行目の $x|x|$ の導関数は $2|x|$ で、$0$ で微分できない。2 行目の関数は $0$ ですべての導関数が $0$ なので Taylor 級数は $0$ だが、関数は $0$ でない（Taylor展開(複素解析) の反例）。5 行目の $\sqrt{x^2+1/m}$ は何回でも微分でき、$0\le\sqrt{x^2+1/m}-|x|\le1/\sqrt m$ より $\mathbb{R}$ 上で $|x|$ に一様収束するが、$|x|$ は $0$ で微分できない。正則関数では、局所一様極限は正則であり、導関数も局所一様収束する（Cauchyの積分公式の系「Weierstrass の定理」）。6 行目は ex-ca-counterexamples で確かめる。

中心の問いと代表的な定理

複素解析の結果は、大まかに次の 4 つの問いのまわりにまとまる。

問い	代表的な定理	記事
正則関数は局所的にどう振る舞うか	Cauchy の積分定理・積分公式、冪級数展開、一致の定理、最大値原理、開写像定理、Liouville の定理	Cauchyの積分定理, Cauchyの積分公式, Taylor展開(複素解析), 一致の定理, 開写像定理(複素解析), Liouvilleの定理(複素解析)
特異点と零点から何が分かるか	Laurent 展開、留数定理、偏角の原理、Rouché の定理、Hurwitz の定理	Laurent展開, 留数定理, 偏角の原理, Rouchéの定理
領域はどこまで等角に写し合えるか	Schwarz の補題、Riemann の写像定理、Koebe の 1/4 定理	Schwarzの補題, 等角写像, 単葉関数, Koebeの1/4定理
与えられた性質の関数を作れるか	Weierstrass の因数分解定理、Mittag-Leffler の定理、解析接続	Weierstrassの因数分解定理, Mittag-Lefflerの定理, 解析接続

1 つ目の問いの中心は Cauchy の積分公式である。円板 $\{|z-a|\le r\}$ を含む開集合で正則な $f$ は、円周上の値で内部の値が
$$f(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{|\zeta-a|=r}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\,d\zeta\qquad(|z-a|< r)$$
と表される（Cauchyの積分公式の定理「円板に対する Cauchy の積分公式」）。右辺を $z$ について微分し、あるいは $1/(\zeta-z)$ を幾何級数に展開すると、導関数の存在と冪級数展開が出る。導関数の積分表示を評価すると Cauchy の評価式
$$|f^{(n)}(a)|\le\frac{n!\,M}{r^n}\qquad(M:=\max_{|\zeta-a|=r}|f(\zeta)|)$$
が得られ（同じ記事の命題「Cauchy の評価式」）、ここから Liouville の定理や代数学の基本定理（代数学の基本定理）、次の節の Montel の定理が導かれる。
2 つ目の問いでは、閉曲線に沿う積分が内部の特異点の留数の和で決まること（留数定理）が中心で、実積分の計算（留数による定積分の計算）や零点の個数の数え上げ（偏角の原理）に使われる。3 つ目の問いの到達点は、$\mathbb{C}$ 自身でない単連結な領域はすべて単位円板と等角同値であるという Riemann の写像定理（等角写像の定理「Riemann の写像定理」）であり、単射な正則関数の理論（単葉関数）へつながる。4 つ目の問いは、零点や極を指定した関数の構成と、関数をもとの定義域の外へ延ばすことを扱い、ガンマ関数・Riemannゼータ関数・Weierstrassの楕円関数のような特別な関数の理論の基礎になる。相異なる 2 つの複素数をどちらも値にとらない整関数は定数であるという Picardの小定理も、この分野を代表する定理である。

代表的な定理：Montel の定理

正則関数の列から収束する部分列を取り出せるかという問いは、Riemann の写像定理の証明、単葉関数の極値問題（単葉関数の定理「$S$ のコンパクト性」）、反復の力学系（Julia集合）で繰り返し現れる。実数の有界な列が収束する部分列をもつ（Bolzano–Weierstrass）ことの関数版にあたるのが Montel の定理である。

局所有界と正規族

$U\subset\mathbb{C}$ を開集合とし、$\mathcal{F}$ を $U$ 上の正則関数の族とする。

$\mathcal{F}$ が 局所有界 であるとは、各点 $a\in U$ に近傍 $V\subset U$ と定数 $M$ があって、すべての $f\in\mathcal{F}$ と $z\in V$ について $|f(z)|\le M$ となることをいう。
関数の列 $(f_m)$ が $U$ 上で 局所一様収束 するとは、$U$ の各コンパクト部分集合の上で一様収束することをいう。
$\mathcal{F}$ が 正規族 であるとは、$\mathcal{F}$ の元からなる任意の列が、$U$ 上で局所一様収束する部分列をもつことをいう。

局所有界な族は、各コンパクト集合 $K\subset U$ の上で一様に有界である（$K$ を有限個の近傍 $V$ で覆えばよい）。正規族の定義には、局所一様に $\infty$ に発散する部分列も許す流儀がある（Julia集合の定義「正規族」）。ここでは極限が有限な値の関数である流儀をとる。

Montel の定理

開集合 $U\subset\mathbb{C}$ 上の正則関数の局所有界な族は正規族である。極限の関数は $U$ 上で正則である。

方針は、Cauchy の評価式で導関数を押さえて族の同程度連続性を出し、Arzelà–Ascoliの定理をコンパクト集合の増大列に当てて、対角線論法で 1 つの部分列にまとめることである（同じ方針の証明が Leb26 Theorem 6.2.2（p. 154）にある）。

段 1（コンパクト集合の増大列）。 $U=\mathbb{C}$ のときは $\operatorname{dist}(z,\mathbb{C}\setminus U):=\infty$ とし、$j\ge1$ について
$$L_j:=\Bigl\{z\in\mathbb{C}\ \Big|\ |z|\le j,\ \operatorname{dist}(z,\mathbb{C}\setminus U)\ge\frac1j\Bigr\}$$
とおく。$L_j$ は有界閉集合なのでコンパクトで、$L_j\subset U$、$L_j\subset L_{j+1}$ である。任意のコンパクト集合 $K\subset U$ は有界で、補集合の閉集合 $\mathbb{C}\setminus U$ から正の距離にあるので、十分大きい $j$ で $K\subset L_j$ となる。また点 $a\in U$ について、$|a|\le j-1$ かつ $\operatorname{dist}(a,\mathbb{C}\setminus U)\ge\frac2j$ となる $j$ をとれば、円板 $\{|z-a|<\frac1j\}$ は $L_j$ に含まれる。
段 2（同程度連続性）。 $j$ を固定し、$\rho:=\frac1{2j}$、$L_j^+:=\{z\mid\operatorname{dist}(z,L_j)\le\rho\}$ とおく。$L_j^+$ はコンパクトで、その点から $\mathbb{C}\setminus U$ までの距離は $\frac1j-\rho=\rho>0$ 以上なので $L_j^+\subset U$ である。局所有界性から、定数 $M$ があってすべての $f\in\mathcal{F}$ について $L_j^+$ 上で $|f|\le M$ である。$z\in L_j$ と $|\zeta-z|<\rho/2$ を満たす $\zeta$ について、閉円板 $\{|w-\zeta|\le\rho/2\}$ は $L_j^+$ に含まれるので、Cauchy の評価式（Cauchyの積分公式の命題「Cauchy の評価式」、$n=1$）により $|f'(\zeta)|\le2M/\rho$ である。よって $z,w\in L_j$、$|w-z|<\rho/2$ なら、線分 $[z,w]$ はこの範囲に入り
$$|f(w)-f(z)|=\Bigl|\int_0^1f'\bigl(z+t(w-z)\bigr)(w-z)\,dt\Bigr|\le\frac{2M}{\rho}|w-z|$$
である。$\varepsilon>0$ に対し $\delta:=\min\{\rho/2,\ \varepsilon\rho/(2M+1)\}$ とおけば、$|w-z|<\delta$ ならすべての $f\in\mathcal{F}$ について $|f(w)-f(z)|<\varepsilon$ である。したがって $\mathcal{F}$ を $L_j$ に制限した族は同程度連続で、$|f|\le M$ により各点有界である。
段 3（対角線論法）。 $(f_m)$ を $\mathcal{F}$ の列とする。段 2 と Arzelà–Ascoliの定理（$\mathbb{C}=\mathbb{R}^2$ とみる）により、$(f_m)$ の部分列 $(f_{1,m})_m$ で $L_1$ 上一様収束するものがあり、その部分列 $(f_{2,m})_m$ で $L_2$ 上一様収束するものがあり、以下同様に、$(f_{j,m})_m$ が $(f_{j-1,m})_m$ の部分列で $L_j$ 上一様収束するようにとれる。対角線の列 $g_m:=f_{m,m}$ は、$m\ge j$ の部分が $(f_{j,m})_m$ の部分列なので、各 $L_j$ 上で一様収束する。段 1 により、任意のコンパクト集合 $K\subset U$ はある $L_j$ に含まれるので、$(g_m)$ は $U$ 上で局所一様収束する。
段 4（極限の正則性）。 段 1 の後半により、$U$ の各点はある $L_j$ に含まれる近傍をもつので、$(g_m)$ は Cauchyの積分公式の系「Weierstrass の定理」の意味で局所一様収束し、極限は $U$ 上で正則である。$\square$

円板上の冪

$\mathbb{D}:=\{|z|<1\}$ 上で $f_m(z):=z^m$ とおく。$|f_m|\le1$ なので族は局所有界であり、Montel の定理により局所一様収束する部分列をもつ。実際、$|z|\le R<1$ では $|z^m|\le R^m\to0$ なので列そのものが $0$ に局所一様収束する。しかし $\sup_{z\in\mathbb{D}}|z^m|=1$ なので $\mathbb{D}$ 全体では一様収束しない。結論の「局所」は強められない。

Montel の定理は、部分列の存在だけでなく、列そのものの収束を示すのにも使える。

各点収束から局所一様収束へ

$U\subset\mathbb{C}$ を開集合、$(f_m)$ を $U$ 上の正則関数の局所有界な列とし、各 $z\in U$ で $f_m(z)$ が収束するとする。このとき $(f_m)$ は $U$ 上で局所一様収束し、極限 $f(z):=\lim f_m(z)$ は $U$ 上で正則である。

局所一様収束しないと仮定すると、コンパクト集合 $K\subset U$ と $\varepsilon>0$ と部分列 $(f_{m_k})$ で、すべての $k$ について $\sup_K|f_{m_k}-f|\ge\varepsilon$ となるものがある。thm-ca-montel により $(f_{m_k})$ はさらに局所一様収束する部分列をもち、その極限は各点で $f$ に等しい（各点収束の極限は部分列でも同じ）。するとその部分列は $K$ 上で $f$ に一様収束し、$\sup_K|f_{m_k}-f|\ge\varepsilon$ に反する。よって $(f_m)$ は $f$ に局所一様収束し、thm-ca-montel の最後の主張（あるいは Weierstrass の定理）により $f$ は正則である。$\square$

実変数では同じ主張は成り立たない。$[0,1]$ 上の $x^m$ は $|x^m|\le1$ で各点収束するが、極限は $x=1$ だけで $1$、それ以外で $0$ の連続でない関数であり、一様収束しない。正則関数では、局所有界性と各点収束から、極限の正則性まで自動的に出る。

仮定を外した反例

外す条件	反例	成り立たなくなること
局所有界	$\mathbb{D}$ 上の $f_m(z):=mz$（正則）	$f_m(\frac12)=\frac m2\to\infty$ で、$\frac12$ で収束する部分列がない
正則（有界な滑らかな関数に替える）	$\mathbb{D}$ 上の $f_m(x+iy):=\sin(mx)$（$\lvert f_m\rvert\le1$）	実軸の区間 $[-\frac12,\frac12]$ 上でさえ一様収束する部分列がない

反例の確かめ

1 行目：どの部分列も $\frac12$ での値が発散する。2 行目：部分列 $(f_{m_k})$ が $[-\frac12,\frac12]$ 上で一様収束すると仮定すると、Arzelà–Ascoliの定理の命題「一様収束する列は同程度連続」により $\{f_{m_k}\}$ は $0$ で同程度連続である。ところが $m_k\ge4$ なら $x_k:=\pi/(2m_k)\in[-\frac12,\frac12]$ で $|f_{m_k}(x_k)-f_{m_k}(0)|=1$ であり、$x_k\to0$ なので、$\varepsilon=1$ に対してどの $\delta>0$ も同程度連続性の条件を満たさない。$f_m$ は実の意味で $C^\infty$ 級だが、$\sin(mx)$ の傾きは $m$ とともに大きくなる。正則関数では、Cauchy の評価式が値の大きさから傾きの大きさを押さえるので、この現象が起こらない。$\square$

隣の分野とのつながり

数論：Riemannゼータ関数の解析接続と零点の位置が素数の分布を支配し（解析的整数論）、上半平面上の正則関数であるモジュラー形式が整数論の対称性を表す。
幾何学：正則関数の定義域を曲面に広げると Riemann面になり、高次元では複素多様体になる。楕円関数（Weierstrassの楕円関数）は複素トーラスの上の有理型関数である。
調和解析・偏微分方程式：正則関数の実部は調和関数であり、円板の Dirichlet問題は Poisson 積分で解ける。
関数解析：Banach 環の元 $a$ のレゾルベント $(\lambda-a)^{-1}$ に連続線形汎関数を当てた関数は正則であり、Liouville の定理からスペクトルが空でないことが出る（Banach環とC*-環のスペクトル理論）。
力学系：多項式や有理関数の反復の振る舞いは、反復の族が正規族になる点とならない点に平面を分けて調べる（Julia集合）。
多変数：変数が 2 つ以上になると、Hartogs の現象のように 1 変数にない現象が現れる（多重円板、正則領域）。