Serre双対性

前提知識: Dolbeaultコホモロジー, Dolbeaultラプラシアン, Dolbeaultの定理, ベクトル束, Hodgeのスター作用素

Serre双対性（Serre duality）とは、複素次元 $n$ のコンパクト複素多様体 $X$ と $X$ 上の正則ベクトル束 $E$ について、外積と積分が定める対
$$ H^q(X,\Omega^p_X(E))\times H^{n-q}(X,\Omega^{n-p}_X(E^*))\longrightarrow\mathbb C $$
が完全な対（非退化な双線形形式）になることをいう。ここで $\Omega^p_X(E)$ は $E$ に値をとる正則 $p$ 形式の層、$E^*$ は $E$ の双対束である。とくに $p=0$ とすると、標準束 $K_X=\Lambda^nT^{*1,0}X$ を使って
$$ H^q(X,E)\cong H^{n-q}(X,K_X\otimes E^*)^* $$
となる。$E$ が自明な束なら、Dolbeault コホモロジーの次元について $h^{p,q}(X)=h^{n-p,n-q}(X)$ が従う。
Serre 双対性は Kähler 条件を必要とせず、すべてのコンパクト複素多様体で成り立つ。この点で、Kähler 多様体に特有の Hodge 対称性（Hodge対称性）とは性格が違う。コンパクト Riemann 面では $H^1(X,\mathcal O_X)$ が正則 1 形式の空間の双対であることを意味し、Riemann–Roch の定理（Riemann–Rochの定理）の片方の柱になる。定理は Serre による（Ser55 Théorème 4、p. 22）。
この記事では、双対性を Dolbeault コホモロジーの言葉で述べ、対が矛盾なく定まることと非退化であることを、Hermite 計量から作る共役スター作用素を使って証明する。

設定

$X$ を複素次元 $n$ のコンパクト複素多様体、$E$ を $X$ 上の階数 $r$ の正則ベクトル束とする。$E$ に値をとる $C^\infty$ 級の $(p,q)$ 形式の空間を $\mathcal A^{p,q}(X,E)$ と書く。$E$ の局所的な正則枠 $e_1,\dots,e_r$ をとると、$s\in\mathcal A^{p,q}(X,E)$ は $s=\sum_as_a\otimes e_a$（$s_a$ はスカラーの $(p,q)$ 形式）と書け、
$$ \bar\partial_Es:=\sum_a\bar\partial s_a\otimes e_a $$
とおく。正則枠どうしの変換行列は正則関数を成分にもつので、$\bar\partial_E$ は枠の選び方によらず、$\bar\partial_E^2=0$ をみたす。$E$ に値をとる Dolbeault コホモロジーを
$$ H^{p,q}(X,E):=\frac{\ker(\bar\partial_E\colon\mathcal A^{p,q}(X,E)\to\mathcal A^{p,q+1}(X,E))}{\bar\partial_E\mathcal A^{p,q-1}(X,E)} $$
で定める。Dolbeault の定理（Dolbeaultの定理 の主定理の 2）により $H^{p,q}(X,E)\cong H^q(X,\Omega^p_X(E))$ である。$E$ が自明な束 $X\times\mathbb C$ のときは、Dolbeaultコホモロジー の $H^{p,q}_{\bar\partial}(X)$ に一致する。

束の値の外積

$E$ に値をとる形式と $E^*$ に値をとる形式の外積を、係数の外積と $E$、$E^*$ の自然な対 $\langle\ ,\ \rangle\colon E\times E^*\to\mathbb C$ の積で定める：
$$ (\varphi\otimes e)\wedge(\psi\otimes f):=\langle e,f\rangle\,\varphi\wedge\psi . $$
これはスカラーの形式である。$e_1,\dots,e_r$ を正則枠、$e^1,\dots,e^r$ をその双対枠（これも正則である）とすると、$s=\sum_as_a\otimes e_a$、$u=\sum_bu_b\otimes e^b$ について $s\wedge u=\sum_as_a\wedge u_a$ である。

主定理

証明の 1 は Stokes の定理だけで済む。2 には、各類が調和形式でただ 1 つに代表されるという Hodge の定理のベクトル束版を使う。

共役スター作用素

非退化性の証明の要は、$E$ に値をとる形式を $E^*$ に値をとる形式に移す共役線形な作用素である。$H$ から共役線形な束の同型 $\tau\colon E\to E^*$、$\tau(e):=H(\cdot,e)$ が定まる（$H$ は第 1 成分について線形、第 2 成分について共役線形とする）。$E^*$ には $\tau$ が等長になる双対計量 $H^*$ を入れる。局所的な $C^\infty$ 級のユニタリ枠 $e_1,\dots,e_r$（各点で $H$ について正規直交）とその双対枠 $e^1,\dots,e^r$ をとると $\tau(e_a)=e^a$ であり、$e^a$ は $H^*$ について正規直交である。$E^*$ について同じ構成をすると、$E^{**}=E$ のもとで $\tau_{E^*}(e^a)=e_a$、すなわち $\tau_{E^*}\circ\tau=\mathrm{id}$ である。
スカラーの形式の共役スター作用素 $\bar*\varphi:=*\bar\varphi$ は $(p,q)$ 形式を $(n-p,n-q)$ 形式に写し、$k$ 次形式の上で $\bar*\bar*=(-1)^k$ をみたし、$\varphi\wedge\bar*\psi=\langle\varphi,\psi\rangle\mathrm{vol}$ である（Dolbeaultラプラシアン の命題「共役スター作用素と Dolbeault 調和形式」の 1 とその前の段落）。

$\bar*$ も $\tau$ も共役線形なので、$(c\varphi)\otimes e$ と $\varphi\otimes(ce)$ の像はどちらも $\bar c\,\bar*\varphi\otimes\tau(e)$ となり、$\bar*_E$ は $\otimes_{\mathbb C}$ の上で矛盾なく定まる共役線形写像である。ユニタリ枠で書くと $\bar*_E(\sum_as_a\otimes e_a)=\sum_a\bar*s_a\otimes e^a$ である。

3 は Wel08 Ch. V Proposition 2.4（p. 168）にある。$E$ が自明なら、これは Dolbeaultラプラシアン の命題「共役スター作用素と Dolbeault 調和形式」の 1 と同じ式である。

主定理の証明

証明で Hermite 計量は非退化性を示すためだけに使った。対そのものは計量によらないので、同型 $H^{p,q}(X,E)\cong H^{n-p,n-q}(X,E^*)^*$ は標準的である。Kähler 条件はどこにも使っていない。定理は Dem12 Ch. VI (7.3)（p. 310）、Wel08 Ch. V Theorem 2.7（p. 170）にある。

帰結

1 の $E$ が自明な場合は Dolbeaultラプラシアン の命題「共役スター作用素と Dolbeault 調和形式」の 3 でもあり、Hodge 数を菱形に並べた図（Hodge数）の中心についての点対称にあたる。

1 は Hodge 対称性 $h^{0,1}=h^{1,0}$ を Kähler 条件なしに与えるが、Riemann 面はつねに Kähler なので、結論は Hodge分解 の例「コンパクト Riemann 面」と同じである。2 は、因子 $D$ の直線束 $\mathcal O(D)$ について $h^1(\mathcal O(D))=h^0(\mathcal O(K-D))$ という形で Riemann–Rochの定理 の定理「Serre双対性（曲線の場合）」になる。

例

代数的な形

$X$ を $\mathbb C$ 上の非特異射影多様体、$\mathcal F$ を $X$ 上の代数的な局所自由層とする。Serre の GAGA の比較定理により、$\mathcal F$ の代数的な層コホモロジーと、対応する解析的な層のコホモロジーは自然に同型である（Ser56 §12 Théorème 1、p. 19）。$\Omega^n_X$ の解析化は $K_X$ の正則切断の層なので、thm-serre-main から代数的な形
$$ H^q(X,\mathcal F)\cong H^{n-q}(X,\omega_X\otimes\mathcal F^\vee)^\vee,\qquad\omega_X:=\Omega^n_{X} $$
が従う。一般の体の上の非特異射影多様体での同じ形の双対性とその出典は、Riemann–Rochの定理 の記事の注意「Serre双対性の出典」にある。特異点をもつ多様体では $\omega_X$ を双対化層に替える必要があり、この記事では扱わない。
Serre の原論文は、コンパクトでない複素多様体でも、$\bar\partial$ の像が閉じているという仮定のもとで、コンパクト台のコホモロジーとの双対性を示している（Ser55 Théorème 2、p. 20）。この仮定がみたされない例もある（同 n°14、pp. 22–23）。

反例と注意

1 行目：$\mathbb C$ 上では $H^{0,0}_{\bar\partial}(\mathbb C)$ はすべての正則関数の空間で無限次元である。一方、$(1,1)$ 形式 $f\,dz\wedge d\bar z$ に対して $\partial g/\partial\bar z=-f$ となる $g$ は $\mathbb C$ 全体でつねに存在する（Dolbeaultコホモロジー の例「複素平面と Stein 多様体での消滅」）ので、$\bar\partial(g\,dz)=f\,dz\wedge d\bar z$ となり、$H^{1,1}_{\bar\partial}(\mathbb C)=0$ である。双対性は成り立たない。原因は Stokes の定理が使えないこと（積分 $\int_{\mathbb C}s\wedge u$ が収束するとも限らない）と、有限次元性が失われることである。
2 行目：$\mathbb P^1$ では $H^0(\mathbb P^1,\mathcal O)=\mathbb C$ だが $H^1(\mathbb P^1,\mathcal O)=H^{0,1}_{\bar\partial}(\mathbb P^1)=0$ である（Hodge分解 の例「複素射影空間の Hodge 数」で $h^{0,1}=0$）。$H^1(\mathbb P^1,\mathcal O)$ と対になるのは $H^0(\mathbb P^1,K_{\mathbb P^1})=H^{1,0}_{\bar\partial}(\mathbb P^1)=0$ であり、$H^0(\mathbb P^1,\mathcal O)$ と対になるのは $H^1(\mathbb P^1,K_{\mathbb P^1})\cong\mathbb C$ である。破る含意は「$H^q(X,E)$ と $H^{n-q}(X,E)$ は双対である」で、標準束 $K_X$ と双対 $E^*$ への取り替えが欠かせない。
3 行目：Serre 双対性は $(p,q)$ と $(n-p,n-q)$ を結ぶ対称性であり、$(p,q)$ と $(q,p)$ を結ぶ Hodge 対称性を含まない。ex-serre-examples の Hopf 曲面は、Serre 双対性をみたしながら $h^{1,0}=0\neq1=h^{0,1}$ となる。Hodge 対称性には Kähler 条件（あるいは $\partial\bar\partial$-補題）が必要である（Hodge対称性）。
注意を 2 つ挙げる。

• Poincaré 双対性との関係．実多様体では、外積と積分が de Rham コホモロジーの完全な対 $H^k\times H^{m-k}\to\mathbb R$ を与える（Poincaré双対。Wel08 Ch. V Theorem 2.5、p. 169 は Serre 双対性と同じ方法で、$*$ を使って証明している）。Serre 双対性はその正則版で、$d$ を $\bar\partial$ に、$*$ を $\bar*_E$ に替えたものである。
• Kähler 幾何での使われ方．小平の消滅定理（小平の消滅定理）は $H^q(X,K_X\otimes L)=0$（$q>0$、$L$ は正の直線束）の形で述べられ、Serre 双対性により $H^q(X,L^*)=0$（$q< n$）と同値になる。

関連項目

• 前提: Dolbeaultコホモロジー, Dolbeaultの定理, Dolbeaultラプラシアン, ベクトル束
• 比較: Poincaré双対, Hodge対称性, Riemann–Rochの定理, 層コホモロジー
• 直後に読む: Hodge数, Hard Lefschetz定理, 小平の消滅定理
• 発展: 正則ベクトル束, 双対性理論, 留数