可解群

$g\in M$ なら $gM=M=Mg$。$g\notin M$ なら左剰余類は $M$ と $gM$ の二つで $gM=G\setminus M$、右剰余類も $M$ と $Mg$ の二つで $Mg=G\setminus M$、よって $gM=Mg$。任意の $g$ で $gM=Mg$ なので $gMg^{-1}=M$ である。$\square$

任意の $g\in H$ について $g[x,y]g^{-1}=[gxg^{-1},gyg^{-1}]$ である（両辺を展開すれば $gxyx^{-1}y^{-1}g^{-1}$ と $gxg^{-1}\,gyg^{-1}\,gx^{-1}g^{-1}\,gy^{-1}g^{-1}$ で等しい）。よって交換子の積の共役は交換子の積であり、$[H,H]\trianglelefteq H$。
(2) を先に示す。$N\trianglelefteq H$ とし、$\pi\colon H\to H/N$ を自然な全射とする。$H/N$ がアーベル群なら、任意の $x,y$ で $\pi([x,y])=\pi(x)\pi(y)\pi(x)^{-1}\pi(y)^{-1}=e$、すなわち $[x,y]\in N$ であり、交換子の積も $N$ に属するので $[H,H]\le N$。逆に $[H,H]\le N$ なら、$\pi(x)\pi(y)\pi(x)^{-1}\pi(y)^{-1}=\pi([x,y])=e$ なので $\pi(x)\pi(y)=\pi(y)\pi(x)$、$\pi$ は全射だから $H/N$ はアーベル群である。
(1) の後半は (2) を $N=[H,H]$ に適用すれば従う。
(3) $K\trianglelefteq G$、$g\in G$ とする。$k,k'\in K$ に対し $g[k,k']g^{-1}=[gkg^{-1},gk'g^{-1}]$ で、$gkg^{-1},gk'g^{-1}\in K$ なのでこれは $K$ の交換子である。よって $g[K,K]g^{-1}\subset[K,K]$ が任意の $g$ で成り立ち、$[K,K]\trianglelefteq G$。$D_0=G\trianglelefteq G$ から始めて帰納的に $D_i\trianglelefteq G$ を得る。$\square$

(2)⇒(1)：不変正規列は正規列である（$N_1,N_2\trianglelefteq G$、$N_1\le N_2$ なら $N_1\trianglelefteq N_2$）。
(1)⇒(3)：正規列 $\{e\}=G_0\trianglelefteq\cdots\trianglelefteq G_r=G$ で商因子がアーベル群のものをとる。$D_i\le G_{r-i}$ を $i$ について帰納的に示す。$i=0$ は $D_0=G=G_r$。$D_i\le G_{r-i}$ なら $D_{i+1}=[D_i,D_i]\le[G_{r-i},G_{r-i}]$ であり、$G_{r-i}/G_{r-i-1}$ がアーベル群なので lem-solvable-group-commutator (2) により $[G_{r-i},G_{r-i}]\le G_{r-i-1}$、よって $D_{i+1}\le G_{r-i-1}$。$i=r$ で $D_r\le G_0=\{e\}$。
(3)⇒(2)：$D_r=\{e\}$ とし、$N_i:=D_{r-i}$（$0\le i\le r$）とおく。$\{e\}=N_0\le N_1\le\cdots\le N_r=G$ であり、lem-solvable-group-commutator (3) により各 $N_i$ は $G$ の正規部分群である。$N_{i+1}/N_i=D_{r-i-1}/[D_{r-i-1},D_{r-i-1}]$ は同補題 (1) によりアーベル群である。$\square$

thm-solvable-group-equivalence の (3) を使う。$H\le G$ なら、$H$ の交換子は $G$ の交換子なので $[H,H]\le[G,G]$ であり、帰納的に $H$ の導来列 $D_i(H)$ は $D_i(G)$ に含まれる。$D_r(G)=\{e\}$ なら $D_r(H)=\{e\}$。
$N\trianglelefteq G$、$\pi\colon G\to G/N$ を自然な全射とする。$\pi([x,y])=[\pi(x),\pi(y)]$ であり $\pi$ は全射なので、$\pi([G,G])=[G/N,G/N]$、帰納的に $\pi(D_i(G))=D_i(G/N)$ である。$D_r(G)=\{e\}$ なら $D_r(G/N)=\pi(\{e\})=\{e\}$。$\square$

$G$ が可解群だとし、thm-solvable-group-equivalence (2) の不変正規列 $\{e\}=N_0\le\cdots\le N_r=G$ をとる。各 $N_i$ は $G$ の正規部分群なので $\{e\}$ か $G$ である。$N_0=\{e\}$、$N_r=G$ だから、$N_{i}=\{e\}$ かつ $N_{i+1}=G$ となる $i$ が存在し、その商因子 $N_{i+1}/N_i\cong G$ はアーベル群でなければならない。これは仮定に反する。$\square$

結合律：三つ組の積の第 $3$ 成分は括弧の付け方によらず $c+c'+c''+ab'+ab''+a'b''$ になり、第 $1$・$2$ 成分は整数の和である。単位元は $(0,0,0)$、$(a,b,c)$ の逆元は $(-a,-b,-c+ab)$ である。$(1,0,0)(0,1,0)=(1,1,1)\neq(1,1,0)=(0,1,0)(1,0,0)$ なので非アーベル。
写像 $\varphi\colon H\to\mathbb{Z}^2$、$\varphi(a,b,c):=(a,b)$ は積の定義から準同型で全射であり、核は $Z$ である。よって $Z\trianglelefteq H$ で、$H/Z\cong\mathbb{Z}^2$ はアーベル群である。$Z$ の積は $(0,0,c)(0,0,c')=(0,0,c+c')$ なので $Z\cong\mathbb{Z}$ はアーベル群である。$\square$