Thomスペクトル

1：Thom空間 の命題「Thom 空間のコホモロジー」により $\tilde H^*(T^r)=H^*(E^r,E^r_0)$ であり、Thom同型(特異コホモロジー) の定理「mod 2 の Thom 同型」から Thom 類 $u^r$ と同型 $H^k(\operatorname{Gr}_q(\mathbb R^r))\to\tilde H^{k+q}(T^r)$ が得られる。段を上げる包含は束の写像なので（Pontryagin–Thomの定理 の補題「普遍束の有限段の模型」の 3）、Thom同型(特異コホモロジー) の系「Thom 類の自然性」により $u^{r+1}$ は $u^r$ に制限され、Thom 同型は制限と可換である。$TO(q)$ のコンパクト集合はある $T^r$ に入り（Pontryagin–Thomの定理 の補題「コンパクト集合と有限段」）、CW 複体 $BO(q)$ でも同じなので、特異ホモロジーは有限段の帰納極限であり、体係数のコホモロジーはその双対、すなわち有限段の射影極限である。同型の射影系の極限として $U_q$ と $\Phi_q$ が得られ、一意性も各段の一意性から従う。$Sq^iu^r=\pi^*w_i(\gamma^r_q)\smile u^r$ は Stiefel–Whitney類 の定理「Thom の公式」（底空間はコンパクト）である。

2：$\sigma_q$ は束の写像 $\varepsilon^1\oplus\gamma^r_q\to\gamma^{r+1}_{q+1}$ の Thom 空間の写像と、同相 $\mathrm{Th}(\varepsilon^1\oplus E)\cong S^1\wedge\mathrm{Th}(E)$（Thom空間 の命題「直積と懸垂」）の合成である。Thom同型(特異コホモロジー) の系「Thom 類の自然性」により $\sigma_q^*\Phi_{q+1}(b)$ は $\varepsilon^1\oplus\gamma_q$ の Thom 同型による $i_q^*b$ の像であり、Thom同型(特異コホモロジー) の定理「積束の Thom 類」により $\varepsilon^1\oplus\gamma_q$（1 点の上の $\varepsilon^1$ と $\gamma_q$ の直積）の Thom 類は $u(\varepsilon^1)\times u$、$u(\varepsilon^1)$ は $\tilde H^1(S^1)$ の生成元である。生成元とのクロス積は懸垂同型なので（係数 $\mathbb F_2$ では符号は現れない）、$\beta_q\Phi_{q+1}(b)=\Phi_q(i_q^*b)$ である（May99 Chapter 25 §3、p. 224 の図式と同じ）。

3：2 と $i_q^*(b|_{q+1})=b|_q$ から $\Phi(b)$ は射影系の元である。$H^k(MO)$ の射影系は、$q\ge k$ では 1 と 2 により同型 $i_q^*\colon H^k(BO(q+1))\to H^k(BO(q))$ の列と同一視され、$\Lambda_k\to H^k(BO(q))$ も同型なので、$\Phi$ と $\mathrm{pr}_q$ は同型である。

4：有限段で $\Phi(b)=\pi^*b\smile u$ に Cartan の公式（Steenrod平方 の命題「Cartan の公式」の相対版。$\emptyset$ と $E_0$ は開集合）と 1 を使うと、$Sq^k(\pi^*b\smile u)=\sum_{i+j=k}\pi^*Sq^ib\smile\pi^*w_j\smile u$ である。$\square$

1：Grassmann多様体のコホモロジー の定理「無限 Grassmann 多様体のコホモロジー環」の 2 により引き戻しは $H^*(BO(n))$ の上で単射で、$\Lambda_k\to H^k(BO(n))$ は $k\le n$ で同型である。

2：$\rho_n$ は引き戻しなので $Sq^i$ と可換である（Steenrod平方 の公理 1）。$H^*((\mathbb{RP}^\infty)^n)$ の全平方は Cartan の公式により環準同型で、$Sq(t_j)=t_j+t_j^2$ である（同記事の公理 5・6）。lem-ts-thom の 4 から $\rho_n(Sq\bullet b)=Sq(\rho_n b)\,\rho_n(w)$、$\rho_n(w)=\sum_ie_i=\prod_j(1+t_j)$ なので、$e_n\rho_n(Sq\bullet b)=Sq(e_n)\,Sq(\rho_nb)=Sq(e_n\rho_nb)$ である。次数ごとに分けると $Sq^k$ について等式が成り立つ。等式が成り立つ $\theta$ の全体は和と積（$(\theta\theta')\bullet b=\theta\bullet(\theta'\bullet b)$）で閉じているので、$\mathcal A$ 全体で成り立つ。

3：両辺は代数準同型で、$w_k$ の値はどちらも $\sum_{i+j=k}e_i(t_1,\dots,t_m)\,e_j(t_{m+1},\dots,t_{m+n})=e_k(t_1,\dots,t_{m+n})$ である。

4：$b\in\Lambda_k$、$\theta\in\mathcal A_d$ とし、$m,n\ge k+d$ をとる。$e':=t_1\cdots t_m$、$e'':=t_{m+1}\cdots t_{m+n}$ とし、$J(\beta\otimes\beta'):=e'\rho_m(\beta)\cdot e''\rho_n(\beta')$ とおく。1 により $J$ は $\bigoplus_{i,j\le k+d}\Lambda_i\otimes\Lambda_j$ の上で単射である。3 と 2 から $J(\psi(\theta\bullet b))=e_{m+n}\rho_{m+n}(\theta\bullet b)=\theta\bigl(\sum e'\rho_m(b')\cdot e''\rho_n(b'')\bigr)$ である。変数の異なる多項式の積はクロス積なので、Steenrod代数 の命題「Cartan の公式による余積」の $(\ast)$ と 2 により、これは $\sum\theta'(e'\rho_mb')\,\theta''(e''\rho_nb'')=J\bigl(\sum\theta'\bullet b'\otimes\theta''\bullet b''\bigr)$ に等しい。$\square$

$\psi$ は $w_k$ の上で確かめれば余結合的・余可換で、定数項をとる写像を余単位にもつので、$\Lambda^\vee$ は $b_0$（定数項）を単位元とする可換環である。lem-ts-model の 3 を繰り返すと $(\rho_1\otimes\cdots\otimes\rho_1)\circ\psi^{(n)}=\rho_n$（$\psi^{(n)}$ は $\psi$ を $n-1$ 回合成した写像）なので、$\langle b,b_{i_1}\cdots b_{i_n}\rangle$ は $\rho_n(b)$ の $t_1^{i_1}\cdots t_n^{i_n}$ の係数である。$k\le n$ なら $\rho_n$ は $\Lambda_k$ の上で単射なので、これらの係数をとる写像は $\Lambda_k^\vee$ を張る。それらは $b$ の次数 $k$ の単項式であり、その個数は $k$ の分割の個数で、$w$ の次数 $k$ の単項式の個数 $\dim\Lambda_k$ に等しい。よって次数 $k$ の単項式は $\Lambda^\vee_k$ の基底である。$\square$

1：$\langle\theta\otimes\theta'\otimes b,\cdot\rangle$ で比べると、左辺は $\langle(\theta\theta')\bullet b,z\rangle$、右辺は $\langle\theta\bullet(\theta'\bullet b),z\rangle$ で、作用の結合律により等しい。$1\bullet b=b$ から前半が従う。

2：$\langle\theta\otimes b,\nu(zz')\rangle=\langle\psi(\theta\bullet b),z\otimes z'\rangle$ を lem-ts-model の 4 で書き直すと $\sum\langle\theta'\bullet b',z\rangle\langle\theta''\bullet b'',z'\rangle$ であり、$\mathcal A_*$ の積は $\Delta$ の双対、$\Lambda^\vee$ の積は $\psi$ の双対なので、これは $\langle\theta\otimes b,\nu(z)\nu(z')\rangle$ である。$\nu(b_0)=1\otimes b_0$ も定義から従う。

3：$\langle\theta\otimes b,\nu(b_i)\rangle$ は $\rho_1(\theta\bullet b)$ の $\alpha^i$ の係数、すなわち lem-ts-model の 2 により $\theta(\alpha\rho_1(b))$ の $\alpha^{i+1}$ の係数である。$\alpha\rho_1(b)=\sum_j\langle b,b_j\rangle\alpha^{j+1}$ なので、これは $\sum_j\langle b,b_j\rangle c_{i+1,j+1}(\theta)$ に等しい。$\square$

$\phi$ の定義、上の等式、$\nu$ の定義を順に使うと$$\langle g^\vee(a\theta\otimes\lambda),z\rangle=\langle a\otimes\theta\otimes\lambda,(\phi\otimes1)g(z)\rangle=\langle a\otimes\theta\otimes\lambda,(1\otimes g)\nu(z)\rangle=\langle a\bullet g^\vee(\theta\otimes\lambda),z\rangle$$である。

Steenrod代数 の注意「Serre の定理と作用素の表現」により、$H^*(K(\mathbb F_2,n))$ は $e(I)< n$ の許容列 $I$ についての $Sq^I\iota_n$ の多項式環である。生成元の次数は $n$ 以上なので、次数 $2n$ 未満の部分は $|I|< n$ の $Sq^I\iota_n$ を基底にもつ（許容列は $e(I)\le|I|$ をみたすので、$|I|< n$ の許容列はすべて現れる）。各因子のコホモロジーは各次数で有限次元なので、Leray–Hirschの定理(一般の係数環) の補題「積空間のクロス積」を因子ごとに繰り返し使うと、$H^*(K_q)$ はクロス積により因子のコホモロジーのテンソル積と同型で、各因子の被約コホモロジーは次数 $q$ 以上なので、次数 $2q$ 未満では 2 つ以上の因子の被約類の積は現れない。因子 $K(\mathbb F_2,q+d_R)$ の次数 $q+k<2q\le2(q+d_R)$ の部分は $|I|=k-d_R$ の $Sq^I\iota_{q+d_R}$ で張られる。$\omega_q^*Sq^I\iota_R=Sq^I\omega_R^*\iota_{q+d_R}=Sq^I\eta_q^*\mathrm{pr}_q(y_R)=\eta_q^*\mathrm{pr}_q(Sq^Iy_R)$ は自然性と、$H^*(MO)$ への作用が成分ごとであることによる。

$1\le m< q$ では $\pi_m(TO(q))=0$ である（Pontryagin–Thomの定理 の命題「次数の低いホモトピー群」。とくに $q\ge2$ で単連結）。$q\le m\le2q-3$ では $n:=m-q$ について $q\ge n+3$ なので、同記事の定理「十分大きい余次元での Pontryagin–Thom の同型」により $\pi_m(TO(q))\cong\mathfrak N_n$ であり、$\mathfrak N_n$ は $\mathbb F_2$ ベクトル空間である（同境 の命題「同境群」の 2）。$\pi_m(K_q)$ は因子のホモトピー群の直積（Eilenberg–MacLane空間 の命題「直積」）で、$\mathbb F_2$ か $0$ の直積である。$\pi_1(M,\Gamma_q)=0$ は $\pi_1(K_q)=0$（$q\ge2$）と $\Gamma_q$ の弧状連結性による。

1：Pontryagin–Thomの定理 の命題「構造写像との両立」の 3 により、$q\ge n+3$ では $\pi_{n+q}(TO(q))\to\pi_n(MO)$ は同型である。$n\ge0$ なら thm-ts-em の 2 により次元は $d_R=n$ の $R$ の個数 $\dim N_n$ である。$n<0$ では $1\le n+q< q$ となる $q$ で同記事の命題「次数の低いホモトピー群」を使う。

2：$m:=n+q$ とする。$K(\mathbb F_2,m)$ では Hurewiczの定理 の定理「Hurewicz の定理」と普遍係数定理により mod 2 の Hurewicz 写像 $\pi_m\to H_m(-;\mathbb F_2)$ は同型である。$\pi_m(K_q)$ の元は、$q+d_R=m$ の因子への射影で決まるので（Eilenberg–MacLane空間 の命題「直積」）、Hurewicz 写像の自然性から $K_q$ でも単射である。$\omega_q$ は $\pi_m$ と $\tilde H_m(-;\mathbb F_2)$ の同型を誘導し、$\eta_q$ は弱ホモトピー同値なので、$TO(q)$ でも単射である。Hurewicz 写像は懸垂と可換で（Hurewiczの定理 の命題「Hurewicz 準同型と懸垂の両立」）自然なので $h$ が定まり、$q\ge n+3$ では両側の帰納系の写像が同型（ホモロジー側は lem-ts-thom の 3 の双対）なので、$h$ も単射である。

3：$x$ を $f\colon S^{n+q}\to TO(q)$ で代表し、$s$ を $\tilde H_{n+q}(S^{n+q})$ の生成元とすると、$h(x)$ は $f_*s$ の像で、$\theta\in\mathcal A_d$（$d>0$）について $\langle\theta\bullet b,h(x)\rangle=\langle f^*(\theta\,\mathrm{pr}_q\Phi(b)),s\rangle=\langle\theta f^*\mathrm{pr}_q\Phi(b),s\rangle$ である。$\tilde H^*(S^{n+q})$ は次数 $n+q$ にしかないので、正の次数の $\theta$ は $0$ として作用し、この値は $0$ である。よって $\nu(h(x))$ は $\mathcal A_0^*\otimes\Lambda^\vee$ に入り、lem-ts-coaction の 1 から $1\otimes h(x)$ に等しい。$\square$