写像空間のWhitney位相(強C^r位相)

$\mathcal{N}^r(f;\Delta,\varepsilon)$ は生成元なので開集合で、$f$ を含む。$\mathcal{W}$ を $f$ を含む開集合とすると、生成元の有限個の共通部分 $\bigcap_{a=1}^p\mathcal{N}^r(h_a;\Delta_a,\varepsilon^a)$ で、$f$ を含み $\mathcal{W}$ に含まれるものがある。各 $a$ と $\Delta_a$ の各元 $(U,\varphi,V,\psi,K)$（許容誤差 $\epsilon$）について、$f(K)\subset V$ であり、$t:=\|\psi f\varphi^{-1}-\psi h_a\varphi^{-1}\|_{r,\varphi(K)}$ はコンパクト集合の上の連続関数の有限個の最大値の最大値なので達成され、$t<\epsilon$ である。$\epsilon':=\epsilon-t$ とおくと、三角不等式により $\|\psi g\varphi^{-1}-\psi f\varphi^{-1}\|_{r,\varphi(K)}<\epsilon'$ なら $\|\psi g\varphi^{-1}-\psi h_a\varphi^{-1}\|_{r,\varphi(K)}<\epsilon$ である。こうして得た $\varepsilon'^a$ について $\mathcal{N}^r(f;\Delta_a,\varepsilon'^a)\subset\mathcal{N}^r(h_a;\Delta_a,\varepsilon^a)$ である。$\Delta:=\Delta_1\sqcup\dots\sqcup\Delta_p$ は局所有限な族の有限個の和なので局所有限で、$f$ に合い、$\mathcal{N}^r(f;\Delta,\varepsilon')=\bigcap_a\mathcal{N}^r(f;\Delta_a,\varepsilon'^a)\subset\mathcal{W}$ である。弱位相では $\Delta_a$ がすべて有限なので $\Delta$ も有限である。$r=\infty$ では生成元の階数 $k_a$ の最大値 $k$ をとれば、$\|\cdot\|_{k,\varphi(K)}<\epsilon$ は $\|\cdot\|_{k_a,\varphi(K)}<\epsilon$ を導くので、同じ議論が通る。$\square$

公式．$k\ge1$ について、$D^k(\tau\circ G)(x)=\sum_{j=1}^kD^j\tau(G(x))\circ P_{k,j}\bigl(DG(x),\dots,D^{k-j+1}G(x)\bigr)$ と書ける。ここで $P_{k,j}$ は引数の多重線形写像のテンソル積の和で、$\tau$・$G$ によらない普遍的な多項式写像である。$k=1$ は連鎖律そのもの（$P_{1,1}(a)=a$）であり、$k$ から $k+1$ へは、右辺を $x$ で微分して、$D^j\tau(G(x))$ の微分が $D^{j+1}\tau(G(x))\circ DG(x)$ になることと積の微分の規則を使えば、同じ形の式が得られる。

1．同じ公式を $H\circ\theta$ に当てると、$D^k(H\circ\theta)(y)=\sum_{j=1}^kD^jH(\theta(y))\circ P_{k,j}(D\theta(y),\dots)$ である。$P_{k,j}(D\theta(y),\dots)$ の作用素ノルムはコンパクト集合 $K'$ の上で有界であり、$\theta(y)\in K$ なので、$c$ をこれらの上界の和（と $k=0$ の $1$）の最大値にとればよい。

2．$F(K)$ はコンパクトで開集合 $\Omega''$ に含まれるので、$\rho>0$ を、$L:=\{z\mid\operatorname{dist}(z,F(K))\le\rho\}$ が $\Omega''$ に含まれるようにとれる。$\delta\le\rho$ なら、$x\in K$ で $\lvert G(x)-F(x)\rvert<\rho$ なので $G(K)\subset L\subset\Omega''$ である。$R:=1+\|F\|_{r,K}$ とおき、$E:=\{(z,a_1,\dots,a_r)\mid z\in L,\ \|a_i\|\le R\}$（$a_i$ は $i$ 重線形写像）とする。$E$ はコンパクトで、$\Phi_k(z,a):=\sum_{j=1}^kD^j\tau(z)\circ P_{k,j}(a_1,\dots,a_{k-j+1})$ と $\Phi_0(z):=\tau(z)$ は $E$ の上で連続、したがって一様連続である。$\delta\le\min\{\rho,1\}$ なら、$x\in K$ について $(G(x),DG(x),\dots)$ と $(F(x),DF(x),\dots)$ はともに $E$ に入り、各成分の差は $\delta$ より小さい。よって $\delta$ を十分小さくとれば、すべての $x\in K$、$k\le r$ で $\|\Phi_k(G(x),\dots)-\Phi_k(F(x),\dots)\|<\varepsilon$、すなわち $\|\tau\circ G-\tau\circ F\|_{r,K}<\varepsilon$ である。$\square$

$S$ の各点は有限個の $U_i$ としか交わらない近傍をもち、$S$ はその有限個で覆えるので、$S$ と交わる $K_i$ は有限個である。$K_i\cap S=\emptyset$ なら $K_i$ の上で $g=h$ なので主張は明らかである。$K_i\cap S\ne\emptyset$ となる $i$ を 1 つとり、$C:=K_i\cap S$（コンパクト）とおく。$M\setminus S$ は開集合なので、$x\in K_i\setminus S$ の近くで $g=h$ であり、そこでの微分の差は $0$ である。$C$ の点では、$\theta:=\varphi\circ\varphi_i^{-1}$（$\varphi_i(U\cap U_i)$ の上）と $\tau:=\psi_i\circ\psi^{-1}$（$\psi(V\cap V_i)$ の上）により$$\psi_ig\varphi_i^{-1}=\tau\circ(\psi g\varphi^{-1})\circ\theta$$が $\varphi_i(C)$ の近くで成り立つ（$h$ も同様）。$h(C)\subset V\cap V_i$ なので、lem-swt-composition の 2 を $K:=\varphi(C)$、$F:=\psi h\varphi^{-1}$、$\Omega'':=\psi(V\cap V_i)$ に当てると、$\eta$ が小さければ $g(C)\subset V_i$ であり、$\|\tau\circ\psi g\varphi^{-1}-\tau\circ\psi h\varphi^{-1}\|_{r,\varphi(C)}$ はいくらでも小さい。さらに同じ補題の 1 を $\theta$ と $K':=\varphi_i(C)$ に当てると、$\|\psi_ig\varphi_i^{-1}-\psi_ih\varphi_i^{-1}\|_{r,\varphi_i(C)}<\sigma$ にできる。有限個の $i$ についての $\eta$ の最小値をとればよい。$g(K_i\setminus S)=h(K_i\setminus S)\subset V_i$ と合わせて $g$ は $\Delta$ に合う。$\square$

1の分割の記事の定理「滑らかな Urysohn の補題」により、$C^\infty$ 級関数 $\chi\colon\mathbb{R}^m\to[0,1]$ で、$K$ のある近傍で $1$、台がコンパクトで $\Omega$ に含まれるものがある。$\tilde F:=\chi F$（$\Omega$ の外では $0$）は台がコンパクトな $C^r$ 級写像である。軟化子の記事の軟化子 $\rho$ について $H_\epsilon(x):=\int\rho_\epsilon(y)\tilde F(x-y)\,dy$ とおく。$H_\epsilon$ は $C^\infty$ 級である（同記事の命題「軟化の基本性質」の 1）。$\lvert\alpha\rvert\le r$ について、$\partial^\alpha\tilde F$ は連続で台がコンパクトなので、積分記号の下で微分して $\partial^\alpha H_\epsilon(x)=\int\rho_\epsilon(y)\,\partial^\alpha\tilde F(x-y)\,dy$ である（差分商は平均値の定理により $\sup\lvert\partial_i\partial^\beta\tilde F\rvert$ で一様に押さえられ、一様連続性により収束する）。同記事の定理「軟化による近似」の 1 により、$\epsilon\to0$ で $\partial^\alpha H_\epsilon\to\partial^\alpha\tilde F$ は $\mathbb{R}^m$ 上で一様である。$K$ の近くで $\tilde F=F$ であり、$\|D^k(\cdot)(x)\|$ は $\lvert\alpha\rvert=k$ の偏導関数の絶対値の最大値の定数倍で押さえられるので、$\epsilon$ を小さくとった $H:=H_\epsilon$ が求めるものである。$\square$

準備． prop-swt-base により、近傍は $\mathcal{N}^r(f;\Delta,\varepsilon)$ の形としてよい。$M$ は正規空間なので、開集合 $O_1,O_2$ で $A\subset O_2\subset\overline{O_2}\subset O_1\subset\overline{O_1}\subset O$ となるものがある。lem-swt-atlas を開被覆 $\{O_1,\ M\setminus\overline{O_2}\}$ に当てて座標の組 $\{(U_k,\varphi_k,Y_k,\chi_k,K'_k)\}$ をとり、$\overline{U_k}\not\subset O_1$ となる $k$ を $k_1,k_2,\dots$ と並べる。これらの $\overline{U_k}$ は $M\setminus\overline{O_2}$ に含まれ、$O_1$ と $W_k:=\varphi_k^{-1}(B_1)$ たちは $M$ を覆う。$S_k:=\varphi_k^{-1}(\overline{B}_2)$ とし、$\Delta$ に $(U_k,\varphi_k,Y_k,\chi_k,S_k)$（許容誤差 $1$）を加えた局所有限な座標の組を $\hat\Delta$、その許容誤差の族を $\hat\varepsilon$ とする。$\hat\Delta$ の元 $a$ について $d_a(g):=\|\psi_ag\varphi_a^{-1}-\psi_af\varphi_a^{-1}\|_{r,\varphi_a(K_a)}$ とおく。

帰納法． $g_0:=f$、$R_0:=O$ から始めて、$j\ge1$ について次を満たす $g_j\in C^r(M,N)$ を作る。(a) $g_j$ は $\hat\Delta$ に合い、すべての $a$ で $d_a(g_j)\le\frac12\hat\varepsilon_a(1-2^{-j})$。(b) $S_{k_j}$ の外で $g_j=g_{j-1}$。(c) $g_j$ は開集合 $R_j:=R_{j-1}\cup\varphi_{k_j}^{-1}(B_{3/2})$ の上で $C^s$ 級。

$k:=k_j$ とする。(a) により $g_{j-1}(S_k)\subset Y_k$ なので、$G:=\chi_kg_{j-1}\varphi_k^{-1}$ は $\overline{B}_2$ の近くで定義される。lem-swt-mollify で $C^\infty$ 級写像 $H$ を $\|H-G\|_{r,\overline{B}_2}$ が小さくなるようにとり、$\overline{B}_{3/2}$ の上で $1$、$\lvert x\rvert\ge\frac74$ で $0$ となる $C^\infty$ 級関数 $\mu$（隆起関数の記事の例「球の上の隆起関数」）を使って$$G':=G+\mu\,(H-G)$$とおく。$\|H-G\|_{r,\overline{B}_2}$ が小さければ $G'(\overline{B}_2)\subset\chi_k(Y_k)$ なので、$g_j$ を $S_k$ の上で $\chi_k^{-1}\circ G'\circ\varphi_k$、その外で $g_{j-1}$ と定められる（$\lvert x\rvert\ge\frac74$ では $G'=G$ なので、2 つの定義は $S_k$ の境界の近くで一致し、$g_j$ は $C^r$ 級である）。$G'$ は $B_{3/2}$ の上で $H$ に等しく、$\varphi_k(R_{j-1})$ の上では $C^s$ 級の関数の和と積なので、(c) が成り立つ。(b) は作り方による。積の微分により $\|G'-G\|_{r,\overline{B}_2}\le c_\mu\|H-G\|_{r,\overline{B}_2}$（$c_\mu$ は $\mu$ と $r$ だけによる）なので、lem-swt-local-change を $h:=g_{j-1}$、$S:=S_k$、$\sigma:=\min\{\hat\varepsilon_a2^{-j-1}\mid K_a\cap S_k\neq\emptyset\}$（有限個の最小値）に当てて $\|H-G\|_{r,\overline{B}_2}$ を十分小さくとれば、$g_j$ は $\hat\Delta$ に合い、$S_k$ と交わる $K_a$ について $d_a(g_j)< d_a(g_{j-1})+\hat\varepsilon_a2^{-j-1}\le\frac12\hat\varepsilon_a(1-2^{-j})$ である。$S_k$ と交わらない $K_a$ では $d_a$ は変わらない。こうして (a) が成り立つ。

極限． $\{U_k\}$ は局所有限なので、各点はある近傍をもち、その上で (b) により $g_j$ は十分大きな $j$ で一定になる。その極限を $g$ とすると $g\in C^r(M,N)$ である。$\bigcup_jR_j\supset O\cup\bigcup_jW_{k_j}=M$ なので $g$ は $C^s$ 級である。各 $K_a$ は有限個の $S_k$ としか交わらないので、$d_a(g)=d_a(g_j)\le\frac12\hat\varepsilon_a$（$j$ が大きいとき）であり、$g\in\mathcal{N}^r(f;\Delta,\varepsilon)$ である。$S_k$ はすべて $M\setminus\overline{O_2}$ に含まれるので、$O_2$ の上で $g=f$ である。$\square$

$Q_i:=\varphi_i^{-1}(\overline{B}_2)$ とし、$\Delta$ の $K_i$ を $Q_i$ に替えた組 $\Delta_Q$ も局所有限で、$f$ に合う。$N$ に距離 $d$ を 1 つ固定する（位相多様体の記事の定理「多様体の分離公理・距離化・パラコンパクト性」）。

(i)．$c:=\inf\{\lvert F_i(x)-F_i(y)\rvert/\lvert x-y\rvert\mid x\ne y\in\overline{B}_2\}$ が正であることを示す。$0$ なら $x_k\ne y_k$ で比が $0$ に近づき、部分列で $x_k\to x$、$y_k\to y$、$u_k:=(x_k-y_k)/\lvert x_k-y_k\rvert\to u$ とできる。$x\ne y$ なら $F_i(x)=F_i(y)$ となり単射性に反する。$x=y$ なら $(F_i(x_k)-F_i(y_k))/\lvert x_k-y_k\rvert=\int_0^1DF_i(y_k+t(x_k-y_k))u_k\,dt\to DF_i(x)u=0$ となり、はめ込みであることに反する。$G$ が $\|G-F_i\|_{1,\overline{B}_2}<\frac c2$ を満たせば、線分の上の積分により $\lvert(G-F_i)(x)-(G-F_i)(y)\rvert\le\frac c2\lvert x-y\rvert$ なので $\lvert G(x)-G(y)\rvert\ge\frac c2\lvert x-y\rvert$ であり、$G$ は $\overline{B}_2$ で単射である。

(ii)．$f$ は像への同相写像なので、$f(M\setminus\operatorname{int}Q_i)$ は $f(M)$ の閉集合で $f(K_i)$ と交わらず、コンパクト集合 $f(K_i)$ との距離 $\delta_i$ は正である。$\rho_i:=\frac14\min\{\delta_i,\frac1i\}$ とし、$y\notin\operatorname{int}Q_i$ について $e_i(y):=d(f(y),f(K_i))-2\rho_i\ge2\rho_i$ とおき、$\eta(y)$ を、$y\in K_i$ となる $i$ についての $\rho_i$ と、$y\notin\operatorname{int}Q_i$ となる $i$ についての $e_i(y)$ と $1$ の下限とする。$x\in M$ の開近傍 $P$ で有限個の $Q_i$ としか交わらないものをとる。$f$ は像への同相写像なので、$\tau>0$ があって $f(M)\cap\{z\mid d(z,f(x))<2\tau\}\subset f(P)$ であり、$P$ と交わらない $Q_i$ について $d(f(x),f(K_i))\ge2\tau$ である。$d(f(y),f(x))<\tau$ となる $y$ と、そのような $i$ のうち $\rho_i\le\frac\tau4$ のものについて $e_i(y)\ge\tau-2\rho_i\ge\frac\tau2$ であり、残りの $i$ は有限個（$\rho_i\le\frac1{4i}$）で、各 $e_i\ge2\rho_i>0$ なので、$\eta$ は $x$ の近くで正の下界をもつ。したがって、コンパクト集合 $Q_i$ をそのような近傍の有限個で覆えば、$Q_i$ の上で $\eta$ は正の下界をもつ。$N$ の座標の逆写像はコンパクト集合の近くで一様連続なので、$\varepsilon_i$ を小さくとれば、$g\in\mathcal{N}^1(f;\Delta_Q,\varepsilon)$ について $Q_i$ の上で $d(g(y),f(y))<\eta(y)$ であり、さらに (i) と「はめ込み」の段により $g$ は各 $Q_i$ の上で単射なはめ込みである。

結論．$g(x)=g(y)$、$x\ne y$、$x\in K_i$ とする。$y\in\operatorname{int}Q_i$ なら (i) に反する。$y\notin\operatorname{int}Q_i$ なら $d(f(y),f(K_i))=e_i(y)+2\rho_i\ge\eta(y)+2\rho_i$ なので $d(g(y),f(K_i))>d(f(y),f(K_i))-\eta(y)\ge2\rho_i$ だが、$d(g(x),f(K_i))\le d(g(x),f(x))< \rho_i$ なので矛盾する。よって $g$ は単射なはめ込みである。$g(y_k)\to g(x)$、$x\in K_i$ なら、$k$ が大きいとき $d(g(y_k),f(K_i))<2\rho_i$ なので $y_k\in\operatorname{int}Q_i$ であり、$g$ はコンパクト集合 $Q_i$ の上で単射な連続写像なので像への同相写像で、$y_k\to x$ である。$g(M)$ は距離空間なので、$g$ は像への同相写像、すなわち埋め込みである。

固有写像． $N$ のコンパクト集合の列 $L_1\subset\operatorname{int}L_2\subset\cdots$ で和が $N$ のもの（1の分割の記事の補題「コンパクト集合による近似列」）をとり、$L_0:=\emptyset$ とする。$f$ が固有なら各 $L_q$ と交わる $f(K_i)$ は有限個である（$f^{-1}(L_q)$ はコンパクトで、有限個の $K_i$ としか交わらない）。$f(K_i)$ と交わる最小の $L_q$ の番号を $q(i)$ とし、$V_i$ を $V_i\setminus L_{q(i)-1}$ に縮める。$g\in\mathcal{N}^0(f;\Delta,\varepsilon)$ なら $g(K_i)\cap L_{q(i)-1}=\emptyset$ であり、コンパクト集合 $L\subset\operatorname{int}L_q$ と交わりうる $g(K_i)$ は $q(i)\le q$ のもの、すなわち有限個である。よって $g^{-1}(L)$ は有限個の $K_i$ の和に含まれる閉集合で、コンパクトである。

閉埋め込み． 埋め込みについて、像が閉であることと固有であることは同値である（固有写像は閉写像である（固有写像の記事の系「固有写像は閉写像」）。逆に像が閉なら、コンパクト集合 $L$ について $L\cap f(M)$ はコンパクトで、$f$ は像への同相写像なので逆像はコンパクト）。よって閉埋め込みの全体は、埋め込みの全体と固有写像の全体の共通部分で、開集合である。

微分同相写像． $f$ を $C^r$ 微分同相写像とする。$M$ の各連結成分 $M_c$ に点 $p_c$ を選ぶと、$g(p_c)\in f(M_c)$（$N$ の連結成分）という条件は、$p_c$ のまわりの座標と $f(M_c)$ の中の座標からなる局所有限な組で書けるので、$f$ のある近傍で成り立つ。これと埋め込み・沈め込み・固有写像の近傍の共通部分の元 $g$ をとる。沈め込みは開写像であり（逆関数定理により、局所的に座標の射影と同じ形になる）、固有写像は閉写像なので、$g(M_c)$ は $N$ の連結な開かつ閉な部分集合で $f(M_c)$ と交わり、$g(M_c)=f(M_c)$ である。よって $g$ は全単射で、微分が可逆なので、C^r多様体の記事の命題「$C^r$ 微分同相写像の判定」により $C^r$ 微分同相写像である。$\square$

滑らかな場合に帰着．$f$ の近傍 $\mathcal{N}$ をとる。2 の場合は固有写像の全体が開なので、$\mathcal{N}$ は固有写像からなるとしてよい。thm-swt-dense により $\mathcal{N}$ は $C^\infty$ 級写像を含み、$\mathcal{N}$ はその近傍でもあるので、$f$ は $C^\infty$ 級としてよい。$r=\infty$ では $\mathcal{N}$ は有限の階数の基本近傍を含むので、$r$ は有限としてよい。$\mathcal{N}=\mathcal{N}^r(f;\Delta,\varepsilon)$ とし、lem-swt-atlas で $f$ に合う座標の組 $\{(U_k,\varphi_k,Y_k,\chi_k,K_k)\}_{k\ge1}$ をとる。$S_k:=\varphi_k^{-1}(\overline{B}_2)$ とし、thm-swt-dense の証明と同じく $\Delta$ に $(U_k,\varphi_k,Y_k,\chi_k,S_k)$ を加えて誤差を配分する（条件 (a)(b)）。$L_j:=K_1\cup\dots\cup K_j$、$L_0:=\emptyset$ とする。

1 段．$C^\infty$ 級写像 $g:=g_{j-1}$ が開集合 $W\supset L_{j-1}$ の上ではめ込み（2 の場合は単射なはめ込み）であるとし、$k:=j$ とする。$K_k\setminus W$ と $L_{j-1}$ は交わらないコンパクト集合なので、$C^\infty$ 級関数 $\lambda\colon M\to[0,1]$ で、$K_k\setminus W$ の近傍で $1$、$L_{j-1}$ の近傍で $0$、台が $\varphi_k^{-1}(B_2)$ に含まれるものがある（1の分割の記事の定理「滑らかな Urysohn の補題」）。$v:=\lambda\cdot(1,\varphi_k)\colon M\to\mathbb{R}^{m+1}$（$U_k$ の外で $0$）とし、$n\times(m+1)$ 行列 $\Theta$ について、$Q:=g^{-1}(Y_k)$ の上で $g_\Theta :=\chi_k^{-1}\circ(\chi_k\circ g+\Theta v)$、その外で $g_\Theta :=g$ とおく（$\Theta$ が小さければ定義され、$v$ の台は $S_k\subset Q$ に入る）。

$v$ の性質．$\varphi_k$ の座標で $Dv(X)=\bigl(D\lambda(X),\ D\lambda(X)\varphi_k+\lambda X\bigr)$ なので、$\lambda>0$ の点で $Dv(X)=0$ なら $D\lambda(X)=0$、$\lambda X=0$ より $X=0$ である。$v(x)=v(y)$ かつ $\lambda(x)>0$ なら、第 1 成分から $\lambda(y)=\lambda(x)>0$ で $\varphi_k(x)=\varphi_k(y)$、よって $x=y$ である。

悪い $\Theta$ は測度零．$P:=\{\lambda>0\}$ とする。$g_\Theta$ の $x\in P$ での微分が単射でないのは、単位ベクトル $X$ について $D(\chi_kg)_x(X)+\Theta\,Dv_x(X)=0$ となるときである。$w:=Dv_x(X)\ne0$ の成分 $w_l\ne0$ を選ぶと、この式は $\Theta$ の第 $l$ 列を $(x,X)$ と他の列で表すので、そのような $\Theta$ の全体は、$P\times S^{m-1}\times\mathbb{R}^{nm}$ の開集合（$l=1,\dots,m+1$）からの $C^\infty$ 級写像の像の和に含まれる。定義域の次元 $2m-1+nm$ は $n\ge2m$ なら $n(m+1)$ より小さいので、Sardの定理の記事の補題「次元の低い空間からの写像の像」（定義域を可算個の座標近傍で覆う）により測度零である。2 の場合、$x\in P$、$y\in Q$、$v(x)\ne v(y)$ で $\chi_kg(x)+\Theta v(x)=\chi_kg(y)+\Theta v(y)$ となる $\Theta$ の全体も、同じく次元 $2m+nm$ の多様体 $P\times Q\times\mathbb{R}^{nm}$ の開集合からの写像の像に含まれ、$n\ge2m+1$ なら測度零である。

1 段の完成．測度零集合の補集合は稠密なので、悪くない $\Theta$ をいくらでも小さくとれる。$g_\Theta$ は $P$ の上ではめ込みであり、$\lambda=0$ の点では $D\lambda=0$（最小値）なので $Dg_\Theta =Dg$ である。$L_j$ の点で $\lambda=0$ のものは $W$ に入る（$K_k\setminus W$ の近くでは $\lambda=1$）ので、$g_\Theta$ は $L_j$ の各点ではめ込みであり、はめ込みであることは開条件なので $L_j$ の近傍ではめ込みである。2 の場合、$x\ne y$ で $g_\Theta (x)=g_\Theta (y)$、$x\in P$ とすると、$g_\Theta (x)\in Y_k$ なので $y\in Q$ であり、$\Theta$ の選び方から $v(x)=v(y)$、したがって $x=y$ となり矛盾する。$x,y$ がともに $L_j$ に入り $P$ に入らなければ、ともに $W$ に入って $g_\Theta =g$ は単射である。よって $g_\Theta$ は $L_j$ の上で単射なはめ込みであり、その近傍でも単射である（そうでなければ $L_j$ に近づく 2 点の列 $x_i\ne y_i$ で $g_\Theta (x_i)=g_\Theta (y_i)$ となるものがあり、極限が異なれば単射性に、一致すればはめ込みの局所単射性に反する）。$\Theta$ を小さくとれば $g_\Theta$ は $S_k$ の上で $g$ に $C^r$ で近いので、lem-swt-local-change で (a) も満たせる。$g_j:=g_\Theta$ とする。

極限．局所有限性により $g_j$ は各点の近くで有限回しか変わらず、極限 $g$ は $\mathcal{N}$ に入る。各点はある $K_k$ に入り、$g$ はその近くで十分大きな $j$ の $g_j$ に一致するので、はめ込みである。2 の場合、異なる 2 点はある $L_j$ に入り、以後の段では $L_j$ の近くで $\lambda=0$ なので値は変わらず、$g$ は単射である。$g$ は固有なので閉写像で、像への同相写像、すなわち閉埋め込みである。$M$ がコンパクトならすべての連続写像は固有である。$\square$