Vandermondeの行列式

$n$ についての帰納法で示す。$n=1$ では両辺とも $1$ である。$n\ge2$ とし、$n-1$ 変数では成り立つとする。$A$ は整域である（多項式環 の命題「次数の公式と整域性」を変数ごとに使う）。また、行列式は成分の整数係数の多項式（Leibniz の公式）なので、環準同型 $\varphi$ を成分ごとに施した行列について $\det\varphi(M)=\varphi(\det M)$ が成り立つ。これを以下で何度も使う。
段 1（$D$ は各 $X_j-X_i$ で割り切れる）．$i< j$ を固定し、$A$ を $B:=\mathbb{Z}[X_k\mid k\ne j]$ 上の 1 変数の多項式環 $B[X_j]$ とみる。$X_j$ に $X_i$ を代入する準同型 $A\to B$ を $V(X_1,\dots,X_n)$ に施すと、第 $i$ 行と第 $j$ 行が等しい行列になるので、その行列式は $0$ である（行列式 の定理「多重線形性と交代性」の 2。可換環の上でも同じ証明で成り立つことは同記事の注意「可換環上の行列式」）。よって $D$ に $X_j=X_i$ を代入すると $0$ になり、因数定理（多項式環 の系「剰余定理と因数定理」を $B[X_j]$ で使う）により $X_j-X_i$ は $D$ を割り切る。
段 2（$D$ は積 $\Delta$ で割り切れる）．$i< j$ の組を $P_1,\dots,P_N$ と並べ、$P_l=(i_l,j_l)$ の因子を $d_l:=X_{j_l}-X_{i_l}$ とする。段 1 の議論を、すでにくくり出した因子の残りの商に繰り返し当てると、$D=d_1\cdots d_N\,Q=\Delta\cdot Q$ となる $Q\in A$ が得られる。ここで整域であることを使う。

lem-vandermonde-universal の $A=\mathbb{Z}[X_1,\dots,X_n]$ から $R$ への環準同型 $\varphi$ で $X_i\mapsto x_i$ となるものがただ 1 つある（多項式環 の系「多変数の普遍性と変数の順序」、$\mathbb{Z}\to R$ は $1\mapsto1$ で定まる準同型）。$\varphi$ を成分ごとに施すと $V(X_1,\dots,X_n)$ は $V(x_1,\dots,x_n)$ に写り、行列式は成分の整数係数の多項式だから
$$ \det V(x_1,\dots,x_n)=\varphi\bigl(\det V(X_1,\dots,X_n)\bigr)=\varphi\bigl(\Delta(X_1,\dots,X_n)\bigr)=\prod_{i< j}(x_j-x_i) $$
である。$\square$

1. 可換環の上の正方行列が正則であることは、行列式が可逆元であることと同値である（行列式 の注意「可換環上の行列式」。定理「余因子行列と逆行列の公式」の 1 から従う）。thm-vandermonde-formula により $\det V=\prod_{i< j}(x_j-x_i)$ なので、この積が可逆元である条件を調べればよい。可逆元の積は可逆元である。逆に積 $u=a_1\cdots a_N$ が可逆元なら、各 $k$ について $a_k\cdot\bigl(u^{-1}\prod_{l\ne k}a_l\bigr)=1$ なので $a_k$ も可逆元である。
2. 整域では、積が $0$ でないことと、どの因子も $0$ でないことが同値である。因子 $x_j-x_i$ が $0$ でないことは $x_i\ne x_j$ ということなので、前半が従う。体の上では、正則であることと行列式が $0$ でないことが同値なので（行列式 の定理「正則性の判定」）、後半が従う。$\square$

$p$ の係数の列を $c$ とすると、条件は $Vc=y$ である。$V$ は正則なので $c=V^{-1}y$ がただ 1 つの解である。$L_i(x_j)$ は $j=i$ で $1$、$j\ne i$ で $0$ なので、$L_i$ の係数の列 $\ell_i$ は $V\ell_i=e_i$（第 $i$ 標準基底ベクトル）を満たし、$\ell_i=V^{-1}e_i$ は $V^{-1}$ の第 $i$ 列である（Lagrange補間 の命題「評価写像の表現行列と基本多項式」と同じ議論）。$\square$

$c_1,\dots,c_n\in\mathbb{C}$ がすべての $t\in\mathbb{R}$ で $\sum_ic_ie^{\lambda_it}=0$ を満たすとする。両辺を $k$ 回微分して $t=0$ を代入すると、$k=0,1,\dots,n-1$ について $\sum_ic_i\lambda_i^{\,k}=0$ を得る。これは $V(\lambda_1,\dots,\lambda_n)^{\top}c=0$（$c=(c_1,\dots,c_n)^{\top}$）ということである。$\det V^{\top}=\det V=\prod_{i< j}(\lambda_j-\lambda_i)\ne0$ なので $V^{\top}$ は正則で、$c=0$ である。$\square$

1. 値の相異なる $n$ 個の点を選び、それらの行だけを取り出した $n$ 次の正方行列は、その $n$ 点の Vandermonde 行列 $V$ であり、prop-vandermonde-invertible により正則である。$V_{m,n}c=0$ なら特に $Vc=0$ なので $c=0$ である。
2. 最初の $m$ 列からなる $m$ 次の正方行列は $V(x_1,\dots,x_m)$ で正則である。行の 1 次結合 $a^{\top}V_{m,n}=0$ があれば、最初の $m$ 列だけ見て $a^{\top}V(x_1,\dots,x_m)=0$、よって $a=0$ である。$\square$

左辺の行列を $W$ とすると $W_{ij}=x_{\sigma(i)}^{\,j-1}=V_{\sigma(i),j}$ で、$W$ は $V$ の行を並べ替えた行列である。Leibniz の公式で、$\tau$ の項を $k=\sigma(i)$ で書き直すと
$$ \det W=\sum_{\tau}\operatorname{sgn}(\tau)\prod_{i}V_{\sigma(i),\tau(i)}=\sum_{\tau}\operatorname{sgn}(\tau)\prod_{k}V_{k,\tau\sigma^{-1}(k)} $$
である。$\rho:=\tau\sigma^{-1}$ は $\tau$ とともにすべての置換をわたり、$\operatorname{sgn}(\tau)=\operatorname{sgn}(\rho)\operatorname{sgn}(\sigma)$ なので、$\det W=\operatorname{sgn}(\sigma)\det V$ である。後半は thm-vandermonde-formula による。$\square$

判別式 の定義「多項式の判別式」でモニック（$a_n=1$）の場合は $\operatorname{disc}(f)=\prod_{i< j}(\alpha_i-\alpha_j)^2$ であり、$(\alpha_i-\alpha_j)^2=(\alpha_j-\alpha_i)^2$ なので、thm-vandermonde-formula により $\bigl(\det V(\alpha)\bigr)^2$ に等しい。また $V=V(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$ について $V^{\top}V$ の $(j,k)$ 成分は $\sum_i\alpha_i^{\,j-1}\alpha_i^{\,k-1}=p_{j+k-2}$ であり、$\det(V^{\top}V)=\det V^{\top}\det V=(\det V)^2$ である（行列式 の定理「積の行列式」と命題「転置と行列式」）。$\square$

$(\Phi^*\Phi)_{jk}=\sum_{l=1}^n\overline{\zeta^{(l-1)(j-1)}}\,\zeta^{(l-1)(k-1)}=\sum_{m=0}^{n-1}\zeta^{m(k-j)}$ である（$\lvert\zeta\rvert=1$ なので $\overline{\zeta}=\zeta^{-1}$）。1の冪根 の定理「1 の $n$ 乗根の冪の和」により、この和は $n\mid k-j$ なら $n$、そうでなければ $0$ である。$\lvert k-j\rvert< n$ なので $n\mid k-j$ となるのは $j=k$ のときだけであり、$\Phi^*\Phi=nI_n$ を得る。両辺の行列式をとると、$\det\Phi^*=\overline{\det\Phi}$ なので $\lvert\det\Phi\rvert^2=\det(nI_n)=n^n$ である。$\square$