正多面体群

$\operatorname{Dih}_m$：$\tau\rho\tau^{-1}=R_{\tau e_3,2\pi/m}=R_{-e_3,2\pi/m}=\rho^{-1}$ と $\tau^2=1$ から、$\rho,\tau$ で生成される群は $\{\rho^j,\rho^j\tau\}$ である。$\rho^j$ は $e_3$ を動かさず、$\rho^j\tau$ は $e_3$ を $-e_3$ に写すので両者は重ならず、$\rho^j$（$0\le j< m$）は相異なるので、元は $2m$ 個である。$C_m$ も同様に $m$ 個である。

$T$：$V_T$ は成分の積が正の点 $(\pm1,\pm1,\pm1)/\sqrt3$ の全体なので、$\operatorname{diag}(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)$（$\varepsilon_i=\pm1$、$\varepsilon_1\varepsilon_2\varepsilon_3=1$）と $Z$ は $V_T$ を保つ。積 $\operatorname{diag}(\varepsilon)Z^k$（$0\le k<3$）は、$0$ でない成分の位置が $k$ で、その符号が $\varepsilon$ で決まるので、$12$ 個が相異なる。上界は $v=(1,1,1)/\sqrt3$ について $4\cdot3=12$ である（残りの $3$ 点と $v$ の内積はどれも $-1/3$）。

$O$：$g\in O$ は各 $e_i$ を $V_O$ の点に写すので、$g$ の各列は $\pm e_j$ の形であり、$g$ は符号付き置換行列である。逆に行列式 $1$ の符号付き置換行列は $V_O$ を保つ。その個数は $3!\cdot2^3/2=24$ である。

$I$：$\theta:=2\pi/5$ とおく。$\zeta=e^{\sqrt{-1}\theta}$ について $1+\zeta+\zeta^2+\zeta^3+\zeta^4=0$ の実部をとると $1+2\cos\theta+2\cos2\theta=0$ であり、$\cos2\theta=2\cos^2\theta-1$ と合わせて $4\cos^2\theta+2\cos\theta-1=0$、$\cos\theta>0$ から $\cos\theta=(\sqrt5-1)/4$、$\cos2\theta=-(\sqrt5+1)/4$ を得る。これを代入すると $$ c(1-\cos\theta)=\cos\theta,\quad s^2\cos\theta+c^2=c,\quad c(1-\cos2\theta)=-\cos2\theta,\quad s^2\cos2\theta+c^2=-c $$ が確かめられる。$B$ は対称な直交行列で（$c^2+s^2=1$）、$\det B=c^2+s^2=1$、$B^2=1$ である。$Be_3=(s,0,c)=w_0$ であり、上の 4 式から $Bw_{\pm1}=w_{\mp1}$、$Bw_{\pm2}=-w_{\pm2}$ である。$B^2=1$ から $Bw_0=e_3$、線形性から $B(-y)=-By$ なので、$B$ は $V_I$ を保つ。$A$ は $e_3$ を動かさず $w_j\mapsto w_{j+1}$、$D(x,y,z)=(-x,y,-z)$ は $e_3\mapsto-e_3$、$w_j\mapsto-w_{-j}$ なので、どちらも $V_I$ を保つ。よって $G:=\langle A,B,D\rangle\subset I$ である。$e_3$ の $G$ による軌道は $A^jBe_3=w_j$、$De_3=-e_3$、$DA^{-j}Be_3=Dw_{-j}=-w_j$ を含むので $V_I$ 全体（$12$ 点）であり、$e_3$ の安定化群は位数 $5$ の $\langle A\rangle$ を含むので、$|G|\ge60$ である。上界は $v=e_3$、$y=w_0$ として、$e_3$ との内積が $c$ の点が $w_0,\dots,w_4$ の $5$ 個なので $12\cdot5=60$ である。よって $I=G$、$|I|=60$ である。$I$ は $V_I$ に推移的に作用するので、$V_I$ のどの点からも内積 $c$ の点はちょうど $5$ 個ある。$\square$

1：特殊直交群 の定理「$\mathrm{SO}(3)$ の共役類」により、$P\in\mathrm{SO}(3)$ と $0\le\theta\le\pi$ で $g=PR_{e_3,\theta}P^{-1}=R_{Pe_3,\theta}$ と書け、$g\ne1$ から $\theta\ne0$ である。$R_{e_3,\theta}$ は $e_3$ に直交する平面を角 $\theta$ だけ回すので、動かさないベクトルは $e_3$ の実数倍だけである。よって $g$ が動かさない $S^2$ の点は $\pm Pe_3$ である。

2：$K_x$ の元は $x$ を動かさないので、1 により $R_{x,\alpha}$ の形である。$\alpha\mapsto R_{x,\alpha}$ は $\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$ から $\mathrm{SO}(3)$ への単射な準同型なので、$K_x$ は $\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$ の有限部分群 $\Lambda$ と同型である。$\Lambda$ の $0$ でない元を $(0,2\pi)$ の代表で表したときの最小値を $\alpha_0$ とする。$\alpha\in\Lambda$ の代表 $\alpha\in[0,2\pi)$ を $\alpha=q\alpha_0+\beta$（$q\in\mathbb{Z}$、$0\le\beta< \alpha_0$）と割ると $\beta\in\Lambda$ なので、最小性から $\beta=0$ である。$2\pi$ についても同様に $2\pi=r\alpha_0$ となる。よって $\Lambda$ は $\alpha_0=2\pi/r$ で生成され、$r=|\Lambda|=r_x$ である。$x$ は極なので $r_x\ge2$ である。

3：$R_{x,\alpha}\ne1$ が $y\ne\pm x$ を動かさないことは 1 によりないので、$y$ の $K_x$ での安定化群は自明であり、軌道は $r_x$ 点からなる。$K_x$ の元は $x$ を動かさず内積を保つので、$\langle R_{x,\alpha}y,x\rangle=\langle y,x\rangle$ である。$\square$

$K'=hKh^{-1}$ なら $h$ は $K$ の極を $K'$ の極に写し、$K'_{hx}=hK_xh^{-1}$ なので型は等しい。$C_m$（$m\ge2$）の単位元でない元が動かさない点は $\pm e_3$ だけなので、極は $\pm e_3$ の 2 点で、どちらの安定化群も $C_m$ であり、型は $(m,m)$ である。$(\star)$ の (i) の場合は $K$ のすべての元が 1 つの軸を共有するが、$\operatorname{Dih}_m$ は $R_{e_3,2\pi/m}$ と $R_{e_1,\pi}$、$T$ と $O$ は $R_{e_1,\pi}=\operatorname{diag}(1,-1,-1)$ と $R_{e_3,\pi}=\operatorname{diag}(-1,-1,1)$、$I$ は $A$ と $B$ を含むので、どれも $k=3$ である。$\operatorname{Dih}_m$ では $e_3$ の安定化群の位数が $m$ であるが、型 $(2,3,n)$ の安定化群の位数は $5$ 以下で、$N=2m\in\{12,24,60\}$ なら $m\ge6$ なので、型は $(2,2,m)$ である。$T,O,I$ の型が $(2,2,N/2)$ なら、位数 $N/2=6,12,30$ の安定化群をもつ極 $u$ がある。$V=V_T,V_O,V_I$ は $\mathbb{R}^3$ を張るので $\pm u$ でない点 $y\in V$ があり、ph-lem-axis の 3 により $y$ の $K_u$ による軌道は $V$ の中の $N/2$ 点からなるが、$N/2>|V|=4,6,12$ なので矛盾する。よって型はそれぞれ $(2,3,3)$、$(2,3,4)$、$(2,3,5)$ である。$\square$

(a) ph-prop-types により $I$ の極の軌道は、安定化群の位数が $r=2,3,5$ の $P_2,P_3,P_5$（大きさ $30,20,12$）である。$r_{-u}=r_u$ なので各 $P_r$ は $u\mapsto-u$ で閉じている。$S_{r,\alpha}:=\{R_{u,\alpha}\mid u\in P_r\}$ は、$P_r$ が 1 つの軌道なので 1 つの共役類に含まれる。$R_{-u,\alpha}=R_{u,-\alpha}$ に注意すると、単位元以外の $59$ 個の元は $S_{2,\pi}$（半回転 $15$ 個）、$S_{3,2\pi/3}$（位数 $3$ の元 $20$ 個）、$S_{5,2\pi/5}$（角 $\pm2\pi/5$ の $12$ 個）、$S_{5,4\pi/5}$（角 $\pm4\pi/5$ の $12$ 個）に分かれる。正規部分群 $N$ は共役類の合併なので、$|N|$ は $1$ に $15,20,12,12$ のいくつかを足した数で、その値は $1,13,16,21,25,28,33,36,40,45,48,60$ である。Lagrangeの定理 により $|N|$ は $60$ を割るので $|N|\in\{1,60\}$ で、$I$ は単純群である。

(b) 半回転 $\eta=R_{u,\pi}$ について $h\eta h^{-1}=R_{hu,\pi}$ なので、中心化群は $C(\eta)=\{h\in I\mid hu=\pm u\}$ である。$I$ は $15$ 本の軸 $\{\pm u\}$（$u\in P_2$）に推移的に作用するので $|C(\eta)|=60/15=4$ である。$hu=-u$ となる回転 $h$ は、ph-prf-classification の (iii) と同じく軸が $u$ に直交する半回転である。よって $C(\eta)=\{1,\eta,\eta',\eta''\}$ で、$\eta',\eta''$ は軸が $u$ に直交する半回転であり、単位元以外の元の位数がすべて $2$ なので $C(\eta)$ は Kleinの四元群 で可換である。$\eta',\eta''$ の軸を $u',u''$ とすると、$\eta''$ は $\eta'$ と可換なので $R_{\eta''u',\pi}=\eta'$、すなわち $\eta''u'=\pm u'$ であり、$\eta''\ne\eta'$ なので $u'\ne\pm u''$ で、ph-lem-axis の 1 から $\eta''u'=-u'$、すなわち $u'\perp u''$ である。$\eta'\in C(\eta)$ なら可換性から $C(\eta')\supset C(\eta)$ で、位数が等しいので $C(\eta')=C(\eta)$ である。したがって 15 個の半回転は組 $C(\eta)\setminus\{1\}$ の 5 組に分かれる。$hC(\eta)h^{-1}=C(h\eta h^{-1})$ なので $I$ は共役で 5 組を置換し、半回転は 1 つの共役類をなすので作用は推移的である。核は正規部分群で、組を動かす元があるので $I$ ではなく、(a) から $\{1\}$ である。よって $I$ は $S_5$ の位数 $60$ の部分群、すなわち指数 $2$ の部分群に同型に写り、交代群 の命題「対称群の指数 2 の部分群」により像は $A_5$ である。$\square$

$\alpha:=\cos\frac\theta2$、$\beta:=\sin\frac\theta2$ とすると $\bar q=\alpha-\beta u$ である。$u$ は $q$ と可換なので $C_q(u)=uq\bar q=u$ である。$v\perp u$ なら積の公式から $uv=u\times v$、$vu=-u\times v$、$(u\times v)u=(u\times v)\times u=v$ なので $$ qv\bar q=(\alpha v+\beta\,u\times v)(\alpha-\beta u)=(\alpha^2-\beta^2)v+2\alpha\beta\,u\times v=\cos\theta\,v+\sin\theta\,u\times v $$ である。よって $C_q$ は $R_{u,\theta}$ と基底の上で一致する。どの $q\in S^3$ もこの形に書ける（四元数 の定理「$x^2=-1$ の解と極表示」。$q=\pm1$ なら $u$ は任意）ので $C_q\in\mathrm{SO}(3)$ であり、$\overline{qr}=\bar r\bar q$ から $C_{qr}=C_qC_r$ である。ph-lem-axis の 1 によりどの回転も $R_{u,\theta}$ と書けるので $C$ は全射である。$C_q=1$ は $R_{u,\theta}=1$、すなわち $\sin\frac\theta2=0$、$q=\pm1$ と同値である。$C$ は連続で、$S^3$ はコンパクト、$\mathrm{SO}(3)$ は Hausdorff なので、$C$ が引き起こす全単射 $S^3/\{\pm1\}\to\mathrm{SO}(3)$ は同相写像である。$x\in S^3$ の半径 $1$ の開球 $U$ は $(-1)U\cap U=\emptyset$ をみたす（$y\in U\cap(-U)$ なら $2=\lvert 2x\rvert\le\lvert x-y\rvert+\lvert x+y\rvert<2$ となる）ので、$S^3\to S^3/\{\pm1\}$ は 2 重の被覆写像であり（被覆空間 の命題「自由で固有不連続な作用から得られる被覆」）、$C$ も 2 重の被覆写像である。$\square$

$u$ は ph-thm-classification の証明の (i) の極（$K=\{1\}$ なら任意）である。$q=\gamma+w$（$\gamma\in\mathbb{R}$、$w$ は純四元数）について、積の公式から $qu-uq=2\,w\times u$ なので、$C_q(u)=u$ は $w$ が $u$ に平行であること、すなわち $q\in S_u$ と同値である。$S_u$ は $\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$ と同型なので、その有限部分群 $H$ は ph-prf-axis の 2 と同じ議論で巡回群 $\langle\cos\frac{2\pi}n+u\sin\frac{2\pi}n\rangle$ である。$C_z(u)=e_3$ となる $z\in S^3$ をとれば $z(\cos t+u\sin t)z^{-1}=\cos t+k\sin t$ なので、$zHz^{-1}$ は主張の巡回群である。

左からの積は距離を保つ。$H=\{1\}$ なら主張は明らかなので $H\ne\{1\}$ とする。$x\in S^3$ について $\delta:=\min_{g\ne1}|gx-x|>0$ とし、$U$ を $x$ の半径 $\delta/2$ の近傍とする。$y\in U\cap gU$（$g\ne1$）があれば $y=gy'$（$y'\in U$）で $|gx-x|\le|gx-gy'|+|y-x|< \delta$ となり矛盾するので、$U\cap gU=\emptyset$ である。$S^3$ は単連結で局所弧状連結なので、Hat02 Proposition 1.40 により $S^3\to S^3/H$ は被覆写像で $\pi_1(S^3/H)\cong H$ である。$\square$