コンパクト空間

2 から 1。まず閉直方体 $Q=[-M,M]^n$ がコンパクトであることを示す。$\mathcal{U}$ を $Q$ を覆う $\mathbb{R}^n$ の開集合の族とし、$\mathcal{U}$ の有限個で $Q$ を覆えないと仮定する。$Q$ を各座標で二等分して $2^n$ 個の閉直方体に分けると、そのうち少なくとも一つは $\mathcal{U}$ の有限個で覆えない（すべて覆えるなら、それらを合わせて $Q$ が覆えてしまう）。その一つを $Q_1$ とし、同じ操作を繰り返して閉直方体の列 $Q\supset Q_1\supset Q_2\supset\cdots$ を得る。$Q_k$ の各辺の長さは $2M/2^{k}$ である。
各座標 $i$ について、$Q_k$ の第 $i$ 成分は閉区間 $[a^{(i)}_k,b^{(i)}_k]$ であり、$a^{(i)}_k$ は単調非減少で上に有界だから上限 $p_i:=\sup_k a^{(i)}_k$ が存在し、$b^{(i)}_k-a^{(i)}_k\to0$ より $p_i\in[a^{(i)}_k,b^{(i)}_k]$ がすべての $k$ で成り立つ。よって $p=(p_1,\dots,p_n)\in\bigcap_kQ_k$ である。$p\in Q$ だから、ある $U\in\mathcal{U}$ が $p$ を含み、ある $\varepsilon>0$ で $\{x\mid\|x-p\|<\varepsilon\}\subset U$ となる。$Q_k$ の直径は $\sqrt n\cdot 2M/2^{k}$ で $0$ に収束するので、十分大きい $k$ について $Q_k\subset U$ となり、$Q_k$ が $\mathcal{U}$ のただ一つの成員で覆える。これは $Q_k$ の取り方に反する。したがって $Q$ はコンパクトである。
$K$ が閉かつ有界なら、有界性からある $M$ で $K\subset Q=[-M,M]^n$ であり、$K$ は $Q$ の閉部分集合である（$K$ は $\mathbb{R}^n$ で閉だから $Q$ との共通部分も $Q$ で閉）。prop-compact-basic の 1 により $K$ はコンパクトである。
1 から 2。$\mathbb{R}^n$ は Hausdorff 空間だから、prop-compact-basic の 3 により、コンパクトな $K$ は閉集合である。有界性は、開球の族 $\{\{x\mid\|x\|< m\}\mid m\in\mathbb{Z}_{>0}\}$ が $\mathbb{R}^n$ を覆うことからわかる。これを $K$ の開被覆とみて有限個 $m_1,\dots,m_k$ を選べば、$M=\max_im_i$ について $K\subset\{x\mid\|x\|< M\}$ である。
有限次元性が要ること。下の rem-compact-infinite-dim-unit-ball と ex-compact-counterexamples の 2 を見よ。$\square$

1. $X$ をコンパクト、$F\subset X$ を閉集合とする。$F$ の相対位相についての開被覆 $\mathcal{V}$ をとり、$\mathcal{U}:=\{U\mid U\text{ は }X\text{ の開集合で }U\cap F\in\mathcal{V}\}$ とおく（族としてまとめて定義するので、成員ごとの選択は要らない）。相対位相の定義より $\mathcal{V}$ の各成員はある $U\in\mathcal{U}$ について $U\cap F$ の形だから、$\mathcal{U}$ は $F$ を覆う。$F$ が閉集合だから $\mathcal{U}\cup\{X\setminus F\}$ は $X$ の開被覆である。$X$ のコンパクト性から有限部分被覆をとり、そこから $X\setminus F$ を除いて残る $U_1,\dots,U_k$ を $F$ と交わらせると、$U_i\cap F\in\mathcal{V}$ が $F$ を覆う。
2. $f\colon X\to Y$ を連続、$X$ をコンパクトとする。$f(X)$ の相対位相についての開被覆 $\mathcal{V}$ をとり、$\mathcal{W}:=\{W\mid W\text{ は }Y\text{ の開集合で }W\cap f(X)\in\mathcal{V}\}$ とおく。1 と同じ理由で $\mathcal{W}$ は $f(X)$ を覆う。$f$ の連続性から $\{f^{-1}(W)\mid W\in\mathcal{W}\}$ は $X$ の開集合の族であり、$x\in X$ について $f(x)$ を含む $W\in\mathcal{W}$ をとれば $x\in f^{-1}(W)$ だから $X$ を覆う。有限個 $f^{-1}(W_1),\dots,f^{-1}(W_k)$ で $X$ を覆えば、$W_i\cap f(X)$ が $f(X)$ を覆う。
3. $X$ を Hausdorff、$K\subset X$ をコンパクトとする。$K=\emptyset$ なら閉集合である。$y\in X\setminus K$ を固定する。各 $x\in K$ に対し、Hausdorff 性から交わらない開集合 $U_x\ni x$ と $V_x\ni y$ をとる（各 $x$ について対を一つずつ選ぶので、$K$ が無限集合のときはここで選択公理を使う）。$\{U_x\cap K\mid x\in K\}$ は $K$ の開被覆だから、有限個の $x_1,\dots,x_k$ で $K\subset\bigcup_{i}U_{x_i}$ となる。$V:=\bigcap_iV_{x_i}$ は $y$ を含む開集合であり、各 $V_{x_i}$ が $U_{x_i}$ と交わらないので $V\cap\bigcup_iU_{x_i}=\emptyset$、したがって $V\cap K=\emptyset$ である。よって $X\setminus K$ は開集合である。$\square$

prop-compact-basic の 2 により像 $f(X)\subset\mathbb{R}$ はコンパクトであり、$X\neq\emptyset$ だから $f(X)\neq\emptyset$ である。$n=1$ の場合の thm-compact-heine-borel により $f(X)$ は $\mathbb{R}$ の閉集合であり有界である。有界かつ空でないので上限 $M=\sup f(X)$ と下限 $m=\inf f(X)$ が実数として存在する。上限の定義より、$M$ を含む任意の開区間は $f(X)$ と交わるので $M$ は $f(X)$ の閉包に属し、$f(X)$ が閉集合であることから $M\in f(X)$ である。$m$ についても同様である。$M=f(x_{\max})$、$m=f(x_{\min})$ となる点をとればよい。
空でないという仮定は省けない。$X=\emptyset$ のとき $f(X)=\emptyset$ には上限も下限も属さず、値をとる点も存在しない。$\square$

まず、$X$ が Hausdorff で $L\subset X$ がコンパクト、$y\notin L$ のとき、$y$ と $L$ を交わらない開集合で分離できることを見る。これは prf-compact-basic の 3 で作った $V=\bigcap_iV_{x_i}$ と $\bigcup_iU_{x_i}$ がそのまま与える。$L=\emptyset$ のときは $V=X$、$\bigcup_iU_{x_i}=\emptyset$ とすればよい。
$A,B$ を交わらない閉集合とする。$X$ はコンパクトだから prop-compact-basic の 1 により $A,B$ はともにコンパクトである。各 $a\in A$ について $a\notin B$ だから、前段により交わらない開集合 $P_a\ni a$ と $Q_a\supset B$ がとれる（各 $a$ について対を一つずつ選ぶので、$A$ が無限集合のときはここで選択公理を使う）。$\{P_a\cap A\mid a\in A\}$ は $A$ の開被覆であり、$A$ はコンパクトだから有限個の $a_1,\dots,a_m$ で $A\subset\bigcup_jP_{a_j}$ となる。$A=\emptyset$ のときは空族をとって $U=\emptyset$、$V=X$ とすればよい。
$U:=\bigcup_{j}P_{a_j}$、$V:=\bigcap_{j}Q_{a_j}$ とおく。$U$ は開集合の和で開、$V$ は有限個の開集合の共通部分で開である。$A\subset U$、$B\subset V$ であり、$P_{a_j}\cap Q_{a_j}=\emptyset$ より $U\cap V=\emptyset$ である。$\square$

補集合をとる対応で、開集合の族 $\mathcal{U}$ と閉集合の族 $\mathcal{A}=\{X\setminus U\mid U\in\mathcal{U}\}$ が一対一に対応し、
$$ \bigcup_{U\in\mathcal{U}}U=X\iff\bigcap_{A\in\mathcal{A}}A=\emptyset $$
が成り立つ。これは有限個の成員についても同じである。
$X$ がコンパクトとし、$\mathcal{A}$ を有限交叉性を持つ閉集合の族で $\bigcap\mathcal{A}=\emptyset$ となるものとする。対応する開集合の族 $\mathcal{U}$ は上の同値により $X$ の開被覆であり、コンパクト性から有限個 $U_1,\dots,U_k$ が $X$ を覆う。ふたたび上の同値により $\bigcap_i(X\setminus U_i)=\emptyset$ となるが、これは $\mathcal{A}$ の有限交叉性に反する。
逆に、閉集合の族について述べた条件が成り立つとし、$\mathcal{U}$ を $X$ の開被覆とする。$\mathcal{A}=\{X\setminus U\mid U\in\mathcal{U}\}$ は $\bigcap\mathcal{A}=\emptyset$ を満たすので、仮定の対偶により $\mathcal{A}$ は有限交叉性を持たない。すなわち有限個の $A_1,\dots,A_k\in\mathcal{A}$ で $\bigcap_iA_i=\emptyset$ となるものがあり、対応する $U_1,\dots,U_k$ が $X$ を覆う。ここでは選択公理を使わない。$\square$

フィルターと超フィルターの定義、および「超フィルター $\mathcal{U}$ は任意の $B\subset X$ について $B$ と $X\setminus B$ のちょうど一方を含む」ことは超フィルターが扱う。フィルター $\mathcal{F}$ が点 $x$ に収束するとは、$x$ のすべての近傍が $\mathcal{F}$ に属することをいう。
コンパクトならば収束する。$\mathcal{U}$ を超フィルターとし、どの点にも収束しないと仮定する。$\mathcal{O}:=\{O\subset X\mid O\text{ は開集合で }O\notin\mathcal{U}\}$ とおく。$x\in X$ をとると、仮定より $x$ の近傍 $N$ で $N\notin\mathcal{U}$ となるものがある。$x\in O\subset N$ なる開集合 $O$ をとれば、$O\in\mathcal{U}$ とすると上方包含で $N\in\mathcal{U}$ となってしまうので $O\in\mathcal{O}$ である。よって $\mathcal{O}$ は $X$ の開被覆であり、コンパクト性から有限個 $O_1,\dots,O_k\in\mathcal{O}$ が $X$ を覆う。二分法より各 $X\setminus O_i$ は $\mathcal{U}$ に属し、有限個の共通部分について閉じているので $\bigcap_i(X\setminus O_i)=X\setminus\bigcup_iO_i=\emptyset$ が $\mathcal{U}$ に属する。フィルターは空集合を含まないので矛盾する。
収束するならばコンパクト。有限部分被覆を持たない開被覆 $\{U_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$ があると仮定する。prf-compact-finite-intersection と同じ補集合の対応により、閉集合の族 $\mathcal{C}=\{X\setminus U_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$ はprop-compact-finite-intersection の意味の有限交叉性を持つ。$\mathcal{C}$ の有限個の共通部分を含む集合全体はフィルターをなす。これを超フィルター $\mathcal{U}$ に拡張する。仮定より $\mathcal{U}$ はある $x$ に収束する。$\{U_\lambda\}$ は被覆だから $x\in U_\mu$ となる $\mu$ があり、$U_\mu$ は $x$ の近傍だから $U_\mu\in\mathcal{U}$ である。一方 $X\setminus U_\mu\in\mathcal{C}\subset\mathcal{U}$ でもあり、共通部分 $\emptyset$ が $\mathcal{U}$ に属して矛盾する。
選択公理の使用箇所。前半は、点ごとに開集合を選ばず族 $\mathcal{O}$ をまとめて定義したので、選択公理を使わない。後半でフィルターを超フィルターへ拡張する一手（超フィルター補題）だけが選択公理に依存する。この補題は Zorn の補題から従い、ZF 上では選択公理より真に弱いことが知られている（超フィルター）。$\square$