スペクトラムの∞圏

$K\to0$、$K\to0$ の押し出しが $\Sigma K$ であるから、次の正方形は押し出しである。
$$ \begin{array}{ccc} K&\longrightarrow&0\\ \downarrow&&\downarrow\\ 0&\longrightarrow&\Sigma K \end{array} $$
$F$ はこれを引き戻しに写し、$F(0)$ は終対象なので $F(K)\simeq\ast\times_{F(\Sigma K)}\ast=\Omega F(\Sigma K)$ である。この正方形は $K$ について関手的にとれるので、同値も自然である。$\square$

極限は極限と可換なので、切除的な関手の各点の有限極限は切除的で、被約性も保たれる。よって $\operatorname{Exc}_*(\mathcal A,\mathcal E)$ は $\operatorname{Fun}(\mathcal A,\mathcal E)$ の有限極限で閉じている（Lur17 Remark 1.4.2.3、p. 141）。これが点付きであることは同 Lemma 1.4.2.10（p. 142）による。とくに $\Omega F$ は各点で $K\mapsto\Omega(F(K))$ である。
$\Sigma_{\mathcal A}$ は押し出しと零対象を保つので、$SF:=F\circ\Sigma_{\mathcal A}$ は $\operatorname{Exc}_*(\mathcal A,\mathcal E)$ の自己関手である。prop-specinf-loops の自然な同値は、$F\simeq\Omega\circ F\circ\Sigma_{\mathcal A}$ と読める。右辺は $\Omega(SF)$ とも $S(\Omega F)$ とも書けるので、$\Omega S\simeq\mathrm{id}\simeq S\Omega$ である。$\square$

同値なら thm-specinf-stable により $\mathcal D$ は安定である。逆に $\mathcal D$ が安定とする。$f\colon\mathcal S^{\mathrm{fin}}\to\mathcal S^{\mathrm{fin}}_*$ を忘却関手の左随伴（互いに素な基点の添加）とする。$f$ との合成は、$\operatorname{Exc}_*(\mathcal S^{\mathrm{fin}}_*,\mathcal D)$ から、切除的で始対象を終対象に写す関手 $\mathcal S^{\mathrm{fin}}\to\mathcal D$ の∞圏への同値である（Lur17 Lemma 1.4.2.19、p. 146）。$\mathcal D$ は安定なので押し出し正方形と引き戻し正方形は一致し、零対象は始対象かつ終対象である。よってこれらの関手は右完全な関手にほかならない。$\mathcal S^{\mathrm{fin}}$ は $\ast$ から有限余極限で自由に生成されるので、$\ast$ での値をとることは右完全な関手の∞圏から $\mathcal D$ への同値である（同 Remark 1.4.2.6、p. 141）。$f(\ast)=S^0$ なので、2 つの同値の合成が $\Omega^\infty$ である（同 Proposition 1.4.2.21、pp. 146–147。同書では塔の記述の証明がこの命題を使うので、ここでは thm-specinf-tower に頼らない）。$\square$

$\mathcal E:=\operatorname{Fun}^{\mathrm{lex}}(\mathcal D,\mathcal C)$ とおく。$\mathcal D$ は安定なので、押し出し正方形と引き戻し正方形は一致し、左完全であることは被約かつ切除的であることと同値である（Lur17 Remark 1.4.2.2、p. 141）。したがって $\mathcal E=\operatorname{Exc}_*(\mathcal D,\mathcal C)$ で、prop-specinf-omega により $\mathcal E$ は有限極限をもち、それは各点で計算される。さらに thm-specinf-stable と同じ根拠（Lur17 Proposition 1.4.2.16）により $\mathcal E$ は安定である。
関手 $\mathcal D\to\mathrm{Sp}(\mathcal C)$ は、指数法則により $G\colon\mathcal D\times\mathcal S^{\mathrm{fin}}_*\to\mathcal C$ で、各 $d$ について $G(d,-)$ が被約かつ切除的なものと同じである。$\mathrm{Sp}(\mathcal C)$ の有限極限は各点で計算されるので、この関手が左完全であることは、各 $K$ について $G(-,K)$ が左完全であることと同値である。$\mathcal E$ の有限極限も各点で計算されるので、以上の条件は「$K\mapsto G(-,K)$ が $\mathcal S^{\mathrm{fin}}_*$ から $\mathcal E$ への被約かつ切除的な関手である」ことと同値である。よって
$$ \operatorname{Fun}^{\mathrm{lex}}(\mathcal D,\mathrm{Sp}(\mathcal C))\simeq\mathrm{Sp}(\mathcal E) $$
である。この同一視の下で、$\Omega^\infty$ との合成（$K=S^0$ を代入すること）は $\Omega^\infty\colon\mathrm{Sp}(\mathcal E)\to\mathcal E$ に一致し、$\mathcal E$ が安定なので prop-specinf-fixed により同値である。$\square$

同値なら $\pi_k(f)$ が同型であることは明らかである。逆を示す。$Z:=\operatorname{fib}(f)$ とする。prop-specinf-omega により $\mathrm{Sp}$ の有限極限は各点で計算されるので、各 $n$ で $Z_n\to X_n\to Y_n$ は点付き空間のファイバー列である。その長完全列から、ホモトピー群の長完全列
$$ \cdots\to\pi_{k+1}(Y)\to\pi_k(Z)\to\pi_k(X)\to\pi_k(Y)\to\cdots $$
が得られ、仮定により $\pi_k(Z)=0$（すべての $k$）である。
$m\ge0$ について $\pi_m(Z_n)$ は $\pi_{m-n}(Z)$ と一対一に対応する（スペクトル(ホモトピー論) の命題「Ω スペクトルのホモトピー群」）。よって $\pi_0(Z_n)$ は 1 点で、$Z_n$ の基点でのホモトピー群はすべて消える。Whiteheadの定理 により $Z_n$ は可縮である。thm-specinf-tower により、すべての段が零対象である $Z$ は零対象である。$\mathrm{Sp}$ は安定なので、ファイバーが零の射 $f$ は同値である（安定∞圏 の命題「ファイバーと余ファイバーの交換」により $Y\simeq\operatorname{cofib}(Z\to X)\simeq X$）。$\square$

$X,T\in\mathcal C_*$ とする。$\operatorname{Map}_{\mathcal C_*}(T,X)$ は $\operatorname{Map}_{\mathcal C}(T,X)\to\operatorname{Map}_{\mathcal C}(\ast,X)$ のファイバーなので $n$ 切り詰めである。普遍性により $\operatorname{Map}_{\mathcal C_*}(T,\Omega^{n+1}X)\simeq\Omega^{n+1}\operatorname{Map}_{\mathcal C_*}(T,X)$ で、$n$ 切り詰めの空間の $(n+1)$ 重ループ空間は可縮である。よって $\Omega^{n+1}X$ は $\mathcal C_*$ の終対象である。thm-specinf-tower の列 $(X_k)$ について $X_k\simeq\Omega^{n+1}X_{k+n+1}$ なので、すべての段が零対象であり、$X$ は零対象である。$\square$