Galois圏

有限な $G$-集合の有限極限と有限余極限は、台集合で同じ構成を行い、成分ごとに $G$ の作用を入れることで作れる。従って $U$ はそれらを保つ。$U(f)$ が全単射ならば集合としての逆写像も $G$-同変であるから、$U$ は同型を反映する。また、任意の有限 $G$-集合は軌道の有限余積に分解する。一つの軌道は、非空な真の $G$-不変部分集合をもたないので連結対象である。よってGalois圏の公理がすべて成り立つ。
各 $g\in G$ は、すべての $G$-集合 $X$ 上の写像 $x\mapsto gx$ により $U$ の自然自己同型を定める。これにより準同型 $G\to\operatorname{Aut}(U)$ を得る。逆に $\tau\in\operatorname{Aut}(U)$ をとり、左正則作用をもつ $G$ 自身における $\tau_G(e)$ を $a$ とおく。右乗法 $R_h\colon G\to G$ は $G$-同変なので、自然性から
$$ \tau_G(h)=\tau_G(R_h(e))=R_h(\tau_G(e))=ah $$
である。任意の $G$-集合 $X$ と $x\in X$ に対し、$\varphi_x\colon G\to X$, $h\mapsto hx$ は $G$-同変である。再び自然性を用いると
$$ \tau_X(x)=\varphi_x(\tau_G(e))=ax $$
となる。従って $\tau$ は $a$ の作用だけで定まり、$G\to\operatorname{Aut}(U)$ は全単射である。$\square$

$s\in S$ に対して $G\cdot s=\{gs\mid g\in G\}$ を $s$ の軌道とする。「同じ軌道に属する」は $S$ 上の同値関係であり、各同値類は $G$-不変で作用が推移的な部分集合である。$S$ は有限なので軌道の個数も有限であり、
$$ S=\coprod_{[s]\in S/G}G\cdot s $$
と書ける。任意の $G$-不変部分集合は軌道の合併なので、この分解は順序を除いて一意的である。作用の連続性は各不変部分集合へ制限しても保たれる。$\square$

$s\in S$ を一つ取り、安定化群を $H=G_s$ とおく。軌道写像 $G\to S$, $g\mapsto gs$ は連続であり、$S$ は離散位相をもつから、$H$ は単点 $\{s\}$ の逆像として開である。推移性により
$$ G/H\longrightarrow S,\qquad gH\longmapsto gs $$
は全射であり、安定化群の定義から単射でもある。従って $G$-集合の同型である。
逆に $H$ が開なら、$G/H$ は離散位相をもち、商写像 $G\to G/H$ は連続である。$G$ はコンパクトだから離散商 $G/H$ は有限であり、左作用は推移的である。
$G$-同型 $G/H\to G/K$ が $eH$ を $gK$ へ送るなら、両点の安定化群が等しいので $H=gKg^{-1}$ である。逆に $H=gKg^{-1}$ なら、$aH\mapsto agK$ が $G/H\to G/K$ の $G$-同型を与える。$\square$

積
$$ P=\prod_{X\in\operatorname{Ob}(\mathcal C)}\operatorname{Aut}(F(X)) $$
は有限離散群の積なので副有限群である。$\operatorname{Aut}(F)$ の像が $P$ で閉じていることを示す。族 $(\alpha_X)_X\in P$ が自然変換でないなら、ある射 $f\colon X\to Y$ と $x\in F(X)$ があって
$$ F(f)(\alpha_X(x))\neq\alpha_Y(F(f)(x)) $$
である。$X,Y$ 成分で $\alpha_X(x)$ と $\alpha_Y(F(f)(x))$ の値を固定する $P$ の開近傍を取ると、その近傍のどの元も同じ自然性の等式を破る。従って非自然な族の集合は開であり、$\operatorname{Aut}(F)$ は $P$ の閉部分群である。副有限群の閉部分群は副有限群なので結論を得る。$\square$