滑らかな射

def-smooth-morphism-jacobi により、$x$ のアフィン開近傍 $\operatorname{Spec}B$ と $f(x)$ のアフィン開近傍 $\operatorname{Spec}A$ で、$B=P/I$、$P:=A[x_1,\dots,x_N]$、$I:=(f_1,\dots,f_c)$、$N:=n+c$ という標準滑らかな表示をもつものがとれる（相対次元の一致は thm-smooth-morphism-equivalence による）。$\Omega^1_{X/S}|_{\operatorname{Spec}B}$ は $\Omega_{B/A}$ に付随する準連接層だから、$\Omega_{B/A}$ が $dx_{c+1},\dots,dx_N$ を基底とする自由加群であることを示せばよい。
Kähler 微分の余法完全列（Kähler微分の記事の基本完全列。Har77 II.8.4A、Mat89 定理 25.2）により、$B$ 加群の完全列
$$ I/I^2\xrightarrow{\ \delta\ }\Omega_{P/A}\otimes_PB\longrightarrow\Omega_{B/A}\longrightarrow0,\qquad\delta(\bar g)=dg\otimes1 $$
がある。$\Omega_{P/A}$ は $dx_1,\dots,dx_N$ を基底とする自由 $P$ 加群だから（Mat89 §26）、$\Omega_{P/A}\otimes_PB$ は $dx_1,\dots,dx_N$ を基底とする自由 $B$ 加群 $B^{\oplus N}$ である。$I/I^2$ は $B$ 加群として $\bar f_1,\dots,\bar f_c$ で生成されるので、$\delta$ の像は
$$ \omega_i:=df_i\otimes1=\sum_{j=1}^N\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\,dx_j\qquad(1\le i\le c) $$
が生成する部分加群である。ここで $B^{\oplus N}$ の元の組 $(\omega_1,\dots,\omega_c,dx_{c+1},\dots,dx_N)$ を考える。基底 $(dx_1,\dots,dx_N)$ に関するその係数行列は、$c\times c$ の左上ブロックが $J:=(\partial f_i/\partial x_j)_{1\le i,j\le c}$、右下ブロックが単位行列、左下ブロックが零行列のブロック三角行列であり、その行列式は $\det J=\Delta$ で $B$ の単元である。したがってこの係数行列は $B$ 上の可逆行列であり、$(\omega_1,\dots,\omega_c,dx_{c+1},\dots,dx_N)$ は $B^{\oplus N}$ の基底である（自由加群の基底の変換行列が可逆なら像も基底である）。ゆえに
$$ \Omega_{B/A}\cong B^{\oplus N}\Big/\bigl(B\omega_1+\dots+B\omega_c\bigr)\cong\bigoplus_{j=c+1}^NB\,dx_j $$
は $dx_{c+1},\dots,dx_N$ を基底とする階数 $N-c=n$ の自由 $B$ 加群である。

$P:=k[x_1,\dots,x_N]$、$I:=(f_1,\dots,f_c)$、$B=P/I$ とおく。$k$ が代数閉体だから、Hilbert の零点定理により $\operatorname{Spec}B$ の閉点は $k$ 有理点 $a=(a_1,\dots,a_N)\in k^N$（$f_i(a)=0$）と対応し、対応する極大イデアルは $\mathfrak{m}_a:=(x_1-a_1,\dots,x_N-a_N)/I$ である。
まず閉点 $a$ での局所環 $B_{\mathfrak{m}_a}$ が正則であることを示す。$\mathfrak{n}:=(x_1-a_1,\dots,x_N-a_N)\subset P$ とおく。$\mathfrak{n}/\mathfrak{n}^2$ は $k$ 上 $x_1-a_1,\dots,x_N-a_N$ の類を基底とする $N$ 次元ベクトル空間で、$g\in\mathfrak{n}$ の類は $a$ での Taylor展開の 1 次の部分 $\sum_j\frac{\partial g}{\partial x_j}(a)\,(x_j-a_j)$ である。$B_{\mathfrak{m}_a}$ の極大イデアルを $\mathfrak{m}$ と書くと $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2\cong\mathfrak{n}/(\mathfrak{n}^2+I)$ であり、$I\subset\mathfrak{n}$ の $\mathfrak{n}/\mathfrak{n}^2$ での像は、$gf_i\equiv g(a)f_i\pmod{\mathfrak{n}^2}$（$g\in P$）に注意すると、$f_1,\dots,f_c$ の 1 次の部分 $\ell_i:=\sum_j\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a)\,(x_j-a_j)$ が張る部分空間である。よって
$$ \dim_k\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2=N-\operatorname{rank}\Bigl(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a)\Bigr)_{1\le i\le c,\ 1\le j\le N}. $$
$\Delta$ が $B$ の単元だから $\Delta(a)\ne0$ であり、この $c\times N$ 行列は $c\times c$ の非零小行列式をもつので階数はちょうど $c$ である。ゆえに $\dim_k\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2=N-c$。
一方、$\operatorname{Spec}B=V(f_1,\dots,f_c)\subset\mathbb{A}^N_k$ の各既約成分は、Krullの単項イデアル定理（Mat89 定理 13.5、Har77 I.1.11A）により次元 $N-c$ 以上である。$a$ を含む既約成分 $Z$ をとると、$k$ 上有限型のスキームでは閉点での局所環の次元はその点を含む既約成分の次元の最大値に等しいので（Har77 II 演習 3.20）、$\dim B_{\mathfrak{m}_a}\ge\dim Z\ge N-c$。他方、任意の Noether 局所環（Noether環である局所環）で $\dim\le\dim_k\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ が成り立つ（Mat89 §13・§14）。合わせて $\dim B_{\mathfrak{m}_a}=N-c=\dim_k\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ となり、$B_{\mathfrak{m}_a}$ は正則局所環である。同時に、$a$ を含む既約成分の次元はすべて $N-c$ 以下かつ以上、すなわち $N-c$ に等しい。既約成分はどれも閉点を含むので、$\operatorname{Spec}B$ のすべての既約成分の次元は $N-c$ である。
閉点でない点 $\mathfrak{p}$ での局所環 $B_{\mathfrak{p}}$ は、$\mathfrak{p}$ を含むある極大イデアル $\mathfrak{m}_a$ について正則局所環 $B_{\mathfrak{m}_a}$ の局所化であり、正則局所環の素イデアルでの局所化は正則である（Serre の定理、Mat89 定理 19.3）。よって $\operatorname{Spec}B$ は正則スキームである。
最後に、$A$ 代数 $B=A[x_1,\dots,x_N]/(f_1,\dots,f_c)$ が標準滑らかなら、$S=\operatorname{Spec}A$ の点 $s$ 上の幾何学的ファイバーは $B\otimes_A\bar\kappa(s)=\bar\kappa(s)[x_1,\dots,x_N]/(\bar f_1,\dots,\bar f_c)$ のスペクトルで、$\Delta$ の像はその単元だから、これは $\bar\kappa(s)$ 上標準滑らかである。上の議論を $k=\bar\kappa(s)$ に適用すればよい。

1. $x'\in X'$ をとり、その $X$ での像を $x$、$S'$ での像を $s'$ とする。def-smooth-morphism-jacobi により、$x$ のアフィン開近傍 $\operatorname{Spec}B$ と $f(x)$ のアフィン開近傍 $\operatorname{Spec}A$ で、$B=A[x_1,\dots,x_N]/(f_1,\dots,f_c)$ が標準滑らか（Jacobi 行列式 $\Delta$ が単元、$N-c=n$）なものがとれる。$s'$ のアフィン開近傍 $\operatorname{Spec}A'$ を $\operatorname{Spec}A$ の逆像の中にとると、ファイバー積の構成により $\operatorname{Spec}B\times_{\operatorname{Spec}A}\operatorname{Spec}A'=\operatorname{Spec}(B\otimes_AA')$ は $x'$ のアフィン開近傍であり、
   $$ B\otimes_AA'\cong A'[x_1,\dots,x_N]/(f_1,\dots,f_c) $$
   である（多項式環と剰余環はテンソル積と交換する）。$f_i$ の $A'$ 係数での偏導関数は $A$ 係数での偏導関数の像だから、Jacobi 行列式は $\Delta$ の像であり、単元の像は単元である。よって $B\otimes_AA'$ は $A'$ 上相対次元 $n$ の標準滑らかな代数であり、$f'$ は $x'$ で相対次元 $n$ で滑らかである。
2. $x\in X$ をとり、$y:=f(x)$、$z:=g(y)$ とおく。$z$ のアフィン開近傍 $\operatorname{Spec}C$ と、$g^{-1}(\operatorname{Spec}C)$ に含まれる $y$ のアフィン開近傍 $\operatorname{Spec}B$ をとると、rem-smooth-morphism-local により $B$ を基本開集合に取り替えて $B=C[x_1,\dots,x_N]/(f_1,\dots,f_c)$ が標準滑らか（Jacobi 行列式 $\Delta_f$、$N-c=m$）としてよい。次に $f^{-1}(\operatorname{Spec}B)$ に含まれる $x$ のアフィン開近傍 $\operatorname{Spec}A$ をとり、同様に $A=B[y_1,\dots,y_M]/(g_1,\dots,g_d)$ が標準滑らか（Jacobi 行列式 $\Delta_g$、$M-d=n$）としてよい。$g_j\in B[y]$ の係数を $C[x]$ に持ち上げた多項式を $\tilde g_j\in C[x_1,\dots,x_N,y_1,\dots,y_M]$ とすると、
   $$ A\cong C[x_1,\dots,x_N,y_1,\dots,y_M]/(f_1,\dots,f_c,\tilde g_1,\dots,\tilde g_d) $$
   である。変数を $x_1,\dots,x_c,y_1,\dots,y_d,x_{c+1},\dots,x_N,y_{d+1},\dots,y_M$ の順に並べ、方程式を $f_1,\dots,f_c,\tilde g_1,\dots,\tilde g_d$ の順に並べると、最初の $c+d$ 変数に関する Jacobi 行列は、左上に $(\partial f_i/\partial x_j)_{i,j\le c}$、右下に $(\partial\tilde g_i/\partial y_j)_{i,j\le d}$、右上に零行列（$f_i$ は $y$ を含まない）をもつブロック三角行列である。その行列式は $\det(\partial f_i/\partial x_j)\cdot\det(\partial\tilde g_i/\partial y_j)$ であり、$A$ における像は $\Delta_f$ の像と $\Delta_g$ の積である。$\Delta_f$ は $B$ の単元だから $A$ でも単元であり、$\partial\tilde g_i/\partial y_j$ の $A$ での像は $\partial g_i/\partial y_j$ の像に等しいので後者の因子は $\Delta_g$ で、これも単元である。よって $A$ は $C$ 上標準滑らかで、その相対次元は $(N+M)-(c+d)=m+n$ である。
3. $X\times_SY\to Y$ は $X\to S$ の底変換だから 1 により滑らかであり、$Y\to S$ との合成が $X\times_SY\to S$ だから 2 により滑らかである。

def-smooth-morphism-jacobi により、$x$ のアフィン開近傍 $\operatorname{Spec}B$ と $f(x)$ のアフィン開近傍 $\operatorname{Spec}A$ で $B=A[x_1,\dots,x_{n+c}]/(f_1,\dots,f_c)$ が標準滑らかなものがとれる。$A':=A[x_{c+1},\dots,x_{n+c}]$ とおくと $\operatorname{Spec}A'=\mathbb{A}^n_{\operatorname{Spec}A}$ であり、
$$ B=A'[x_1,\dots,x_c]/(f_1,\dots,f_c) $$
は $A'$ 代数として、最初の $c$ 変数に関する Jacobi 行列式が同じ $\Delta$ である標準滑らかな表示をもつ。その相対次元は $c-c=0$ だから、prop-smooth-morphism-etale により $\pi\colon\operatorname{Spec}B\to\operatorname{Spec}A'=\mathbb{A}^n_{\operatorname{Spec}A}\subset\mathbb{A}^n_S$ はエタール射である。$U:=\operatorname{Spec}B$ とすればよい。