レトラクト

$r\colon X\to A$ をレトラクションとする。まず
$$ A=\{x\in X\mid r(x)=x\} $$
である。実際、$a\in A$ なら $r(a)=a$ であり、逆に $r(x)=x$ なら $x=r(x)\in A$ である。次に、$x\in X\setminus A$ をとる。$r(x)\neq x$ であり、$X$ は Hausdorff なので、$x\in U$、$r(x)\in V$、$U\cap V=\emptyset$ を満たす開集合 $U,V$ がある。$W:=U\cap r^{-1}(V)$ は $r$ の連続性により $x$ の開近傍である。$y\in W$ とすると $y\in U$、$r(y)\in V$ であり、$U\cap V=\emptyset$ なので $r(y)\neq y$、すなわち $y\notin A$ である。よって $W\subset X\setminus A$ となり、$X\setminus A$ は開集合、$A$ は閉集合である。$\square$

(1)$\Rightarrow$(2)：レトラクション $r$ に対し $e:=i\circ r$ とおく。$e$ は連続で $e(X)=r(X)=A$（$r$ は $A$ 上で恒等なので全射）であり、$e\circ e=i\circ(r\circ i)\circ r=i\circ r=e$ である。
(2)$\Rightarrow$(1)：$e$ の終域を $A=e(X)$ に制限した写像 $r\colon X\to A$ は、部分空間の位相の定義により連続である。$a\in A$ に対し $a=e(x)$ となる $x$ をとると $r(a)=e(e(x))=e(x)=a$ である。よって $r$ はレトラクションである。
最後の主張：$r_1\colon X\to B$、$r_2\colon B\to A$ をレトラクションとすると、$r_2\circ r_1\colon X\to A$ は連続であり、$a\in A\subset B$ に対し $r_2(r_1(a))=r_2(a)=a$ である。$\square$

レトラクション $r\colon X\to A$ は全射であり、$A=r(X)$ は $X$ の連続像である。連結性・弧状連結性・コンパクト性・Lindelöf 性はいずれも連続写像による像へ遺伝する（Mun00 §23・§24・§26、Lindelöf 性については開被覆の引き戻しにより同様）ので、$A$ もその性質をもつ。$\square$

$r\colon X\to A$ をレトラクション、$f\colon A\to A$ を連続写像とする。合成 $i\circ f\circ r\colon X\to X$ は連続なので不動点 $x\in X$ をもつ：$f(r(x))=x$。左辺は $A$ の元なので $x\in A$ であり、したがって $r(x)=x$、よって $f(x)=x$ である。すなわち $x$ は $f$ の不動点である。$\square$

関手性から
$$ F(r)\circ F(i)=F(r\circ i)=F(\operatorname{id}_A)=\operatorname{id}_{F(A)} $$
である。ゆえに $F(i)(x)=F(i)(y)$ ならば両辺に $F(r)$ を当てて $x=y$ となり、$F(i)$ は単射である。基点付きの場合は $r(a)=a$ なので $r$ は基点を保ち、ホモトピー圏の場合も $r\circ i=\operatorname{id}_A$ は等号で成り立つので同じ議論が通る。
$F$ がアーベル群に値をとるとき、$G:=F(X)$、$p:=F(r)\colon G\to F(A)$、$j:=F(i)\colon F(A)\to G$ とおく。任意の $g\in G$ は
$$ g=j(p(g))+\bigl(g-j(p(g))\bigr) $$
と書け、$p(g-j(p(g)))=p(g)-p(g)=0$ なので第 2 項は $\ker p$ に属する。また $j(F(A))\cap\ker p=0$ である（$j(x)\in\ker p$ なら $x=p(j(x))=0$）。よって $G=j(F(A))\oplus\ker p$ であり、$j$ が単射なので $j(F(A))\cong F(A)$ である。
最後の主張は、$F=\pi_n(-,a)$（$n\ge1$、基点付き空間の圏上の関手、ホモトピー群）および $F=H_n$（特異ホモロジー、Hat02 §2.1）にこの結果を当てはめたものである。$\square$

$n=1$ の場合：$D^1=[-1,1]$ は連結であり、$S^0=\{-1,1\}$ は 2 点離散空間で連結でない。prop-retract-inherited により $D^1$ のレトラクトは連結なので、$S^0$ はレトラクトでない。
$n\ge2$ の場合：レトラクション $r\colon D^n\to S^{n-1}$ が存在したとして矛盾を導く。基点 $a\in S^{n-1}$ をとり、prop-retract-splitting を $F=\pi_{n-1}(-,a)$ に当てはめると、$i_*\colon\pi_{n-1}(S^{n-1},a)\to\pi_{n-1}(D^n,a)$ は単射である。ところが $\pi_{n-1}(S^{n-1},a)\cong\mathbb{Z}$ であり（ホモトピー群の記事の「球面自身」、Hat02 Corollary 4.25）、$D^n$ は可縮なので $\pi_{n-1}(D^n,a)=0$ である（可縮空間の記事の「一点の不変量」）。無限群 $\mathbb{Z}$ から自明群への単射は存在しないので矛盾である。$\square$

(1)$\Rightarrow$(2)：$S^{n-1}$ は不動点性質をもたない。実際、対蹠写像 $x\mapsto-x$ は $S^{n-1}$ の連続写像で不動点をもたない（$-x=x$ なら $x=0\notin S^{n-1}$）。$S^{n-1}$ が $D^n$ のレトラクトなら prop-retract-fixed-point により不動点性質が遺伝して矛盾する。
(2)$\Rightarrow$(1)：連続写像 $f\colon D^n\to D^n$ が不動点をもたないとして、レトラクション $r\colon D^n\to S^{n-1}$ を構成する。$x\in D^n$ に対し $u(x):=x-f(x)\neq0$ とおき、
$$ t(x):=\frac{-\langle x,u(x)\rangle+\sqrt{\langle x,u(x)\rangle^2+(1-\|x\|^2)\,\|u(x)\|^2}}{\|u(x)\|^2},\qquad r(x):=x+t(x)\,u(x) $$
と定める（$\langle\cdot,\cdot\rangle$ は $\mathbb{R}^n$ の標準内積）。$\|x\|\le1$ なので平方根の中は非負であり、$\|u(x)\|>0$ なので $t$ は $D^n$ 上で連続、したがって $r$ も連続である。$t(x)$ は $\tau$ についての 2 次方程式
$$ \|x+\tau u(x)\|^2=1\iff\|u(x)\|^2\tau^2+2\langle x,u(x)\rangle\tau+(\|x\|^2-1)=0 $$
の解（判別式の平方根に $+$ を付けた方）なので $\|r(x)\|=1$、すなわち $r(x)\in S^{n-1}$ である。幾何的には、$r(x)$ は $f(x)$ から $x$ へ向かう半直線が球面と交わる点である。最後に $x\in S^{n-1}$ のとき、$\|x\|=1$ なので
$$ \langle x,u(x)\rangle=1-\langle x,f(x)\rangle\ge1-\|x\|\,\|f(x)\|\ge0 $$
であり（Cauchy–Schwarzの不等式と $\|f(x)\|\le1$）、$t(x)=\bigl(-\langle x,u(x)\rangle+|\langle x,u(x)\rangle|\bigr)/\|u(x)\|^2=0$、よって $r(x)=x$ である。すなわち $r$ はレトラクションであり、(2) に反する。$\square$