ファイバーに沿った積分

持ち上げによらないこと．$\tilde v_1$ を別の持ち上げ $\tilde v_1+u$ に替えると、$d\pi(u)=0$ なので $u\in T_yE_x$ である。差は $\omega(u,\tilde v_2,\dots,\tilde v_p,w_1,\dots,w_k)$（$w_j\in T_yE_x$）で、$u,w_1,\dots,w_k$ は $k$ 次元空間 $T_yE_x$ の $k+1$ 個のベクトルなので 1 次従属であり、交代性からこの値は $0$ である。ほかの $\tilde v_i$ も同じである。被積分形式の台は $\operatorname{supp}\omega\cap E_x$（コンパクト）に含まれるので積分は有限である。
局所表示．座標 $(x,t)$ の上では、$E$ の座標ベクトル場 $\partial/\partial x_i$ は $M$ の座標ベクトル場 $\partial/\partial x_i$ の持ち上げである（$\pi(x,t)=x$ だから）。$dx_I$ は $T_yE_x$ 上で $0$ なので、$dt_j$ が $k$ 個未満の項 $g\,dx_J\wedge dt_L$（$|J|>p$）に $p$ 個の持ち上げと $k$ 個の垂直ベクトルを入れると $0$ になる。$f_I\,dx_I\wedge dt_1\wedge\cdots\wedge dt_k$ に $(\partial_{x_{i_1}},\dots,\partial_{x_{i_p}})$（$I=(i_1<\cdots< i_p)$）を入れると $f_I\,dt_1\wedge\cdots\wedge dt_k|_{E_x}$ が残り、他の $I'\ne I$ の項は $0$ になる。$dt_1\wedge\cdots\wedge dt_k$ はファイバーの上で正なので、その積分は $\int f_I(x,t)\,dt$ であり、局所表示が従う。$f_I$ は $t$ について台が一様に有界なので、積分記号下の微分により係数は $x$ の $C^\infty$ 級関数である。
滑らかさ．$x_0\in M$ のコンパクト近傍 $K$ をとる。$C:=\operatorname{supp}\omega\cap\pi^{-1}(K)$ はコンパクトなので、向きに合う束座標の定義域 $B_1,\dots,B_N$ で覆え、$B_i$ にコンパクトな台をもち $C$ の近傍で $\sum_i\chi_i=1$ となる関数 $\chi_i$ がある（1の分割）。$\pi^{-1}(\operatorname{int}K)$ の上で $\omega=\sum_i\chi_i\omega$ であり、定義は $\omega$ について線形なので、$\operatorname{int}K$ の上で $\pi_*\omega=\sum_i\pi_*(\chi_i\omega)$ は局所表示により $C^\infty$ 級である。$\square$

1・2・3 はどれも、prop-fa-welldefined の証明の分割 $\omega=\sum_i\chi_i\omega$ により、$\omega$ の台が 1 つの向きに合う束座標の定義域 $B$ に入り、その中でコンパクトである場合に帰着する（両辺は $\omega$ について線形で、局所的な等式である。$d(\chi_i\omega)$ も $B_i$ にコンパクト台をもつ）。以下この場合を考え、$dt:=dt_1\wedge\cdots\wedge dt_k$ と書く。
1．$\omega$ の項を $dt_j$ の個数で分ける。(a) $f\,dx_I\wedge dt$ では、$d(f\,dx_I\wedge dt)=\sum_j\frac{\partial f}{\partial x_j}dx_j\wedge dx_I\wedge dt$（$t$ による微分の項は $dt_j$ が重なって $0$）なので、$\pi_*$ は $\sum_j\bigl(\int\frac{\partial f}{\partial x_j}dt\bigr)dx_j\wedge dx_I=d\bigl(\int f\,dt\;dx_I\bigr)$ である（積分記号下の微分）。(b) $dt_j$ がちょうど $k-1$ 個の項 $c\,dx_J\wedge dt_1\wedge\cdots\widehat{dt_i}\cdots\wedge dt_k$ では、$\pi_*$ は $0$ であり、$d$ をとって $dt$ がそろう項は $\pm\frac{\partial c}{\partial t_i}dx_J\wedge dt$ だけである。$c$ は $t$ についてコンパクト台なので $\int_{\mathbb R}\frac{\partial c}{\partial t_i}dt_i=0$ で、この項の $\pi_*$ も $0$ である。(c) $dt_j$ が $k-2$ 個以下の項は、$d$ をとっても $dt_j$ が $k$ 個にならないので両辺とも $0$ である。
2．$\tau=\sum_J\tau_J(x)\,dx_J$ なら $\pi^*\tau\wedge f\,dx_I\wedge dt=\sum_J\tau_Jf\,dx_J\wedge dx_I\wedge dt$ で、$\tau_J$ は $t$ によらないので積分の外に出て $\sum_J\tau_J\bigl(\int f\,dt\bigr)dx_J\wedge dx_I=\tau\wedge\pi_*(f\,dx_I\wedge dt)$ である。$dt_j$ が $k$ 個未満の項は両辺で $0$ である。
3．$x$ が $M$ の向きを保つ座標になるように $B$ をとっておく（$x_1$ の符号を変えればよい）。$\omega=f\,dx_1\wedge\cdots\wedge dx_m\wedge dt$ で、$(x,t)$ は局所積の向きを保つ座標なので、Fubini の定理（Fubiniの定理）により $\int_E\omega=\int\!\!\int f\,dt\,dx=\int_M\bigl(\int f\,dt\bigr)dx_1\wedge\cdots\wedge dx_m=\int_M\pi_*\omega$ である。
4．$\pi$ が沈め込みなので $E'$ は $N\times E$ の部分多様体で、$T_{(y,e)}E'=\{(v,w)\mid df(v)=d\pi(w)\}$ であり、$d\pi'(v,w)=v$ は全射である。$E'_y=\{y\}\times E_{f(y)}$ に向きを写すと、$\pi$ の向きに合う束座標 $(x,t)$ と $N$ の座標 $z$ から $(z,t)$ が $E'$ の向きに合う束座標になる。$K\subset N$ がコンパクトなら、$\operatorname{supp}\tilde f^*\omega\cap\pi'^{-1}(K)$ はコンパクト集合 $K\times(\operatorname{supp}\omega\cap\pi^{-1}(f(K)))$ の閉部分集合なのでコンパクトである。$v_1,\dots,v_p\in T_yN$ について $w_i\in T_eE$ を $d\pi(w_i)=df(v_i)$ となるようにとると、$(v_i,w_i)$ は $v_i$ の持ち上げで、$d\tilde f(v_i,w_i)=w_i$ である。$\tilde f$ は $E'_y$ を $E_{f(y)}$ へ向きを保って微分同相に写すので
$$ (\pi'_*\tilde f^*\omega)_y(v_1,\dots,v_p)=\int_{E_{f(y)}}\omega(w_1,\dots,w_p,\cdot,\dots,\cdot)=(\pi_*\omega)_{f(y)}(df(v_1),\dots,df(v_p)) $$
である。右辺は $(f^*\pi_*\omega)_y(v_1,\dots,v_p)$ にほかならない。$\square$

1 により $\pi_*$ は閉形式を閉形式に、完全形式 $d\eta$ を完全形式 $d\pi_*\eta$ に写す。$\pi^*a$ の各項は $dx_I$ だけを含み $dt_j$ を含まないので、$k\ge1$ なら局所表示で $\pi_*\pi^*a=0$ である。残りは 2 による。$\square$