閉包

定義

位相空間 $X$ の部分集合 $A$ の閉包（closure）とは、$A$ を含む $X$ の閉集合の中で最小のものである。記号では $\bar{A}$ や $\text{Cl}(A)$ と表される。
これを数式で表すと、$A$ を含むすべての閉集合の共通部分となる。
$$\bar{A} = \bigcap \{ F \mid A \subset F, \, F \text{ は } X \text{ の閉集合} \}$$
閉集合の共通部分は常に閉集合となるため、$\bar{A}$ も必ず閉集合である。

触点による特徴づけ（局所的な定義）

閉包は、点と集合の「近さ」を用いて、以下のようにも特徴づけられる。

点 $x \in X$ が $A$ の閉包 $\bar{A}$ に属するための必要十分条件は、 $x$ の任意の近傍 $U$ が、$A$ と交わる（$U \cap A \neq \emptyset$）ことである。

このような点 $x$ を $A$ の触点 (adherent point) と呼ぶ。すなわち、閉包とは $A$ の触点全体の集合である。
ここから、「$A$ の点そのもの」または「$A$ の点にいくらでも近づける点（極限）」の集まりが閉包であるという直観が得られる。

基本的な性質

閉包作用素 $A \mapsto \bar{A}$ は以下の性質（クラトフスキの公理の一部）を満たす。

1. 拡大性: $A \subset \bar{A}$。
2. 白等性: $\bar{\bar{A}} = \bar{A}$。（閉包を二度取っても変わらない）
3. 分配法則: $\overline{A \cup B} = \bar{A} \cup \bar{B}$。（有限和については分配できる）
4. 空集合: $\bar{\emptyset} = \emptyset$。
   また、$A$ が閉集合であるための必要十分条件は $A = \bar{A}$ である。

具体例

• ユークリッド空間:
  実数直線 $\mathbb{R}$ 上の開区間 $A = (0, 1)$ の閉包は、両端点を加えた閉区間 $\bar{A} = [0, 1]$ である。
  有理数集合 $\mathbb{Q}$ の閉包は、実数全体 $\mathbb{R}$ である（$\bar{\mathbb{Q}} = \mathbb{R}$）。このように閉包が空間全体になる性質を稠密という。
• 離散空間:
  離散空間ではすべての集合が閉集合であるため、任意の部分集合 $A$ について $\bar{A} = A$ となる。
• 補有限位相:
  無限集合 $X$ 上の補有限位相において、無限部分集合 $A$ の閉包は空間全体 $X$ になることが多い（$A$ が閉集合でない限り）。

関連概念との関係

閉包は、開核（内部）や境界と密接な関係がある。

• 境界との関係: $\bar{A} = A^\circ \cup \partial A$
  （閉包は、内部と境界の和集合である）
• 開核との関係: $\bar{A} = X \setminus (X \setminus A)^\circ$
  （補集合の内部をとって、さらに補集合をとったものが閉包である）

関連項目

• 位相空間
• 閉集合：閉包と一致する集合。
• 開核（内部）：閉包の双対概念。
• 境界
• 集積点：触点のうち、$x$ 自身を除いても $A$ と交わる点。
• 稠密
• クラトフスキの閉包公理