Snellの法則

距離は $AX=\sqrt{3^2+x^2}$、$XB=\sqrt{4^2+(7-x)^2}$ で、時間は「距離 $\mathbin{÷}$ 速さ」なので、所要時間は
$$ T(x)=\frac{\sqrt{9+x^2}}4+\frac{\sqrt{16+(7-x)^2}}3 $$
である。
(1) $x=4$ のとき、$AX=\sqrt{9+16}=5$、$XB=\sqrt{16+9}=5$ なので
$$ T(4)=\frac54+\frac53=\frac{15+20}{12}=\frac{35}{12}\approx2.917 $$
である。
(2) $x=3$ は、線分 $AB$ が $\ell$ と交わる点である（直線 $AB$ は $y=3-x$ で、$y=0$ のとき $x=3$）。このとき $AX=\sqrt{18}=3\sqrt2$、$XB=\sqrt{32}=4\sqrt2$ なので
$$ T(3)=\frac{3\sqrt2}4+\frac{4\sqrt2}3=\frac{9\sqrt2+16\sqrt2}{12}=\frac{25\sqrt2}{12}\approx2.946 $$
である。まっすぐ歩くより、$x=4$ で横切る方が早い。
(3) $x=0,1,\dots,7$ で同じ計算をすると、次の表になる（小数第 4 位で四捨五入）。

表の中では $x=4$ が最も早い。$x=4$ のとき、$A$ から $X$ へ向かう線分は $x$ 方向に $4$、$y$ 方向に $3$ 進み、$X$ から $B$ へ向かう線分は $x$ 方向に $3$、$y$ 方向に $4$ 進む。まっすぐ進む $x=3$ の道（$AX=3\sqrt2\approx4.24$、$XB=4\sqrt2\approx5.66$）と比べると、速い側を長く（$5>3\sqrt2$）、遅い側を短く（$5<4\sqrt2$）歩いている。

1. ex-snl-start は $a=3$、$b=4$、$d=7$、$v_1=4$、$v_2=3$ の場合である。$x=4$ では $\sin\theta_1=\dfrac45$、$\sin\theta_2=\dfrac35$ で、$\theta_1\approx53.13^\circ$、$\theta_2\approx36.87^\circ$ である（図 2）。どちらの側でも「正弦 $\mathbin{÷}$ 速さ」を計算すると
   $$ \frac{\sin\theta_1}{v_1}=\frac{4/5}4=\frac15,\qquad \frac{\sin\theta_2}{v_2}=\frac{3/5}3=\frac15 $$
   で、等しい。
2. $a=b=1$、$d=2$、$v_1=v_2=1$ のとき、$T(x)=\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+(2-x)^2}$ は折れ線の長さそのものである。$x=1$ では $T(1)=2\sqrt2\approx2.828$、$\theta_1=\theta_2=45^\circ$ で、$x=0$ では $T(0)=1+\sqrt5\approx3.236$、$\theta_1=0^\circ$、$\sin\theta_2=\dfrac2{\sqrt5}$ である。

ex-snl-start の $a=3$、$b=4$、$d=7$、$v_1=4$、$v_2=3$ で $x=4$ とすると、$0<4<7$ で、ex-snl-def の (1) により $\dfrac{\sin\theta_1}{v_1}=\dfrac{\sin\theta_2}{v_2}=\dfrac15$ である。thm-snl-main の (3) により、$x=4$ が最小点 $x_0$ で、最短の所要時間は $T(4)=\dfrac{35}{12}$ である。lem-snl-deriv の式でも
$$ T'(4)=\frac{4}{4\cdot5}-\frac{3}{3\cdot5}=\frac15-\frac15=0 $$
となる。$x=0$ と $x=7$ の値は $T'(0)=-\dfrac{7}{3\sqrt{65}}\approx-0.289$、$T'(7)=\dfrac{7}{4\sqrt{58}}\approx0.230$ で、符号が変わっている（図 3）。

$a=1$、$b=2$、$d=3$、$v_1=1$、$v_2=\dfrac34$ とする。lem-snl-deriv により
$$ T'(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}-\frac43\cdot\frac{3-x}{\sqrt{4+(3-x)^2}} $$
で、$T'(0)=-\dfrac4{\sqrt{13}}\approx-1.109$、$T'(3)=\dfrac3{\sqrt{10}}\approx0.949$ である。区間の中点で $T'$ の符号を調べ、符号が変わる側の半分を残す（二分法。関数の連続性と中間値の定理（高校数学） で方程式 $x^3+x-1=0$ の解を求めたのと同じ手順）。

6 回で $1.40625< x_0<1.453125$ まで絞れる。続けると $x_0\approx1.4374$ で、そこでは
$$ \frac{\sin\theta_1}{v_1}=\frac{\sin\theta_2}{v_2}\approx0.8209,\qquad T(x_0)\approx5.1351 $$
である。

$A(0,1)$、$B(5,-1)$、$v_1=1$、$v_2=2$ とする（下側の方が速い）。ex-snl-bisect と同じく数値で求めると、最小点は $x_0\approx0.5588$ で、
$$ \sin\theta_1\approx0.4878,\quad \theta_1\approx29.2^\circ,\qquad \sin\theta_2\approx0.9756,\quad \theta_2\approx77.3^\circ $$
である。$\dfrac{\sin\theta_1}{1}\approx0.4878$、$\dfrac{\sin\theta_2}2\approx0.4878$ で、thm-snl-main の (2) が成り立っている。遅い上側の道は法線に近く（cor-snl-bend の (2)）、$\sin\theta_1\approx0.4878<\dfrac12=\dfrac{v_1}{v_2}$ である（(3)）。まっすぐ $B$ に向かうより、速い下側を長く進む方が早い。

1. 反射：$A(0,1)$、$B'(3,2)$ なら、最小点は $x=\dfrac{1\cdot3}{1+2}=1$ で、$S(1)=\sqrt2+\sqrt{8}=3\sqrt2$ である。両側とも法線からの角は $45^\circ$ である。
2. 屈折：同じ $A$ から、$B'$ を折り返した $B(3,-2)$ へ $v_1=1$、$v_2=\dfrac34$ で進む場合が ex-snl-bisect で、最小点 $x_0\approx1.4374$ は $x=1$ より右（遅い側の道が短くなる向き）にずれる。

$f(x)=x^3-3x$ とすると、$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$ で、$f'(1)=0$ である。$f''(x)=6x$ で $f''(1)=6>0$ なので、$x=1$ は極小である（関数の増減と極値 の命題「第 2 次導関数による判定」）。しかし
$$ f(1)=1-3=-2,\qquad f(-3)=-27+9=-18< f(1) $$
なので、$x=1$ は実数全体での最小点ではない。そもそも $x\to-\infty$ で $f(x)\to-\infty$ なので、最小点はない。$f''(x)=6x$ は $x<0$ で負になり、thm-snl-main の証明の段 1 のように「導関数がいつも増加する」ことが成り立たない。

ex-snl-start（$a=3$、$b=4$、$d=7$、$v_1=4$、$v_2=3$）で、$x>7$ の点 $X(x,0)$ を考える。def-snl-time の角は法線からの角（向きを考えない角）なので
$$ \frac{\sin\theta_1}{v_1}=\frac{x}{4\sqrt{9+x^2}},\qquad \frac{\sin\theta_2}{v_2}=\frac{x-7}{3\sqrt{16+(x-7)^2}} $$
である。$10< x<12$ に両者が等しくなる点があり、数値で求めると $x\approx11.20$、共通の値は $\approx0.2415$ である。

境界を原点中心、半径 $2$ の円とし、円の外側を速さ $1$、内側を速さ $\dfrac14$ で進むとする。$A(0,10)$ から $B\left(0,-\dfrac32\right)$ へ、円周の点 $P$ を 1 回通る折れ線 $A\to P\to B$ を考える。ただし線分 $AP$ は円の外側にあるものとする。$P$ での法線は、半径の方向の直線 $OP$ である。
(1) $C(0,2)$ を通る道では、$AC$ も $CB$ も $y$ 軸の上にあり、$C$ での法線（$y$ 軸）と重なるので、入射角も屈折角も $0^\circ$ である。$\dfrac{\sin0^\circ}1=\dfrac{\sin0^\circ}{1/4}=0$ で、thm-snl-main の (2) と同じ形の式が成り立つ。所要時間は
$$ \frac{AC}{1}+\frac{CB}{1/4}=8+4\cdot\frac72=22 $$
である。
(2) $P\left(\sqrt3,1\right)$ を通る道では、$AP=\sqrt{3+81}=\sqrt{84}$、$PB=\sqrt{3+\dfrac{25}4}=\dfrac{\sqrt{37}}2$ で、所要時間は
$$ \sqrt{84}+4\cdot\frac{\sqrt{37}}2=\sqrt{84}+2\sqrt{37}\approx9.165+12.166=21.331<22 $$
である。線分 $AP$ は円の外側にある。

境界を $y=0$ と $y=-1$ とし、上から速さ $v_1=1$、$v_2=0.6$、$v_3=0.8$ とする。$A\left(0,\dfrac32\right)$ から $B\left(4,-\dfrac52\right)$ へ進む折れ線の所要時間を、2 つの境界の点の位置 $x_1$、$x_2$ の関数として数値で最小にすると、$x_1\approx2.1368$、$x_2\approx2.7005$、所要時間 $\approx7.0047$ で、
$$ \frac{\sin\theta_1}{v_1}\approx\frac{\sin\theta_2}{v_2}\approx\frac{\sin\theta_3}{v_3}\approx0.8185 $$
である（図 6）。いちばん遅い真ん中の層では、道が鉛直に最も近い。