代数的de Rhamコホモロジー

1：超コホモロジー の定理「超コホモロジーの2つのスペクトル系列」の第 1 の系列を $K^\bullet=\Omega^\bullet_{X/k}$ に当てはめたものである。その系列は、Cartan–Eilenberg 分解 $\Omega^\bullet_{X/k}\to I^{\bullet,\bullet}$ に $\Gamma(X,-)$ を施した二重複体を列 $p$ でフィルターして得られ（Wei94 5.7.9、pp. 149–150）、$E_1^{p,q}=H^q(\Gamma(X,I^{p,\bullet}))=H^q(X,\Omega^p_{X/k})$、$d_1$ は横の微分 $d$ が誘導する写像である。$p$ 列以降の部分 $I^{\ge p,\bullet}$ は $\sigma^{\ge p}\Omega^\bullet_{X/k}$ の Cartan–Eilenberg 分解なので、列によるフィルトレーションは Hodge フィルトレーションに一致する。
2：$I^{p,\bullet}$ は $\Omega^p_{X/k}$ の入射分解で、$\Gamma(X,-)$ は左完全関手なので $E_1^{p,0}=\ker\bigl(\Gamma(X,I^{p,0})\to\Gamma(X,I^{p,1})\bigr)=\Gamma(X,\Omega^p_{X/k})$ であり、$d_1=d$ である。よって行 $q=0$ は複体 $\Gamma(X,\Omega^\bullet_{X/k})$ で、$E_2^{n,0}$ はそのコホモロジーである。第 1 象限型なので $E_\infty^{n,0}=F^nH^n_{dR}\subset H^n_{dR}$ であり、辺写像 $E_2^{n,0}\to H^n_{dR}$ は閉形式 $\omega\in\Gamma(X,\Omega^n_{X/k})$ の類を、増大射 $\Gamma(X,\Omega^\bullet_{X/k})\to\Gamma(X,\operatorname{Tot}I^{\bullet,\bullet})$ による像の類へ送る。これは $\varepsilon_X$ である。$\square$

各 $\Omega^p_{X/k}$ は準連接層であり、Noether な affine スキームの上の準連接層の正の次数の層コホモロジーは消える（Har77 III.3.5）。よって de Rham 複体の各項は $\Gamma(X,-)$ について非輪状であり、超コホモロジー の命題「非輪状な項をもつ複体」により $\varepsilon_X$ は同型である。$\Gamma(X,\Omega^p_{X/k})=\Omega^p_{A/k}$ なので後半を得る。$\square$

超コホモロジー の命題「Čech複体による計算」は、各 $K^p$ と各有限個の交わり $U_{i_0\cdots i_r}$ について $H^q(U_{i_0\cdots i_r},K^p)=0$（$q\ge1$）なら、Čech 二重複体の全複体のコホモロジーが $\mathbf{H}^n(X,K^\bullet)$ に標準的に同型であることを述べる。$X$ は分離的で $U_i$ は affine なので、有限個の交わりも affine である（Har77 II, Exercise 4.3）。$\Omega^p_{X/k}$ は準連接層なので、その上で正の次数のコホモロジーは消える（Har77 III.3.5）。よって仮定が満たされる。$\square$

要点：有限 affine 被覆の Čech 全複体が $-\otimes_kK$ で移り合い、$-\otimes_kK$ が完全であることによる。

問題は局所的である。滑らかな射 の定義「Jacobi判定法による定義」により、閉点 $a$ の近傍で $X$ は $\mathbb{A}^N$ の中で $c$ 個の多項式 $g_1,\dots,g_c$ の零点として書け、Jacobi 行列 $(\partial g_k/\partial z_j)$ の階数が $c$ になる。Kähler微分 の命題「第2基本完全列」により $\Omega^1_{X/\mathbb{C}}=\bigl(\bigoplus_j\mathcal{O}_X\,dz_j\bigr)/(dg_1,\dots,dg_c)$ である。解析化は完全なので $(\Omega^1_{X/\mathbb{C}})^{an}=\bigl(\bigoplus_j\mathcal{O}_{X^{an}}\,dz_j\bigr)/(dg_1,\dots,dg_c)$ である。一方 $X^{an}$ は $a$ の近くで $\mathbb{C}^N$ の複素部分多様体であり（解析化 の命題「滑らかな完全交差の解析化」）、その正則 1 形式の層は、$\mathbb{C}^N$ の正則 1 形式を制限して $dg_1,\dots,dg_c$ で割ったものである。よって $p=1$ で同型であり、外冪をとって一般の $p$ で同型である。外微分はどちらも $f\,dz_{j_1}\wedge\cdots\wedge dz_{j_p}\mapsto df\wedge dz_{j_1}\wedge\cdots\wedge dz_{j_p}$ で与えられる。$\square$

$X$ が $\mathbb{C}$ 上固有な場合に示す。一般の場合は次の注意のとおりこの記事では証明しない。$X$ の既約成分の次元の最大を $m$ とすると、$p>m$ で $\Omega^p_{X/\mathbb{C}}=0$ である。各 $p$ について複体の短完全列
$$ 0\to\sigma^{\ge p+1}\Omega^\bullet\to\sigma^{\ge p}\Omega^\bullet\to\Omega^p[-p]\to0 $$
が $X$ の上と $X^{an}$ の上にあり、超コホモロジー の定理「複体の短完全列と長完全列」により超コホモロジーの長完全列を与える。比較写像は層の複体の射から来るので、2 つの長完全列の間の可換な梯子を与える。$\Omega^p[-p]$ の項は $\mathbf{H}^n(X,\Omega^p[-p])=H^{n-p}(X,\Omega^p_{X/\mathbb{C}})$ であり、その比較写像は連接層 $\Omega^p_{X/\mathbb{C}}$ の比較写像 $H^{n-p}(X,\Omega^p_{X/\mathbb{C}})\to H^{n-p}(X^{an},(\Omega^p_{X/\mathbb{C}})^{an})$ と lem-algebraic-de-rham-analytification の同型の合成である。$X$ は固有なので、これは GAGA の定理「固有スキームへの拡張」により同型である。$p$ についての下降帰納法で、$\sigma^{\ge p}\Omega^\bullet$ の超コホモロジーの比較写像がすべての $n$ で同型であることを示す。$p>m$ では両辺とも $0$ である。$\sigma^{\ge p+1}$ と $\Omega^p[-p]$ で同型なら、五項補題により $\sigma^{\ge p}$ でも同型である。$p=0$ の場合が $H^n_{dR}(X/\mathbb{C})\cong\mathbf{H}^n(X^{an},\Omega^\bullet_{X^{an}})$ であり、正則 Poincaré の補題による同一視と合わせて $\rho_X$ は同型である。
最後の主張：$X$ が有限型で分離的なら $X^{an}$ は Hausdorff で第 2 可算な多様体であり、定数層 $\mathbb{C}$ の層コホモロジーは特異コホモロジーに一致する（de Rhamコホモロジー の定理「de Rham の定理：特異コホモロジーとの同型」の 1 と 2 を合わせ、係数を $\mathbb{C}$ に広げる）。$\square$