代数閉体
概要
代数閉体（algebraically closed field）とは、その体を係数とするどんな非定数多項式もその体の中に根をもつ体である。これは既約多項式が一次式に限ること、および任意の代数拡大が自明であることと同値で、代数閉体上では $n$ 次多項式が重複度を込めてちょうど $n$ 個の根をもち、正方行列が必ず固有値をもつ。複素数体 $\mathbb{C}$ が代表例であり（代数学の基本定理）、実数体・有理数体・有限体・有理関数体は代数閉体でない。任意の体は代数閉包（代数閉体である代数拡大）を同型を除いて一意にもつ。
前提知識: 体, 多項式環, 体の拡大
代数閉体は、その体を係数とするどんな非定数多項式も、その体の中に根をもつような体である。「多項式方程式を解くために体を広げる必要がない」体であり、複素数体 $\mathbb{C}$ がその代表例である。係数体を代数閉体に取り替えると、多項式の根をめぐる議論は一次式への分解の問題に帰着するため、線形代数の固有値論、Galois理論、代数幾何学の多くの場面で代数閉体が係数体として採用される。
定義
体 $K$ 上の一変数多項式環を $K[X]$ と書く。$f\in K[X]$ と $\alpha\in K$ に対し、$X$ に $\alpha$ を代入した値が $f(\alpha)=0$ であるとき、$\alpha$ を $f$ の根という。$\deg f\geq1$ のとき $f$ を非定数多項式という。$f$ が既約（既約多項式）であるとは、$f$ が非定数であり、$f=gh$（$g,h\in K[X]$）と書けるなら $g$ か $h$ が定数（すなわち $K$ の非零元）になることをいう。
体 $K$ が代数閉体（algebraically closed field）であるとは、$K$ 係数の任意の非定数多項式 $f\in K[X]$ が $K$ に少なくとも一つの根をもつことをいう。すなわち、$\deg f\geq1$ ならば $f(\alpha)=0$ となる $\alpha\in K$ が存在する。「代数的閉体」ともいう。
定義が要求しているのは根が「少なくとも一つ」あることだけだが、後述の prop-acf-equivalent により、これは「すべての根が $K$ の中にある」、すなわち $f$ が $K[X]$ で一次式の積に分解することと同値である。
同値条件を述べるために体の拡大の言葉を確認しておく。体 $L$ が $K$ を部分体として含むとき、$L/K$ を体の拡大といい、$L$ を $K$ の拡大体という。$L$ は $K$ 上のベクトル空間であり、その次元を拡大次数 $[L:K]$ と書く。$[L:K]<\infty$ のとき $L/K$ を有限次拡大という。$\alpha\in L$ が $K$ 上代数的であるとは、$f(\alpha)=0$ となる非零多項式 $f\in K[X]$ が存在することをいい、$L$ のすべての元が $K$ 上代数的であるとき $L/K$ を代数拡大という。
直感
実数の範囲では $X^2+1=0$ は解けないが、実数体 $\mathbb{R}$ を $\mathbb{C}=\mathbb{R}(i)$ へ広げれば解ける。ところが $\mathbb{C}$ では、$X^2+1$ に限らずどんな複素係数多項式方程式も、もう体を広げずに解ける。これが「代数的に閉じている」という言葉の意味であり、代数閉体とは、多項式方程式を解くという代数的操作について閉じている体である。この「閉」は位相空間の閉集合とは無関係である。
代数閉体では、$n$ 次多項式は重複度を込めてちょうど $n$ 個の根をもち、どんな元も $n$ 乗根をもち、どんな正方行列も固有値をもつ。逆に、代数閉体でない体では「根が足りない」多項式が必ずあり、その根を付け加えた拡大体を考えることが体の拡大の理論の出発点になる。
同値条件
体 $K$ について、次の条件は互いに同値である。
- $K$ は代数閉体である。すなわち任意の非定数 $f\in K[X]$ は $K$ に根をもつ。
- 任意の非定数 $f\in K[X]$ は、$n=\deg f$ として、$c\in K$ と $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in K$ により $f=c(X-\alpha_1)(X-\alpha_2)\cdots(X-\alpha_n)$ と一次式の積に分解する。
- $K[X]$ の既約多項式は一次式に限る。
- $K$ の任意の代数拡大 $L/K$ は自明である。すなわち $L=K$。
- $K$ の任意の有限次拡大 $L/K$ は自明である。
以下、多項式環 の記事の定理（除法の原理）と系（剰余定理と因数定理）を用いる。すなわち $g\neq0$ に対し $f=qg+r$、$\deg r<\deg g$ となる $q,r\in K[X]$ が一意に存在し、特に $f(\alpha)=0$ ならば $f=(X-\alpha)q$ と書ける（$X-\alpha$ で割った余りは定数 $f(\alpha)$ である）。
(1)⇒(2)：$n=\deg f$ に関する帰納法で示す。$n=1$ なら $f=aX+b$（$a\neq0$）$=a\bigl(X-(-b/a)\bigr)$ である。$n\geq2$ のとき、(1) により $f$ の根 $\alpha_n\in K$ が取れ、因数定理から $f=(X-\alpha_n)g$、$\deg g=n-1\geq1$ となる。帰納法の仮定を $g$ に適用すれば $g=c(X-\alpha_1)\cdots(X-\alpha_{n-1})$ であり、これを代入して (2) を得る。
(2)⇒(3)：$g\in K[X]$ を既約とする。既約多項式は非定数だから、(2) により $g=c(X-\alpha_1)\cdots(X-\alpha_n)$、$n=\deg g\geq1$ と書ける。もし $n\geq2$ なら、$g=(X-\alpha_1)\cdot\bigl(c(X-\alpha_2)\cdots(X-\alpha_n)\bigr)$ は次数 $1$ と次数 $n-1\geq1$ の非定数多項式の積であり、既約性に反する。よって $n=1$ であり、$g=c(X-\alpha_1)$ は一次式である。
(3)⇒(4)：$L/K$ を代数拡大とし、$\alpha\in L$ を任意に取る。$I=\{f\in K[X]\mid f(\alpha)=0\}$ とおくと、$\alpha$ が $K$ 上代数的なので $I$ は非零多項式を含む。$I$ の非零元のうち次数最小のものを取り、最高次係数で割ってモニック（最高次係数が $1$）にしたものを $m$ とする。任意の $f\in I$ を $f=qm+r$、$\deg r<\deg m$ と割れば $r(\alpha)=f(\alpha)-q(\alpha)m(\alpha)=0$ であり、$r\in I$ と次数の最小性から $r=0$ である。すなわち $m$ は $I$ のすべての元を割り切る（この $m$ を $\alpha$ の $K$ 上の最小多項式という）。$m$ は既約である。実際、$m=gh$ と分解すれば、$L$ は体、特に整域だから $g(\alpha)h(\alpha)=m(\alpha)=0$ より $g(\alpha)=0$ または $h(\alpha)=0$ であり、たとえば $g(\alpha)=0$ なら $g\in I$ から $m\mid g$、一方 $g\mid m$ だから $\deg g=\deg m$ となり、$\deg h=0$ である。よって (3) から $m=X-a$（$a\in K$）と書け、$0=m(\alpha)=\alpha-a$ から $\alpha=a\in K$ である。$\alpha$ は任意だったので $L=K$ である。
(4)⇒(5)：$L/K$ を有限次拡大、$n=[L:K]$ とし、$\alpha\in L$ を取る。$n+1$ 個の元 $1,\alpha,\alpha^2,\ldots,\alpha^n$ は $n$ 次元 $K$ ベクトル空間 $L$ の元だから線形従属であり、すべては $0$ でない $c_0,\ldots,c_n\in K$ で $c_0+c_1\alpha+\cdots+c_n\alpha^n=0$ となるものがある。よって非零多項式 $f=c_0+c_1X+\cdots+c_nX^n\in K[X]$ が $f(\alpha)=0$ を満たし、$\alpha$ は $K$ 上代数的である。したがって有限次拡大は代数拡大であり、(4) により $L=K$ である。
(5)⇒(1)：$f\in K[X]$ を非定数とする。$f$ の非定数な約元（$f$ を割り切る非定数多項式。$f$ 自身が該当するので存在する）のうち次数最小のものを $g$ とすると、$g$ は既約である。実際、$g=g_1g_2$ で $g_1,g_2$ がともに非定数なら、$g_1$ は $g$ より次数の小さい $f$ の非定数約元となり、最小性に反する。$d=\deg g\geq1$ とおく。
$K[X]$ は単項イデアル整域である（多項式環 の記事の定理（体上の多項式環は単項イデアル整域））。このことから剰余環 $L=K[X]/(g)$ が体であることを示す。$h\in K[X]$ が $(g)$ に属さないとする。イデアル $(g)+(h)$ は単項イデアル $(e)$ に等しく、$e\mid g$ と $g$ の既約性から、$e$ は非零定数であるか、または $g$ の非零定数倍である。後者なら $e\mid h$ から $g\mid h$ となり仮定に反するので、$e$ は非零定数であり、$1\in(g)+(h)$、すなわち $ug+vh=1$ となる $u,v\in K[X]$ が存在する。したがって $h$ の類は $L$ において $v$ の類を逆元にもつ。$g$ は非定数なので $1\notin(g)$、よって $L\neq0$ であり、$L$ は体である。
自然な環準同型 $K\to L$ は、$K$ が体で $L\neq0$ だから単射である（核は $1$ を含まないイデアルなので $0$）。$K$ をその像と同一視して $L/K$ を体の拡大とみなす。除法の原理により $L$ の任意の元は次数 $d$ 未満の多項式の類で表せるから、$L$ は $1,\bar X,\ldots,\bar X^{d-1}$（$\bar X$ は $X$ の類）で張られ、$[L:K]\leq d<\infty$ である。よって (5) により $L=K$、特に $\bar X\in K$、すなわちある $a\in K$ について $X-a\in(g)$、$g\mid X-a$ である。次数を比べれば $d\leq1$、したがって $d=1$ で $g=c(X-a)$（$c\in K$、$c\neq0$）と書け、$g\mid f$ から $f(a)=0$ となる。$\square$
条件 (4) は「代数閉体はそれ以上代数的に広げられない」ことを言う。代数的でない（超越的な）拡大は代数閉体にもあり、たとえば $\mathbb{C}$ の有理関数体 $\mathbb{C}(t)$ は $\mathbb{C}$ の真の拡大体である（後述の ex-acf-rational-function-field）。
例と反例
複素数体 $\mathbb{C}$ は代数閉体である。すなわち複素係数の任意の非定数多項式は $\mathbb{C}$ に根をもち、したがって（prop-acf-equivalent の (2)）$n$ 次の複素係数多項式は $\mathbb{C}$ において一次式の積に分解し、重複度を込めてちょうど $n$ 個の複素数の根をもつ。
この定理は代数学の基本定理と呼ばれる。名前に反して純粋に代数的な証明はなく、$\mathbb{R}$ の完備性（中間値の定理）を何らかの形で使う。標準的な証明は二通りある。複素解析による証明は、根をもたない非定数多項式 $f$ に対して $1/f$ が有界な整関数になることから、Liouvilleの定理(複素解析) により $1/f$ が定数となって矛盾を導く（Ahl79 第 4 章 §2.3）。代数的な証明は、奇数次の実係数多項式が実根をもつこと（中間値の定理）と、正の実数が実平方根をもつことだけを解析から借り、あとはGalois理論と Sylowの定理 で片づける（DF04 §14.6、Lan02 第 VI 章 §2）。本記事では証明を再掲せず、これらに譲る。
$\mathbb{C}$ の元のうち有理数体 $\mathbb{Q}$ 上代数的なもの（代数的数）全体を $\overline{\mathbb{Q}}$ と書く。後述の prop-acf-closure-inside により、$\overline{\mathbb{Q}}$ は $\mathbb{C}$ の部分体であり、代数閉体である。$\overline{\mathbb{Q}}$ は $\mathbb{C}$ とは異なる。実際、$\mathbb{Q}[X]$ は可算集合であり（$\mathbb{Q}$ が可算で、多項式は係数の有限列だから）、各非零多項式の根は有限個（多項式環 の記事の定理（根の個数））なので、$\overline{\mathbb{Q}}$ は可算集合である。一方 $\mathbb{C}$ は非可算集合である。したがって $\overline{\mathbb{Q}}$ は、標数 $0$ の可算な代数閉体であり、$\mathbb{C}$ の真部分体である。
素数 $p$ に対し、位数 $p^n$ の有限体 $\mathbb{F}_{p^n}$（$n\geq1$）は、$n\mid m$ のとき $\mathbb{F}_{p^m}$ の部分体と同型である。同型を固定して $\mathbb{F}_{p^{n!}}\subset\mathbb{F}_{p^{(n+1)!}}$ と並べた和集合 $\overline{\mathbb{F}}_p=\bigcup_{n\geq1}\mathbb{F}_{p^{n!}}$ は、標数 $p$ の代数閉体であり、$\mathbb{F}_p$ の代数閉包である（Lan02 第 V 章 §5。有限体 の記事の補足も参照）。これは可算無限個の元をもつ標数 $p$ の代数閉体である。
$\mathbb{R}$ は代数閉体でない。実際、$X^2+1\in\mathbb{R}[X]$ は非定数だが、任意の $a\in\mathbb{R}$ について $a^2\geq0$ なので $a^2+1\geq1>0$ であり、根をもたない。$\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$ なので同じ多項式は $\mathbb{Q}$ にも根をもたず、$\mathbb{Q}$ も代数閉体でない。
$\mathbb{R}$ は標数 $0$ の無限体であり、さらに完備な順序体であるが、これらの性質は代数閉性を含意しない。また $\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$ は、代数閉体の部分体が代数閉体とは限らないことを示す。この例が破る含意は「無限体ならば代数閉体」および「代数閉体の部分体は代数閉体」である。
体 $k$ 上の一変数有理関数体 $k(t)$（多項式環 $k[t]$ の商体）は、$k$ が何であっても代数閉体でない。実際、$X^2-t\in k(t)[X]$ は $k(t)$ に根をもたない。もし $(g/h)^2=t$（$g,h\in k[t]$、$h\neq0$）なら $g^2=th^2$ であり、$t\neq0$、$h\neq0$ で $k[t]$ は整域だから $th^2\neq0$、よって $g\neq0$ である。$k[t]$ は整域だから次数は加法的で、左辺の次数 $2\deg g$ は偶数、右辺の次数 $1+2\deg h$ は奇数となり矛盾する。
$k=\mathbb{C}$ と取れば、代数閉体 $\mathbb{C}$ の拡大体 $\mathbb{C}(t)$ が代数閉でない例になる。すなわち「代数閉体の拡大体は代数閉体」は成り立たない。これは prop-acf-equivalent の (4)（代数閉体の代数拡大が自明であること）と矛盾せず、$\mathbb{C}(t)/\mathbb{C}$ が代数拡大でない（$t$ が超越的である）ことを意味する。また $k=\mathbb{F}_p$ と取れば、標数 $p$ の無限体で代数閉体でないものが得られ、「標数 $p$ の無限体ならば代数閉体」も破れる。
性質
有限体は代数閉体でない
有限体は代数閉体でない。したがって代数閉体は無限体である。
$K=\{a_1,\ldots,a_n\}$ を有限体とする。体は $0\neq1$ を含むので $n\geq2$ である。
$$
f=(X-a_1)(X-a_2)\cdots(X-a_n)+1\in K[X]
$$
とおくと、$f$ はモニックで $\deg f=n\geq1$ だから非定数である。各 $j$ について、積 $\prod_{i}(a_j-a_i)$ は $i=j$ の因子が $0$ なので $0$ であり、$f(a_j)=0+1=1\neq0$ である。よって $f$ は $K$ のどの元も根にもたず、$K$ は代数閉体でない。後半は前半の対偶である。$\square$
$K$ が位数 $q$ の有限体のとき、$\prod_{a\in K}(X-a)=X^q-X$ である（有限体 の記事の系（有限体における $x^q=x$））から、上の $f$ は $X^q-X+1$ に等しい。たとえば $\mathbb{F}_p$ 上の $X^p-X+1$ は、Fermatの小定理 $a^p=a$ により $\mathbb{F}_p$ に根をもたない。この例が破る含意は「体ならば代数閉体」であり、無限性は代数閉性の必要条件だが十分条件ではない（ex-acf-real）。
根の個数と冪根
$K$ を代数閉体、$f\in K[X]$ を $n\geq1$ 次の多項式とし、prop-acf-equivalent の (2) により $f=c(X-\alpha_1)\cdots(X-\alpha_n)$ と分解する。このとき $f$ の $K$ における根の集合は $\{\alpha_1,\ldots,\alpha_n\}$ に等しい。$\alpha\in K$ の $f$ における重複度（零点の重複度。$(X-\alpha)^m\mid f$ となる最大の $m\geq0$）は、$\alpha$ が $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ の中に現れる回数に等しく、したがって $f$ は重複度を込めてちょうど $n$ 個の根をもつ。特に、任意の $a\in K$ と $n\geq1$ に対して $x^n=a$ となる $x\in K$（$a$ の $n$ 乗根）が存在する。
$\beta\in K$ について $f(\beta)=c(\beta-\alpha_1)\cdots(\beta-\alpha_n)$ であり、$c\neq0$ かつ $K$ は整域だから、$f(\beta)=0$ はある $i$ について $\beta-\alpha_i=0$ となることと同値である。よって根の集合は $\{\alpha_1,\ldots,\alpha_n\}$ である。
$\alpha\in K$ が $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ の中に現れる回数を $k$ とすると、$\alpha$ と異なる $\alpha_i$ の一次因子をまとめて $f=c(X-\alpha)^kg$、$g(\alpha)=\prod_{\alpha_i\neq\alpha}(\alpha-\alpha_i)\neq0$ と書ける（$k=n$ なら $g=1$）。$(X-\alpha)^k\mid f$ は明らかである。もし $(X-\alpha)^{k+1}\mid f$ なら、$K[X]$ が整域であることから $(X-\alpha)^k$ を約分して $(X-\alpha)\mid cg$、よって $g(\alpha)=0$ となり矛盾する。したがって重複度は $k$ であり、すべての根の重複度の総和は $n$ である。
最後に、$X^n-a$ は $n\geq1$ 次の非定数多項式だから $K$ に根をもつ。$\square$
一変数多項式環の極大イデアル
まず各 $a\in K$ について $(X-a)$ は極大イデアルである。代入写像 $K[X]\to K$、$f\mapsto f(a)$ は全射な環準同型で、その核は因数定理により $(X-a)$ だから、$K[X]/(X-a)\cong K$ は体であり、$(X-a)$ は極大である。$a\neq b$ なら $(X-a)\neq(X-b)$ である。実際 $X-b\in(X-a)$ なら $a$ を代入して $a-b=0$ となる。
逆に $\mathfrak{m}$ を極大イデアルとする。$K[X]$ は単項イデアル整域だから $\mathfrak{m}=(g)$ と書ける。$\mathfrak{m}\neq K[X]$ より $g$ は非零定数でない。また $(0)\subsetneq(X)\subsetneq K[X]$（$1\notin(X)$ は次数から分かる）なので $(0)$ は極大でなく、$g\neq0$ である。よって $g$ は非定数であり、$K$ が代数閉体なので根 $a\in K$ をもち、$g=(X-a)h$ と書ける。すると $(g)\subset(X-a)\subsetneq K[X]$ であり、$(g)$ の極大性から $(g)=(X-a)$ である。$\square$
この系は、代数閉体上のHilbertの零点定理（$K[X_1,\ldots,X_n]$ の極大イデアルが点 $(a_1,\ldots,a_n)\in K^n$ に対応すること）の一変数の場合である。$K=\mathbb{R}$ では $(X^2+1)$ という $(X-a)$ の形でない極大イデアルがあり、代数閉性が本質的である。
固有値の存在
この性質により、代数閉体上では任意の正方行列が上三角化でき、Jordan標準形をもつ。代数閉でない体では固有値が存在しないことがあり、たとえば $\mathbb{R}$ 上の回転行列
$$
A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}
$$
は $\chi_A(X)=X^2+1$ が実根をもたないので実固有値をもたない。
代数閉包の存在と一意性
体 $K$ の代数閉包（algebraic closure）とは、$K$ の拡大体 $\overline{K}$ であって、$\overline{K}$ が代数閉体であり、かつ $\overline{K}/K$ が代数拡大であるものをいう。
任意の体 $K$ は代数閉包をもつ。また $\overline{K}$ と $\overline{K}'$ がともに $K$ の代数閉包ならば、$K$ の元を動かさない体の同型 $\overline{K}\to\overline{K}'$ が存在する。
$L$ を代数閉体、$K\subset L$ を部分体とする。$L$ の元のうち $K$ 上代数的なもの全体
$$
\overline{K}=\{\alpha\in L\mid \alpha \text{ は } K \text{ 上代数的}\}
$$
は $L$ の部分体であり、$K$ の代数閉包である。
証明は、代数的な元の和・積・逆元が代数的であること（有限次拡大が代数拡大であること（prop-acf-equivalent の証明の (4)⇒(5) の議論）と拡大次数の連鎖律 $[M:K]=[M:L][L:K]$ による）と、代数拡大の推移性（$M/L$ と $L/K$ が代数拡大なら $M/K$ も代数拡大）による。DF04 §13.2、Lan02 第 V 章 §1 に譲る。代数閉性は次のように従う。$f\in\overline{K}[X]$ を非定数とすると、$L$ が代数閉なので根 $\alpha\in L$ があり、$\alpha$ は $\overline{K}$ 上代数的、$\overline{K}/K$ は代数拡大だから、推移性により $\alpha$ は $K$ 上代数的で $\alpha\in\overline{K}$ となる。
この命題により、$\mathbb{C}$ は $\mathbb{R}$ の代数閉包である（$\mathbb{C}=\mathbb{R}(i)$ の元 $a+bi$ は実係数多項式 $X^2-2aX+a^2+b^2$ の根なので $\mathbb{R}$ 上代数的）。また ex-acf-algebraic-numbers の $\overline{\mathbb{Q}}$ は $\mathbb{Q}$ の代数閉包であり、ex-acf-fpbar の $\overline{\mathbb{F}}_p$ は $\mathbb{F}_p$ の代数閉包である。さらに、任意の代数閉体 $L$ はその素体（$\mathbb{Q}$ または $\mathbb{F}_p$）を含むので、thm-acf-closure-existence の一意性と合わせると、標数 $0$ の代数閉体は $\overline{\mathbb{Q}}$ と同型な部分体を、標数 $p$ の代数閉体は $\overline{\mathbb{F}}_p$ と同型な部分体を含む。
補足
代数閉体に近い概念をいくつか挙げる。分離閉体は、分離多項式（重根をもたない多項式）に限って根の存在を要求する体であり、代数閉体は分離閉体である。標数 $0$ の体や完全体では既約多項式がすべて分離的なので、分離閉体と代数閉体は一致する（DF04 §13.5）。実閉体は、$\mathbb{R}$ のように、それ自身は代数閉でないが $\sqrt{-1}$ を添加すると代数閉になる順序体である。
代数閉体は代数拡大をもたないが、超越拡大 $K(t)$ はもつ（ex-acf-rational-function-field）。代数閉体 $K$ 上の多項式 $f\in K[X_1,\ldots,X_n]$ の零点集合（アフィン代数的集合）が $K^n$ の中に十分多くの点をもつことは、代数幾何学で係数体を代数閉体に取る主な理由であり、その出発点が cor-acf-maximal-ideals を多変数へ拡張した Hilbert の零点定理である。
関連項目
参考文献
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