Ehrenpreis–Palamodovの基本原理

前提知識: 定数係数偏微分作用素, 準素分解, Noether正規化定理, Paley–Wienerの定理

Ehrenpreis–Palamodovの基本原理（Ehrenpreis–Palamodov fundamental principle）とは、定数係数の線形偏微分方程式系 $P(D)u=0$ の解が、指数関数と多項式の積の形をした解（指数型の解）の重ね合わせとして表される、という定理である。重ね合わせは多項式行列 $P$ から決まる代数多様体の上の測度による積分で書かれ、有界な凸開集合の閉包まで十分滑らかな解は、どれもこの形の絶対収束する積分になる。
1 変数の場合を思い出すとよい。常微分方程式 $P(D)u=0$ の解は、多項式 $P$ の根 $\alpha$ とその重複度 $m$ に対する $x^ke^{i\alpha x}$（$k< m$）の 1 次結合である。重複度は「$f$ が $P$ で割り切れることは、各根で $f$ の $m-1$ 階までの微分が消えることと同値」という割り算の判定に現れる。多変数の連立系では、これが方程式の行が生成する加群 $M$ の準素分解と、各準素成分を零点集合の上の微分の条件として書く Noether 作用素 に替わる。Noether 作用素の係数は一般に定数でなく多項式になり、これに対応して指数型の解は $e^{i\langle x,\zeta\rangle}$ に $x$ の多項式を掛けた形になる。
1960 年に Ehrenpreis が発表し、Ehrenpreis・Malgrange・Palamodov が証明を与えた（Hor90 第 VII 章の Notes, p. 248）。この記事では、主定理の主張と証明の筋を述べる。主定理の解析的な部分（重みつきの割り算の評価）はこの記事では証明しない。指数型の解が実際に解であること、積分が解を与えるという逆向きの主張、Noether 作用素の加群の性質、作用素が定数係数で足りる場合は記事の中で証明する。

記号と設定

$z=(z_1,\dots,z_n)$ を変数とする多項式環 $\mathbb C[z]$ と、階数 $K$ の自由加群 $\mathbb C[z]^K$ を考える。$a,b\in\mathbb C[z]^K$ について $a\cdot b:=\sum_{k=1}^Ka_kb_k$ とする。$x\in\mathbb R^n$、$\zeta\in\mathbb C^n$ について $\langle x,\zeta\rangle:=\sum_jx_j\zeta_j$ とおく。
$D_j:=-i\,\partial/\partial x_j$ と書く（定数係数偏微分作用素 の注意「$D_j=-i\partial_j$ で書く流儀」）。このとき $D_je^{i\langle x,\zeta\rangle}=\zeta_je^{i\langle x,\zeta\rangle}$ であり、多項式 $R$ について $R(D)e^{i\langle x,\zeta\rangle}=R(\zeta)e^{i\langle x,\zeta\rangle}$ となる。
$P=(P_{jk})$ を $\mathbb C[z]$ の元を成分とする $J\times K$ 行列とし、$u=(u_1,\dots,u_K)$ について
$$ (P(D)u)_j:=\sum_{k=1}^KP_{jk}(D)u_k\qquad(j=1,\dots,J) $$
とおく。$P$ の第 $j$ 行を $P_j=(P_{j1},\dots,P_{jK})\in\mathbb C[z]^K$ とし、$P_1,\dots,P_J$ が生成する部分加群を $M\subset\mathbb C[z]^K$ とする。$P$ の成分の次数の最大を $m$ とする。
開集合 $\Omega\subset\mathbb R^n$ の上の連続関数 $u$ が $P(D)u=0$ を満たすとは、超関数の意味で成り立つこと、すなわちすべての $\psi\in C_c^\infty(\Omega)^J$ について
$$ \int_\Omega u\cdot{}^tP(-D)\psi\,dx=0,\qquad({}^tP(-D)\psi)_k:=\sum_jP_{jk}(-D)\psi_j $$
となることとする。部分積分により $\int(D_jf)g\,dx=-\int f(D_jg)\,dx$（片方の台がコンパクト）なので、$u$ が $C^m$ 級なら通常の意味の $P(D)u=0$ と同値である。
有界な開集合 $\Omega$ と整数 $k\ge0$ について、$C^k(\overline\Omega)$ は、$\Omega$ の上で $C^k$ 級で、$k$ 階以下の偏導関数がすべて $\overline\Omega$ の上の連続関数に延びるものの全体とする。$H(\eta):=\sup_{x\in\Omega}\langle x,\eta\rangle$（$\eta\in\mathbb R^n$）を $\Omega$ の 支持関数 とする。$x\in\overline\Omega$ なら
$$ |e^{i\langle x,\zeta\rangle}|=e^{-\langle x,\operatorname{Im}\zeta\rangle}\le e^{H(-\operatorname{Im}\zeta)} $$
である。この不等式が、主定理の積分に現れる重み $e^{-H(-\operatorname{Im}\zeta)}$ の由来である。
素イデアル $\mathfrak p\subset\mathbb C[z]$ の零点集合を $V_{\mathfrak p}:=\{\zeta\in\mathbb C^n\mid\text{すべての }g\in\mathfrak p\text{ で }g(\zeta)=0\}$ と書く。$V_{\mathfrak p}$ は $\mathbb C^n$ の閉集合である。

Noether 作用素

$F:=\mathbb C[z]^K$ とし、$M\subsetneq F$ を準素部分加群、$\mathfrak p$ をその根基とする。準素分解 の命題「準素部分加群の根基と随伴素」により、$\mathfrak p$ は素イデアルで、$\mathfrak p^sF\subset M$ となる $s\ge1$ がある。この $s$ を一つ固定する。$\mathfrak p\ne0$ のときは、Noether正規化定理 の命題「素イデアルの正規化と原始元・判別式による座標の表示」の座標をとり、$z'=(z_1,\dots,z_\nu)$、$z''=(z_{\nu+1},\dots,z_n)$ と書く。$\mathfrak p=0$ のときは $\nu=n$ とし、$z''$ の変数はないものとする。

定義から $g\in M$ なら $\mathcal B_lg\in\mathfrak p$ なので、検出の条件は「$f\in M$ と、すべての $l$ で $\mathcal B_lf\in\mathfrak p$ となることは同値」と言い換えられる。$\mathcal B_lf$ は多項式なので、$\mathcal B_lf\in\mathfrak p$ なら $\mathcal B_lf$ は $V_{\mathfrak p}$ の上で $0$ になる。つまり $M$ への所属が、零点集合 $V_{\mathfrak p}$ の上での微分の条件で判定される。

$\mathfrak p=0$ の場合は、作用素が 0 階で足りる。

Noether 作用素の全体は、多項式を掛けることと、$z$ の掛け算との交換子をとることについて閉じている。Hörmander はこの性質をもつ作用素を「$M$ に関して Noether 的」と呼んでいる。

交換子をとると作用素の階数は少なくとも 1 下がる（$0$ になることもある）。2 を繰り返すと、$\mathcal N_s(M)$ の元から低い階数の Noether 作用素が次々に得られる。

定数係数の作用素で足りる場合

零点集合が 1 点のときは、Noether 作用素は定数係数でとれる。

1 変数の $M=((z-\alpha)^m)$ では $J(M)=0$ なので、$\mathcal B_k=\partial^k$（$0\le k< m$）が $M$ を定める族になる。これは 準素分解 の例「1 変数の単項イデアルと重複度」の判定そのものである。
零点集合が直線のような 1 点でない集合になると、定数係数の作用素では一般に足りない。$\mathbb C[z_1,z_2,z_3]$ のイデアル $(z_2^2,z_3^2,z_2-z_1z_3)$ は $(z_2,z_3)$ 準素であるが、$z_1$ 軸の上で定数係数の作用素の値が消えるという条件をいくつ並べても定められず、$f$ と $z_1\partial f/\partial z_2+\partial f/\partial z_3$ が軸の上で消えるという、係数が $z_1$ に依存する条件が要る（準素分解 の例「Palamodov の例：準素イデアルと変数係数の微分条件」）。
一方、零点集合が大きくても、単項イデアルの冪なら方向微分で足りる。

指数型の解

$\mathbb C^K$ に値をとる関数 $u(x)=b(x)e^{i\langle x,\zeta\rangle}$（$b$ は成分が $x$ の多項式のベクトル、$\zeta\in\mathbb C^n$）で $P(D)u=0$ を満たすものを、$P(D)u=0$ の 指数型の解（exponential solution）という。
thm-epfp-noether の座標は 1 次の座標変換で得られるので、$\partial/\partial z''$ はもとの座標の偏微分の定数係数の 1 次結合である。したがって Noether 作用素は、もとの座標で $\mathcal B=\sum_{|\alpha|< s}a_\alpha\cdot\partial_z^\alpha$（$a_\alpha\in F$、$\alpha$ は $z$ の全変数の多重指数）の形に書ける。この形の作用素に対し
$$ E_{\mathcal B}(\zeta,x):=\sum_{|\alpha|< s}a_\alpha(\zeta)\,(ix)^\alpha e^{i\langle x,\zeta\rangle}\in\mathbb C^K\qquad(\zeta\in\mathbb C^n,\ x\in\mathbb R^n) $$
とおく（$(ix)^\alpha:=\prod_j(ix_j)^{\alpha_j}$）。$\partial_\zeta^\alpha e^{i\langle x,\zeta\rangle}=(ix)^\alpha e^{i\langle x,\zeta\rangle}$ なので、$E_{\mathcal B}$ の第 $k$ 成分は、関数 $\zeta\mapsto e^{i\langle x,\zeta\rangle}$ に「係数を左に置いた」作用素 $\sum_\alpha a_{\alpha,k}(\zeta)\partial_\zeta^\alpha$ を当てたものである。

$M$ が準素でないときは、準素分解 $M=M_1\cap\dots\cap M_\mu$（準素分解 の定理「加群の準素分解の存在」）の各成分 $M_\sigma\supset M$ に prop-epfp-exponential を当てる。$M_\sigma$ の Noether 作用素も $M$ の元を $\mathfrak p_\sigma$ に写すので、$V_{\mathfrak p_\sigma}$ の上で指数型の解が得られる。

主定理

$M\ne F$ とし、準素分解 $M=M_1\cap\dots\cap M_\mu$ を一つとる。$\mathfrak p_\sigma$ を $M_\sigma$ の根基、$V_\sigma:=V_{\mathfrak p_\sigma}$ とし、$M_\sigma$ を定める Noether 作用素の族 $\mathcal B_{\sigma1},\dots,\mathcal B_{\sigma\rho_\sigma}$ を thm-epfp-noether（$\mathfrak p_\sigma=0$ なら prop-epfp-zero-prime）で選ぶ。$E_{\sigma l}:=E_{\mathcal B_{\sigma l}}$ と書く。

$N$ は $P$ と準素分解と作用素の族だけで決まり、$\Omega$・$\nu$・$u$ によらない。左辺の $u(x)$ は $\overline\Omega$ への連続な延長の値とする。これは Hor90 Theorem 7.7.16（p. 247。証明は pp. 244–247）である。この記事では証明しない。
$M=F$ の場合は $u=0$ である。実際、$F$ の基底の各元が $P$ の行の 1 次結合なので、$QP=I$ となる多項式行列 $Q$ があり、超関数の意味で $u=(QP)(D)u=Q(D)P(D)u=0$ となる。

逆に、主定理の右辺の形の積分はいつも解を与える。この向きは次のように記事の中で証明できる。$d$ を、作用素 $\mathcal B_{\sigma l}$ の係数 $a_\alpha$ の成分の次数の最大とする。

$\nu\ge m$ なら $P(D)U=0$ は通常の意味でも成り立つ。主定理とこの命題を合わせると、有界な凸開集合の閉包まで滑らかな解は、指数型の解 $E_{\sigma l}(\zeta,\cdot)$（$\zeta\in V_\sigma$）を重みつきの有限な測度で重ね合わせたものとちょうど同じである。ただし滑らかさの扱いには差がある。$C^{\nu+N}(\overline\Omega)$ の解は $\nu$ 回まで項別に微分できる重ね合わせで表され、逆に $\tau\ge\nu+d$ の重ね合わせは $C^\nu(\overline\Omega)$ の解である。

例

条件を外したときの反例

関連項目

• 前提: 定数係数偏微分作用素, 準素分解, Noether正規化定理
• 道具: Paley–Wienerの定理, ∂̄方程式のL²評価, Hahn–Banachの定理, Whitneyの拡張定理, 支持関数
• 例: 調和関数, 線形常微分方程式
• 比較: 基本解, 解析汎関数
• 発展: 連接解析層